第三章静态场.ppt

第三章第三章 静态场静态场静电场理论静电场理论静电场的计算静电场的计算恒定电场理论与计算恒定电场理论与计算恒定磁场理论恒定磁场理论似稳电磁场似稳电磁场静态场静态场静电场静电场恒定场恒定场恒定电场恒定电场静磁场静磁场3.1 静电场理论静电场理论 即：即：dq/dt = 0 (v=0) ∴J=H=p=0一、场一、场二、位二、位三、能三、能( (与力与力﹡﹡) )方程：方程： ▽×▽×E E = 0 ▽·▽·D= ρv∮∮E··dl= 0∮∮D··dS = Q本构关系：本构关系：D=εE边值条件：边值条件： D1n－ D2n = ρs en ··(D1－－ D2 ) = ρs E1t－ E2t = 0 en ×(E1－－ E2 ) = 0方程：方程：▽2φ=－——ρve场位关系：场位关系：E=－▽▽φ边值条件：边值条件：e2——－e1 —— = ρsφ2 φ1 n nφ1 = φ2 电能：电能：We=∫wedv = ∫E 2 dv = ∫ρφdv ε—21—2电能密度：电能密度： we= εE2/2 en12关于关于场场前面以作了解释，下面对前面以作了解释，下面对位、能位、能作讨论作讨论比较上两式得：比较上两式得： 场位关系：场位关系：E=－▽▽φ▽▽·E=－▽▽·▽▽φ ρv — = e=－▽▽2φ位位方程：方程：▽2φ=－——ρve整理得：整理得：由场位关系，对场强由场位关系，对场强E求散度：求散度：v电位电位φ：：是一标量是一标量, ,与场强与场强E一样是静电场的一种固有属性。

一样是静电场的一种固有属性v∵∵▽×▽×E = 0 ∴静电场静电场E是是一个梯度场，它的标量位就是电位一个梯度场，它的标量位就是电位φ电位电位因而，在某点因而，在某点a a处的电位处的电位φa 的定义：的定义： φa=∫ E··dl∞a两点间的电位差称电压两点间的电位差称电压φab ：：φab= φa－φb = ∫ E··dlba若按如若按如图示的方向，则有图示的方向，则有φb＞φa 即即 ：：φb－φa=∫ ▽▽φ ··dlba①①②②φa φb▽▽φdlE④ ④ 将场强将场强E E分解到法向和切向，如图示：分解到法向和切向，如图示：边值条件：边值条件：e2——－e1 —— = ρsφ2 φ1 n nen12Z,nEφ12 =∫E··dz =∫Endz =Ēn ⊿⊿z····EnEt对于边界：对于边界：⊿⊿z→0 ∴ φ12 = 0En = -φ— n τ则有：则有：又又∵∵D1n－ D2n = ρs-e1—— + e2 —— = ρsφ1 φ2 n n③ ③ 求证：求证：φ1 -φ2 = 0如图所示，在紧靠边界的两边取二点如图所示，在紧靠边界的两边取二点1 1和和2 2即线段即线段⊿⊿Z Z，，则有：则有：整理得：整理得：∴∴∴φ1 -φ2 = 0证毕证毕边值条件：边值条件：整理得：整理得：E = En +Et= -( en + et)φ— n φ— t v电位能电位能We：：指电场力作功的能力，量值上与功相等指电场力作功的能力，量值上与功相等 。

电位能电位能因而因而, ,在某源在某源点点a a处的电位能处的电位能W1的定义的定义: : W1=∫ q1E··dl∞a①①系统总电能系统总电能We ：： We = (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn )/ 2其中，其中，E为为所有源在点所有源在点a处总场强：处总场强：E= E1 ＋ E2 ＋ E3＋… ＋ En·······2′1′a a W1= W11＋ W12＋ W13＋…＋ W1nW2= W21＋ W22＋ W23＋…＋ W2nW3= W31＋ W32＋ W33＋…＋ W3n ∵ ∵ 产生产生Wij Wji的的力力是一对作用力和反作用力是一对作用力和反作用力∴ ∴ Wij= Wji Wij表示：表示：qj 产生的电场将作用于产生的电场将作用于 qi，，使使qi从无穷远处从无穷远处( (0电位电位) )移移入入 点点a a时所时所具有的能量，称具有的能量，称互能互能∵ ∵ 这对力做的是同一功这对力做的是同一功 ∴ ∴对系统贡献的能对系统贡献的能W W是是Wij或或 Wji 即即 ：： W = Wij= Wji = (Wij ＋＋Wji ) / /2因此因此，We ≠ (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn )Wii表示表示：：称称自能自能，由带电体内的电荷相互作用产生，原理与互能相同。

