《x044几何应用》PPT课件.ppt
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§4-4§4-4 ab xyo求曲边梯形面积的方法求曲边梯形面积的方法(1)分割分割 （（2）代替）代替 （（3）求和）求和 （（4）取极限）取极限定积分的元素法定积分的元素法(微元法）微元法）(1) dA=f(x)dx(2) 求分布不均匀的细棒质量求分布不均匀的细棒质量设想把细棒分成许多小段设想把细棒分成许多小段 dA=[f2(x)-f1(x)]dx1）直角坐标系情形dxdx一、积分在几何上应用一、积分在几何上应用1. 平面图形的面积平面图形的面积dA=[g2(y)-g1(y)]dydydy 解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量 解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量 解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量 例例4已已知知函函数数y=x2，，在在区区间间（（0，，1））上上求求一一点点t,使使S=S1+S2最小？最小？ y解：解：S(t)=∫t0 (t2-x2)dx+∫1t (x2-t2)dx =4/3 t3-t2+1/3 S’(t)=4t2-2t=0 =>t=1/2 S”(1/2)>0 dA=ydxdxdx如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．倍第一象限部分面积． 解解 曲边扇形的面积曲边扇形的面积2）极坐标系情形（P222） 解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积注意到：注意到： 解解利用对称性知利用对称性知 例例 3 求求r = a sin3 所围的面积。
所围的面积解解 这是三叶玫瑰线，由这是三叶玫瑰线，由 sin3 ≥0，有，有由对称性由对称性 双纽线 笛卡儿叶形线 二、平面曲线弧长的概念二、平面曲线弧长的概念合理假设：合理假设： 弧微分弧微分弧长弧长1）直角坐标情形 解解所求弧长为所求弧长为 证证 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立. 曲线弧为曲线弧为弧长弧长2）参数方程情形弧微分弧微分 解：解：参数方程参数方程 曲线弧为曲线弧为弧长弧长3）极坐标情形 解解 三、平行截面面积已知立体的体积（三、平行截面面积已知立体的体积（P223）） 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积 解解取坐标系如图取坐标系如图截面面积截面面积（x,y) 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积 例例3 已知立体为以长轴已知立体为以长轴a=10 ,短轴短轴b=5椭圆为底椭圆为底, 垂直于长轴的载面都是等边三角形垂直于长轴的载面都是等边三角形,求其体积。
求其体积解：建立坐标系：解：建立坐标系： 取长轴为取长轴为x轴，椭圆中心为原点轴，椭圆中心为原点. 垂直于垂直于x轴截面的边长：轴截面的边长： y 立体体积立体体积 圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台 四四 、、 旋转体的体积旋转体的体积定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线（轴）旋转一周而形成的立体图形条直线（轴）旋转一周而形成的立体图形 xyo旋转体的体积为旋转体的体积为1）：小圆柱体法：）：小圆柱体法：体积元素小圆柱体：体积元素小圆柱体： dxdxdydy 解解直线直线 方程为方程为 解解 例3参看教材224页 解解 （（2）小柱壳法）小柱壳法abxyo体积元素（柱壳）体积为体积为 体积元素为小柱壳：体积元素为小柱壳：dV=2πx |f(x)| dx (周长周长×高高×厚厚) X X x+dxx+dxdydy 例1 柱壳法柱壳法利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中 解解体积元素为：体积元素为：dx 例例4曲线曲线和和x轴围成一平面图形，求此平面图形轴围成一平面图形，求此平面图形绕绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。
轴旋转一周所成的旋转体的体积解解 在在[1，，2]上取积分元素，得上取积分元素，得例例5求由曲线求由曲线y=x2-2x, y=0, x=1, x=3所围平面图形分别绕所围平面图形分别绕x和和y轴旋转一周轴旋转一周, 所得的旋转体体积所得的旋转体体积. xyo旋转曲面的面积为旋转曲面的面积为五、五、(P225)旋转曲面的面积旋转曲面的面积 曲线弧为曲线弧为弧微分弧微分ds 例：求半径为R球的表面积解：x=Rcost y =Rsint 例例1 1解解由对称性由对称性, 。
