。量惯动转的)体物上其或(盘圆下定测以可即数参何几.pdf

2.8用 三 线 摆 测 量 刚 体 的 转 动 惯 量转动惯量是描述刚体转动时惯性大小的物理量，是研究、设计、控制物体运动规律的重要参数因此测定特定物体的转动惯量对某些研究、设计工作具有重要意义，如钟表摆轮、电机转子的设计、人造卫星的外形设计等刚体的转动惯量与物体的总质量、质量分布及转轴的位置有关对于形状规则、简单的刚体，可以通过计算求出它绕定轴的转动惯量但对形状复杂的刚体用数学计算很困难，一般通过实验来测量本实验采用三线摆法测定刚体的的转动惯量 实验目的】 （ 1）学 会用 三线 摆测 量刚 体的 转动 惯量 2）验 证转 动惯 量的 平行 轴定 理 实验原理】 1． 三线摆几何参数的关系设悬 线长 度 ， 上 、 下 圆 盘半 径分 别为 和 ， 上 下 圆盘 间垂 直距 离为 ， 如图 2所示 摆 动lAB= rR H前有（ 1）222 rRlH )(−−=当摆 角振 幅为 时， 下圆 盘悬 点 移至 位置 ，圆 盘中 心上 升高 度为0θ A 1A h（ 2）12121 BCBCBCBCh +−=−= )()(而此 时 2112121 CABABC )()()( −= （ 3）)(0222 RrcosrRl θ−+−= （ 4）h2HBCBC1 −=+将（ 1） 、 （ 3） 、 （ 4）代 入（ 2）式 ，整 理得h2H22sin2Rrh2Hcos12Rrh 020 −⋅=−= θθ)(因为 L远远 大于 h，所 以 ；摆 角 很小 时， 有 ，由 此得2Hh2H≈− 0θ 422sin 202002 θθθ =≈)(（ 5）2HRrh20θ=，由 此得 （ 5）2HRrh20θ=2． 三线摆测刚体转动惯量原 理三线 摆由 上、 下两 个均 质圆 盘用 三条 等长 线连 接而 成， 每个 圆盘 的三 个悬 点分 别组 成等 边三 角形 ，如图 1所示 。

上 盘 固定 ， 下 盘 可绕 两圆 盘的 中心 轴线 作扭 转摆 动 扭 转 的过 程也 是下 圆盘 动能 与 势O′能的 转化 过程 扭 转 周期 由下 圆盘 （ 包 括至 于其 上面 的待 测物 体） 转 动 惯量 决定 根 据摆 动周 期和 有 关几何 参数 即可 以测 定下 圆盘 （或 其上 物体 ）的 转动 惯量 设下圆盘的质量为 ，圆盘在平衡位置时的势能为零当一小角度摆动时，则由于圆盘上升而增0m加的 势能 为 ghmE0P=当圆 盘回 到平 衡位 置时 ， ，而 其转 动动 能为0EP=200k I21Eω=式中， 是下圆盘对 轴的转动惯量， 是下圆盘转回平衡位置时刻的瞬时角速度若不计运0I O′ 0ω动过 程中 的阻 力， 根据 机械 能守 恒定 律可 得 （ 6）2000 I21ghmω=下圆 盘的 小角 度扭 转摆 动可 看作 简谐 振动 ，则 下圆 盘的 最大 角速 度为（ 7）000T2πθω=式中 ， 是下 圆盘 的转 动周 期 将（ 5） 、 （ 7）式 代入 （ 6）式 得0T （ 8）20020 THRrm4gI ⋅=π上式 是下 圆盘 对 轴的 转动 惯量 的计 算式 。

只 要测 得 、 、 、 及 ，即 可算 出 O′ 0mrRH0T 0I若将 质量 为 的圆 环放 在下 盘上 ，则 新的 振子 质量 为 ，， 转 动 惯 量 为1m 10m+ （ 9）211021 THRrm4gI )(+⋅=π式中 ， 为放 置圆 环后 新振 动系 统的 转动 周期 根 据转 动惯 量的 可叠 加性 ，待 测圆 环的 转动 惯量 为1T 2I（ 10）])[(2021102012 TmTmmH4gRrIII −+=−= π3． 平行轴定理理论分析证明，若质量为 的物体绕质心轴的转动惯量为 ，当转轴平行移动距离 时，则此物m CI d体对 新轴 的转 动惯 量变 为 （ 1）2CmdII +=′RrO′O图 1三线摆O′1OOAH1A hBCC′Rr图 2三线摆原理图0θ利用三线摆可以验证平行轴定理实验时，将两个质量均为 且形状完全相同的圆柱体对称地放M在下盘中心的两侧按上法可测出两圆柱绕中心轴的转动惯量 如果测得的 值与由（ 10）式右边I′ I′计算 的理 论值 比较 时的 相对 误差 在测 量误 差允 许的 范围 内， 则平 行轴 定理 得到 验证 【 实验仪器】 三线 摆、 钢板 尺、 物理 天平 及砝 码、 电子 秒表 、圆 环、 气泡 水准 仪。