由带电体内的电荷相互作用产生，原理与互能相同同同理理②②系统系统总电能总电能We ：： We = (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn )/ 2当源为点电荷时当源为点电荷时：： (Wii = 0∵∵点电荷为最基本点，无互作用点电荷为最基本点，无互作用）W1=q1∫ E··dl =q1φa=q1( )=q1∑ =q1∑ φi q2 qn———＋… ＋———4peR12 4peR1n qi——— 4peR1i ni=2 ni=2∞aWe =－(q1∑ φi ＋ q2∑ φi ＋… ＋ qn∑ φi ) =∑－qi φi ni=2 ni=1 ni=1 ni=11212当源为体电荷时：当源为体电荷时：(q→⊿⊿q = ρ⊿⊿v i→∞ Wii ≠ 0 ) We = lim ∑－ρ(r i)⊿⊿vφi (r) = ∫ ρφdv12⊿⊿v′→0∞i=1φφi i —— —— 除除 qi 外外，所有其它点电荷在点，所有其它点电荷在点i i 处产生的总电位。

处产生的总电位·······2′1′a a对式对式⑴⑴求积分：求积分：⑴⑴经经数学推导：数学推导：=∫ wedv = ∫ E2 dv v v ε—2v1－2We=∫wedv = ∫ E 2dv = ∫ ρφdv ε—21—2v v v v→∞v③③系统总电能系统总电能 We ：： We = (W1 ＋ W2 ＋ ……＋ Wn )/ 2We=∫wedv = ∫E 2 dv = ∫ρφdv ε—21—2当源为体电荷时：当源为体电荷时：当体电荷为当体电荷为单单个导体时：个导体时：导体导体, ,设：设：导体上的电量为导体上的电量为q∵ ∵ 导体是一等位体，导体是一等位体， ∴ ∴在导体上电位在导体上电位φii 是一常数是一常数We= ∫ρφiidv = φii∫ρdv = φiiq1—21—21—2当体电荷为当体电荷为n n个导体时：个导体时：故：故：自能自能We =∑ qi φi ni=11－2= ∑ ∑ qiqj aij ni=11－2nj=1φi —— —— 所有体电荷所有体电荷(包括包括qi在内在内)在在点点i i 处产生的总电位。

处产生的总电位当体电荷为当体电荷为n n个球个球导体时：导体时：We =∑ qi φi ni=11－2= ∑ ∑ qiqj aij ni=11－2nj=1= ∑ ∑ ni=11－2nj=1qiqj ————4πεrij当当 rij 》r解：设平板面积为解：设平板面积为s s，，间距为间距为d(sd(s》》d)d)，，如图所示如图所示 ∵ ∵ s s》》d d，，若若再略去边缘效应，可认为板间的场强均匀，再略去边缘效应，可认为板间的场强均匀， 场强方向与平板面垂直，如图示场强方向与平板面垂直，如图示We = ∫ E2dv = E2∫dv = E2 sd ε—2v vr ε—2ε—2εs—2dd——2εs= u2 = q2由高斯由高斯定理定理:q =∮εE·ds = εEs由总电能由总电能: := cu2 = qu∵q = εsE = εs u/d = cu1—2+qEd-q例例1：求平板电容器的总电能求平板电容器的总电能1—2We =∑ qi φ = ni=11－21－2q φ+ -1－2qφ- = qu1－2方法一：方法一：方法二：方法二：∵∵∫E··dl= u ∴E = u/d讨论：φ+ (或φ- )有无自电位无例例2 2：设有两带电导体球，球：设有两带电导体球，球A A半径为半径为a a电量为电量为q q1、、球球B B半半 径为径为b b电量为电量为q q2、、两球间距为两球间距为d d、、d d》》a a与与b b，，如图所示。

