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[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]江苏省专升本高等数学真题2013年[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]江苏省专升本高等数学真题2013年江苏省专升本高等数学真题2013年一、单项选择题(在下列每小题中，选出一个正确答案)问题:1. 当x→0时，函数f(x)=ln(1+x)-x是函数g(x)=x2的______A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小答案:C[考点] 函数极限连续间断——无穷小及其运算．[解析] 由题意故选C．问题:2. 曲线的渐近线共有______A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C[考点] 导数计算及应用——导数应用．[解析] 当x→1和x→2时，有2条垂直渐近线，当x→∞时，y=2所以有1条水平渐近线，总共3条渐近线故选C项．问题:3. 设则点x=0是函数f(x)的______A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点答案:B[考点] 函数极限连续与间断——连续性判定．[解析] 在0点左极限，等于右极限．问题:4. 设y=f(x2)，其中f具有二阶导数，则______A.2xf"(x2)+2f(x2)B.4x2f"(x2)+2f(x2)C.4xf"(x2)+2f(x2)D.4x2f"(x2)答案:B[考点] 导数计算——二阶导数复合函数求导．问题:5. 下列级数中收敛的是______ A． B． C． D． 答案:D[考点] 级数——一般项分数敛散判别[解析] A．级数收敛，调和级数发散， 所以相加仍为发散． 选项B：故发散． 选项C：发散． 选项D：收敛． 故选D项． 问题:6. 已知函数f(x)在点x=1处连续，且则曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为______A.y=x-1B.y=2x-2C.y=3x-3D.y=4x-4答案:A[考点] 函数极限导数计算及其应用——导数应用及求极限．[解析] 因为f(x)在点x=1处连续， 即f(1)=1，f(1)=0，即k=f(1)=1． 在点[1，f(x)]处的切线方线为y=x-1，故选A项． 二、填空题问题:1. 设在点x=0处连续，则常数a=______．答案:0[考点] 函数极限连续与间断——极限的概念，性质和求法．[解析] (无穷小 有界函数仍为无穷小) 因为在x=0处连续，故 问题:2. 已知空间三点A(1，1，1)，B(2，3，4)，C(3，4，5)，则△ABC的面积为______．答案:[考点] 空间解析几何——矢量运算．[解析] 由题意 因为 所以 问题:3. 设函数y=y(x)由参数方程所确定，则答案:[考点] 多次方程一元求导．[解析]问题:4. 设则常数a=______．答案:a=2[考点] 等价代换求极限．[解析] 等式左边 当a=2时，左边=右边． 问题:5. 微分方程的通解为______．答案:y=xlnx+Cx[考点] 一阶数分方程——齐次方程．[解析] 令y=xu， y=u+xu代入原式①得 u+xu=1+u， xu=1， 两边积分得 u=lnx+C，把代入 得y=xlnx+Cx． 问题:6. 幂级数的收敛数为______．答案:[考点] 级数——函数展开式幂级数收敛区间．[解析] 把代入原式 易得发散． 把代入原式得 由莱布尼兹定理可知， 该收敛域为 三、计算题(每小题8分，共64分)问题:1.答案:[考点] 极限运算——罗必达法则．问题:2. 设函数z=z(x+y)由方程z3+3xy-3z=1所确定，求及dz．答案:原式两边对x偏导． 即 原式两边对y偏导 [考点] 偏导数及全微分运算． 问题:3. 求不定积分∫xsin2xdx．答案:[考点] 不定积分——分步积分法．问题:4. 计算定积分答案:令，x=4-t2， [考点] 定积分——换元积分法． 问题:5. 设函数z=f(x2，e2x+3y)，其中函数f具有二阶连续编导数，求答案:[考点] 多元函数微分学——二阶连续偏导．问题:6. 已知直线在平面∏上，又知直线与平面∏平行，求平面∏的方程．答案:直线的方向向量S1={2，1，-1}，且过点(1，1，1)．设该平面法向量为n，另一直线方向向量为S2， 因为直线S1过平面∏，所以平面方程为：3(x-1)-(y-1)+5(z-1)=0．[考点] 矢量与空间解析几何——空间平面方程的方法． 问题:7. 已知函数y=f(x)是一阶微分方程满足初始条件y(0)=1的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程y"-3y+2y=f(x)的通解．答案:y=C1ex+C2e2x-xex[考点] 常微分方程——二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程．问题:8. 计算二重积分其中D是由曲线与三条直线y=x，x=3，y=0所围成的平面闭区域．答案:如图D区域为 [考点] 多元函数微积分——直角坐标系下的二重积分． 四、综合题(每小题10分，共20分)问题:1. 设平面图形D由曲线与直线y=1所围成，试求： (1)平面图形D的面积； (2)平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 答案: [考点] 定积分的应用——求旋转体体积． 问题:2. 已知是函数f(x)的一个原函数，求曲线y=f(x)的凹凸区间、拐点．答案:对F(x)求导 令f"(x)=0， f(x)=0，解得x1=0，x2=1．x=0处f(x)左导数不等于右导数，故不可导． 当x∈(-∞，0)∪(1，+∞)时，f"(x)＜0为凸函数； x∈(0，1)时，f"(x)＞0为凹函数． 所以点(0，0)，(1，8)为该函数拐点．[考点] 导数计算及应用——拐点定积分与导数关系． 五、证明题(每小题9分，共18分)问题:1. 证明：当x＞1时，(1+lnx)2＜2x-1．答案:构造函数F(x)，令F(x)=2x-1-(1+lnx)2，F(1)=0， 则F(x)单增F(x)＞F(1)=0，F(x)单调增． 所以F(x)＞F(1)=0．所以2x-1＞(1+lnx)2得证．[考点] 导数计算及应用——导数应用． 问题:2. 设函数f(x)在[a，b]上连续，证明：答案:在中，令a+b-x=u， 则有 等号右边 得证．[考点] 函数定积分——事实上积分应用及换元积分． 8 / 8。