实验内容与步骤】 1． 测定圆环对几何轴的转动 惯 量（ ）用 物理 天平 测出 下圆 盘和 圆环 的质 量 和 0m1m（ 2）利 用水 准仪 ，通 过调 节仪 器的 三个 底角 螺丝 ，使 上盘 处于 水平 ，再 调节 三悬 线的 长度 ，使 下圆盘 处于 水平 3）用 钢 卷 尺 测 、 、 各三 次 （ 也 可 用 另 一 种 方 法 测 量 ， 即 ， ，其中rRH 3a3r /= 3b3R/=、 分别 为上 、下 圆盘 上悬 点间 的距 离， 用卡 尺测 得ab（ 4） 轻 轻转 动上 圆盘 ， 使 下圆 盘做 扭摆 转动 （ ）， 并 尽 可能 消除 扭转 摆动 之外 的振 动， 用 秒�5<θ表测 出 振 动 50次所 用 时 间 ，重 复 三 次 ， 求 其 平 均 值 ， 算 出 振 动 周 期 按 公 式 （ 8）计 算 圆 盘 绕0t 0T轴的 转动 惯量 并 由 计算 下圆 盘绕 轴的 转动 惯量 的理 论值（ 为下 圆盘 直径 ） ，O′ 0I 2000 Dm81I=理O′ 0D将测 量值 与理 论值 比较 ，分 析误 差的 大小 （ 5） 将 待 测圆 环同 轴放 置在 下盘 上， 重 复步 骤 （ 4）， 用 秒 表 测 出 振 动 50次所 用时 间 ， 重 复 三 次 ，1t求其 平均 值， 算 出 振动 周期 。

按 公 式 （ 9） 和 公 式 （ 10） 算出 总转 动惯 量 和圆 环对 几何 轴的 转动 惯1T 1I量 2I． 验证平行轴定理利用 两个 完全 相同 的均 质圆 柱体 ，自 行设 计实 验方 法、 实验 步骤 、数 据记 录表 格， 推导 计算 公式 ，通过 比较 转动 惯量 的实 验值 和理 论值 来验 证刚 体平 行轴 定理 【 数据记录与处理】 1． 测定圆环对几何轴的转动 惯 量 =0m kg =1m kg=0D cm =H cm测质 量 、 的不 确定 度： ；0m1m ===天平∆∆∆10mm测直 径 和 的 B类不 确定 度： ；2r2R 5m0Rr BB .==∆∆测周 期的 B类不 确定 度： ；)(/. sn20TB=∆ 50n=（ 1）写 出下 圆盘 的转 动惯 量cmr/ cmR/ cmm0/ cmm1/ sT0/ sT1/123平均20020 THrRm4gI ⋅=π 20B20A0 III ∆∆∆ +=000 III ∆±=2000 Dm81I=理%10IIIE000I0 ×−=理理（ 2）写 出下 圆盘 和圆 环共 同的 转动 惯量 211021 THrRmm4gI )(+⋅=π111 III ∆±=（ 3）圆 环的 转动 惯量012 III −=222 III ∆±=其中 ：21202 III ∆∆∆ +=2． 验证平行轴定理 （自 行设 计完 成）【 思考题】 （ 1）本 实验 使用 的是 比较 法还 是振 动法 ？（ 2）三 线摆 在摆 动过 程中 要受 到空 气的 阻尼 ，振 幅会 越来 越小 ，它 的周 期是 否会 随时 间而 变？（ 3） 成立 的前 提条 件是 什么 ？012 III −=（ 4）如 何用 三线 摆测 量任 意形 状的 物体 对定 轴的 转动 惯量 ？（ 5）本 实验 能否 用图 解法 来验 证平 行轴 定理 ，如 果能 ，应 如何 安排 实验 ？【 参考资料】（ 1）实 验 “ 用三 线摆 测物 体的 转动 惯量 ” 。

2）赵 凯华 罗蔚 茵 《力 学》 第二 版 高等 教育 出版 社 3）本 书第 一章 有关 误差 理论 部分 实验拓展内容】 用三 线摆 测定 偏心 轮绕 定轴 的转 动惯 量1． 实验要求：（ 1）偏 心轮 的转 轴不 通过 质量 中心 当 把偏 心轮 放在 三线 摆的 下圆 盘尚 且偏 心轮 的特 定轴 与下 圆盘的 转轴 重合 时， 会引 起下 圆盘 倾斜 为 保证 下圆 盘处 于水 平状 态， 可视 具体 情况 配重 （ 2）采 用传 统法 和比 较法 测偏 心轮 的转 动惯 量， 并写 出测 量公 式 根据 选择 测量 仪器 3E≤（ 3）拟 出实 验步 骤、 数据 表格 ，尽 可能 多地 采用 各种 处理 数据 的方 法， 正确 表述 测量 结果 4）比 较两 种测 量方 法的 优缺 点2． 实验仪器三线 摆、 气泡 水准 仪、 钢板 尺、 电子 秒表 ，物 理天 平、 砝码 、待 测偏 心轮 等。