如图所示 求两带电导体球系统的总电能求两带电导体球系统的总电能We =∑ qi φi ni=11－2= ∑ ∑ qiqj aij ni=11－2nj=1= ∑ ∑ ni=11－2nj=1qiqj ————4πεrij解：解：∵∵是导体球系统是导体球系统 , ,且且d d》》a a和和b ∴b ∴可由应用以下公式：可由应用以下公式：由题意：由题意：We =q1q2————4πεdq1q1 ————4πεaq2q2————4πεbq2q1————4πεd 1－( + + + ) 2 1= ——( + + ) 8πε q12——— a q22——— b2q1q2————d解毕解毕∴∴d a b3535有极分子：有极分子： 不重合不重合 转向转向无极分子：无极分子： 重合重合 位移位移3.2 静电场分析静电场分析导体：导体：介质：介质：媒质大体可分为导体和介质两大类媒质大体可分为导体和介质两大类静电平衡静电平衡E=0，即导体是一等位体即导体是一等位体， 无电荷分布无电荷分布。

E= E+ ≠0 方向与方向与导体面垂直，导体面垂直，仍等位是一等位面仍等位是一等位面，有电荷分布有电荷分布0+导体内：导体内：导体面：导体面：无论是导体还是介质，在外电场的感应下表面形成电荷无论是导体还是介质，在外电场的感应下表面形成电荷分布，它对内对外都可能发生作用，即改变原电场的分布分布，它对内对外都可能发生作用，即改变原电场的分布正负电荷中心正负电荷中心 极化极化 效果效果: :产生附加电场产生附加电场E′D=εE = εoεrE = εo (1+xe) E = εoE + εo xeE = εoE + P▽▽·D= εo▽▽· E + ▽▽·P= εo▽▽· E － ρvp = ρv ▽▽·P=－ρvp en ·P = ρsp εo▽▽· E =ρv + ρvp 例例1 1：半径为：半径为a a、、带电量为带电量为q q的导体球，其外套有外半径为的导体球，其外套有外半径为b b、、 介电常数为介电常数为 的介质球壳的介质球壳，，如图所示，如图所示，求求空间任意一点空间任意一点 的的D和和E，，介质中的极化电荷体密度介质中的极化电荷体密度ρvp和和介质球壳表面介质球壳表面 的极化电荷面密度的极化电荷面密度ρsp 。

 q qb ba a解：解：选球坐标系；在球选球坐标系；在球a a外作一球面，由高斯定理外作一球面，由高斯定理: : ∵ ∵球对称性，同一半径面上的场强大小相等，方向为球对称性，同一半径面上的场强大小相等，方向为er ∴ ∴ ∮∮D··dS =∮∮D·dS = D·∮∮dS = 4πr2D = q r≥a又又∵∵▽▽·P = ▽▽·D－εo▽▽·E = ▽▽· D (1－εo/ε ) =－ρvp 又又∵∵ ρsp=en ·P = en · D(1－εo/ε ) ∮∮D··dS =q故：故：D= erq/4πr2 r≥a ； D=0 r＜a又又∵ ∵ D=εE 则：则： E = D/ε故：故：E=erq/4πεr2 b＞r≥a ; E=erq/4πεor2 r≥ b； E=0 r＜a故：故： ρvp =－ρv (1－εo/ε ) －D(1－εo/ε ) =－q(1－εo/ε) / 4πa2 D(1－εo/ε ) =q(1－εo/ε) / 4πb2故故：ρsp=3.3 静电场的计算静电场的计算(分布型，除位方程外分布型，除位方程外)①① 已知电荷的分布已知电荷的分布ρ求电场求电场E和电位和电位φRn = r- rn′O'rrRq1PSSqn当带电体为无穷时，积分上限可另定。

