第八章重积分.ppt

第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1 1页页第八章第八章 重重 积积 分分习习 题题 课课第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2 2页页定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法二二重重积积分分一、主要内容一、主要内容第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第3 3页页1 1、二重积分的定义、二重积分的定义第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第4 4页页２、二重积分的几何意义２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．负值．第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第5 5页页性质１性质１当当 为常数时，为常数时，性质２性质２３、二重积分的性质３、二重积分的性质第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第6 6页页性质３性质３对区域具有可加性对区域具有可加性性质４性质４若若 为为D的面积的面积性质５性质５若在若在D上，上，特殊地特殊地第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第7 7页页性质６性质６性质７性质７（（二重积分中值定理）二重积分中值定理）第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第8 8页页４、二重积分的计算４、二重积分的计算［［X－－型］型］ X-型区域的特点型区域的特点：： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（（１）直角坐标系下　１）直角坐标系下　第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第9 9页页 Y型型区域的特点区域的特点：：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.［［Y－－型］型］第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1010页页（（２）极坐标系下　２）极坐标系下　第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1111页页第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1212页页5 5、二重积分的几何应用、二重积分的几何应用（（１）计算平面图形的面积１）计算平面图形的面积（（2）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1313页页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1414页页例例2 2解解 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1515页页例例3 3解解第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1616页页第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1717页页例例4 4解解第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1818页页例例5 5解解法一法一法二法二第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第1919页页例例6 6解解第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2020页页第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2121页页例例7 7解解第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2222页页例例8 8 证证第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2323页页例例9 9 思路思路第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2424页页例例9 9 证证第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2525页页第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2626页页例例 . 计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标原式第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2727页页例例. 则提示提示: 如图 ,由对称性知在上是关于 y 的奇函数在上是关于 x 的偶函数A第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2828页页证明:提示提示: 左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第2929页页例例1. 计算二重积分其中:(1) D为圆域(2) D由直线解解: (1) 利用对称性.围成 . 第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第3030页页(2) 积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性 , 得第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第3131页页例例2. 计算二重积分其中D 是由曲所围成的平面域 . 解解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第3232页页例例3. 计算二重积分在第一象限部分. 解解: (1)两部分, 则其中D 为圆域把D 分成作辅助线第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第3333页页(2) 提示提示: 两部分 说明说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线将D 分成第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第3434页页例例4.求抛物线所围区域 D 的面积A .解解: :如图所示注注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , 第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第3535页页例例5. 交换积分顺序计算解解. 积分域如图. 第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院9/24/20249/24/2024第第3636页页例例7.证明证证: :左端= 右端=。