当带电体为无穷时，积分上限可另定求求E高斯法：高斯法： Φd =∮∮D··dS = Qo求和法求和法(点电荷点电荷):E= E1+ E2+… + En =∑———— Rn间接法：间接法：E=－▽▽φ积分法积分法(体电荷体电荷) ：： qn4pe(Rn)3∞n=1E=∫——— R =∫—————— ρ dv′4peR3 ρ dv ( r- r′)4pe r- r′3vv′位方程：位方程：▽▽2φ=－——求和法求和法(点电荷点电荷)：：积分法积分法(体电荷体电荷)：：间接法间接法:求求φ ρ dv′4pe r- r′vφ=∫————— ρv φ= φ1+φ2+…+φn =∑——— qn4peRn∞n=1φ=∫ E·dl∞ p3·3 静电场的计算静电场的计算②② 已知电场已知电场E和电位和电位φ求电荷的分布求电荷的分布ρH1t－ H2t = Jsen ×(H1－－ H2 ) = Js▽2φ=－——ρve▽·▽·D= ρvD1n－ D2n = ρsen ··(D1－－ D2 ) = ρse2——－e1 —— = ρsφ2 φ1 n n已知已知 电场电场E 电位电位φ电荷体密度电荷体密度ρv电荷面密度电荷面密度ρs求求附加：附加： 已知磁场已知磁场H求电流面密度求电流面密度Jsen12⊿⊿zz⊿⊿lθ2θ1E1E2× × ×× × ×I Io v P121 P121～～127127v 5 5、、8 8、、1313、、1616、、2121、、2323、、2424、、2525、、 30 30、、3434、、3737、、3939作作 业业力力* *作用在导体上的电场力作用在导体上的电场力 F F = qE EdF F = dq E Ef f = dF F/ /dV′= ρE ③③电场力密度电场力密度f :f :作用在电介质上的电场力作用在电介质上的电场力3.4 恒定电场理论恒定电场理论 即：即：dq/dt = I (常数常数)一、场一、场二、位二、位三、能三、能方程：方程： ▽×▽×E = 0 ▽·▽·D= ρv∮∮E··dl= 0∮∮D··dS = Q本构关系：本构关系：D=εE ，，Jc=σE 边值条件：边值条件： D1n－ D2n = ρs en ··(D1－－ D2 ) = ρs E1t－ E2t = 0 en ×(E1－－ E2 ) = 0方程：方程：▽2φ=－——ρve场位关系：场位关系：E=－▽▽φ边值条件：边值条件：e2——－e1 —— = ρsφ2 φ1 n nφ1 = φ2 电能：电能：We=∫wedv = ∫E 2 dv = ∫ρφdv ε—21—2电能密度：电能密度： we= εE2/2 en12可见，恒定电场仍然是一梯度场可见，恒定电场仍然是一梯度场因而：因而：B、、H不随时间变化不随时间变化3.3 恒定电场理论恒定电场理论 即：即：dq/dt = I (常数常数)一、场一、场二、位二、位三、能三、能方程：方程： ▽×▽×E = 0 ▽·▽·D= ρv∮∮E··dl= 0∮∮D··dS = Q本构关系：本构关系：D=εE ，，Jc=σE 边值条件：边值条件： D1n－ D2n = ρs en ··(D1－－ D2 ) = ρs E1t－ E2t = 0 en ×(E1－－ E2 ) = 0方程：方程：▽2φ=－——ρve场位关系：场位关系：E=－▽▽φ边值条件：边值条件：e2——－e1 —— = ρsφ2 φ1 n nφ1 = φ2 电能：电能：We=∫wedv = ∫E 2 dv = ∫ρφdv ε—21—2电能密度：电能密度： we= εE2/2 en12可见，恒定电场仍然是一梯度场可见，恒定电场仍然是一梯度场3.5 恒定磁场理论恒定磁场理论 即：即：dq/dt = I (常数常数)一、场一、场二、位二、位三、能三、能方程：方程：▽×▽×H = Jo▽·▽·B= 0∮∮H··dl= Io∮∮B··dS = 0本构关系：本构关系：B=μH ，，Jc=σE 边值条件：边值条件： B1n－ B2n = 0 en ··(B1－－ B2 ) = 0 H1t－ H2t = Js en ×(H1－－ H2 ) =Jc方程：方程：▽2A=－μJ场位关系：场位关系：B=▽▽×A边值条件：边值条件：A1 = A2 磁能：磁能：Wm=∫wmdv= ∫H 2 dv= ∫A·Jodv μ—21—2磁能密度：磁能密度： we= μH2/2 en12可见，恒定磁场是一静旋度场可见，恒定磁场是一静旋度场因而：因而：B、、H不随时间变化不随时间变化1—μ11—μ2(▽▽×A1 )t － (▽▽×A2 )t = Js方程：方程：▽2A=－μJ场位关系：场位关系：B=▽▽×A边值条件：边值条件：A1 = A2 磁能：磁能：Wm=∫wmdv= ∫H 2 dv= ∫A·Jodv μ—21—2磁能密度：磁能密度： we= μH2/2 en12可见，恒定磁场是一静旋度场可见，恒定磁场是一静旋度场1—μ11—μ2(▽▽×A1 )t － (▽▽×A2 )t = Js位位三、点电荷系统和分布电荷产生的电场三、点电荷系统和分布电荷产生的电场1 1、多点电荷系统产生的电场、多点电荷系统产生的电场式中式中: :真空中，真空中，N N个点电荷：个点电荷：电荷量：电荷量：电荷位置：电荷位置：由由矢量叠加原理：矢量叠加原理：2 2、分布电荷系统产生的电场，矢量积分公式、分布电荷系统产生的电场，矢量积分公式a)a)体分布电荷系统体分布电荷系统v处理思路：处理思路： 1) 1) 无限细分区域无限细分区域 2 2）考查每个区域）考查每个区域 3 3）矢量叠加原理）矢量叠加原理v设设体电荷密度为体电荷密度为 ，图中，图中dVdV在在P P点产生的电场为：点产生的电场为：则整个体积则整个体积V V内电荷在内电荷在P P点处产生的电场为：点处产生的电场为：b)b)面分布电荷系统面分布电荷系统类似地，面电荷在空间某点处产生的电场强度类似地，面电荷在空间某点处产生的电场强度c)c)线分布电荷系统线分布电荷系统类似地，线电荷在空间某点处产生的电场强度类似地，线电荷在空间某点处产生的电场强度四、例题四、例题讨论：讨论： 1 1）密度为）密度为 的无限长线电荷在空间中产生电场强度的无限长线电荷在空间中产生电场强度2 2）密度为）密度为 的无限大均匀带电面外任意一点电场的无限大均匀带电面外任意一点电场强度为：强度为：例题一例题一五、作业五、作业例题一例题一求真空中半径为求真空中半径为a a，，带电量为带电量为Q Q的导体球在球外空间中产生的导体球在球外空间中产生E E。

分析可知：分析可知：v电场方向沿半径方向：电场方向沿半径方向：v电场大小只与场点距离球心的距离相关电场大小只与场点距离球心的距离相关解：在球面上取面元解：在球面上取面元dsds，，该该面元在面元在P P点处产生的电场径向分量为：点处产生的电场径向分量为：式中：式中：说明：与位于球心的点电荷说明：与位于球心的点电荷Q Q在空间中产生的电场等效在空间中产生的电场等效第三节第三节 安培力定律安培力定律 磁感应强度磁感应强度一、安培力定律一、安培力定律v安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律v安培力定律内容：真空中，两电流安培力定律内容：真空中，两电流回路回路C C1 1,C,C2 2，，载流分别为载流分别为I I1 1,I,I2 2，，则：则：式中：式中：为真空中介电常数为真空中介电常数 C C1 1上电流元上电流元 对对C C2 2上电流元上电流元 磁磁场力为：场力为：v磁场：在电流周围形成的一种物质磁场：在电流周围形成的一种物质v磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。

生力的作用，称为磁场力v磁感应强度矢量磁感应强度矢量 : :描述空间磁场分布描述空间磁场分布二、磁感应强度矢量二、磁感应强度矢量v在在磁场磁场 空间中，若电荷空间中，若电荷q q0 0以速度以速度 运动：运动：说明：说明： 的方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同的方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同则，电流元则，电流元 在磁场在磁场 中受到的磁场力为：中受到的磁场力为：若若 由电流元由电流元 产生，则由安培力定律产生，则由安培力定律可知，电流元可知，电流元 产生的磁感应强度为：产生的磁感应强度为：毕奥－萨伐尔定律毕奥－萨伐尔定律说明：说明： 、、 、、 三者满足右手螺旋关系三者满足右手螺旋关系三、磁感应强度矢量积分公式三、磁感应强度矢量积分公式真空中任意电流回路产生的磁感应强度真空中任意电流回路产生的磁感应强度1 1、、体电流体电流2 2、、面电流面电流3 3、载流为、载流为I I的无限长线电流在空间中产生磁场的无限长线电流在空间中产生磁场四、例题四、例题例题一例题一例题一例题一求半径为求半径为a a的电流环在其轴线上产生的磁场。

的电流环在其轴线上产生的磁场分析：在轴线上，磁场方向沿分析：在轴线上，磁场方向沿z z向电流分布呈轴对称电流分布呈轴对称解：建立如图柱面坐标系解：建立如图柱面坐标系在电流环上任取电流元在电流环上任取电流元 ，令其坐，令其坐标位置矢量为标位置矢量为 易知：易知：如图：在垂直于电流方向取线元如图：在垂直于电流方向取线元 很明显，在很明显，在 时间时间内，内， 距离内的电荷都将流过距离内的电荷都将流过 由电流定义，通过由电流定义，通过 的电流的电流 为：为：由电流密度定义，有：由电流密度定义，有：流过任意流过任意 的电流的电流而而所以所以流过曲线流过曲线l l的电流为：的电流为：。