2022考研数一真题及解析.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022考研数一真题及解析 2022 2022年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题：1-6小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. xln(1?x)?. x?01?cosxy(1?x)(2) 微分方程y??的通解是 . x(1) lim(3) 设?是锥面z? . (4) 点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离d= . x2?y2(0?z?1)的下侧，那么??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy? ?(5) 设矩阵A???21??2E，那么?，E为2阶单位矩阵，矩阵B得志BA?B?12??B= . (6)设随机变量X与Y相互独立，且均按照区间[0,3]上的平匀分布，那么 P?max{X,Y}?1?= . 二、选择题：9-14小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，那么( ) (A)0?dx??y. (C)?y?dy?0. (B)0??y?dy. (D)dy??y?0. ?1 (8) 设f(x,y)为连续函数，那么 ?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于( ) 0(A) ??220dx?dy??1?x2xf(x,y)dy. (B) ?220dx?1?x20f(x,y)dy. 1?y20(C) 2201?y2yf(x,y)dx. (D) ?220dy?f(x,y)dx. (9) 若级数 ?an?1nn收敛，那么级数( ) (A) ?an?1?收敛. (B) ?(?1)n?1?nan收敛. 16 2022 (C) ?aann?1?n?1收敛. (D) ?an?an?1收敛. 2n?1?(10) 设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且??y(x,y)?0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，以下选项正确的是( ) (A)若fx?(x0,y0)?0，那么fy?(x0,y0)?0. (B)若fx?(x0,y0)?0，那么fy?(x0,y0)?0. (C)若fx?(x0,y0)?0，那么fy?(x0,y0)?0. (D)若fx?(x0,y0)?0，那么fy?(x0,y0)?0. (11) 设a1,a2,?,as均为n维列向量，A是m?n矩阵，以下选项正确的是( ) (A)若a1,a2,?,as线性相关，那么Aa1,Aa2,?,Aas线性相关. (B)若a1,a2,?,as线性相关，那么Aa1,Aa2,?,Aas线性无关. (C)若a1,a2,?,as线性无关，那么Aa1,Aa2,?,Aas线性相关. (D)若a1,a2,?,as线性无关，Aa1,Aa2,?,Aas线性无关. (12) 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2 ?110???列得C，记P??010?，那么( ) ?001???(A)C?PAP. (C)C?PAP. T?1 (B)C?PAP. (D)C?PAP. T?1(13) 设A,B为随机事情，且P(B)?0,P(A|B)?1，那么必有( ) (A)P(A?B)?P(A). (C)P(A?B)?P(A). (B)P(A?B)?P(B). (D)P(A?B)?P(B). 2(14) 设随机变量X按照正态分布N(?1,?12)，Y按照正态分布N(?2,?2)，且 P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},那么必有( ) 16 2022 (A)?1??2. (C)?1??2. (B)?1??2. (D)?1??2. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(此题总分值10分) 设区域D???x,y?x2?y2?1,x?0,计算二重积分I????1?xydxdy . 221?x?yD (16)(此题总分值12分) 设数列?xn?得志0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...? . (I)证明limxn存在,并求该极限 ； n??1?xn?1?xn2(II)计算lim?? . n???xn? (17)(此题总分值12分) 将函数f?x??x开展成x的幂级数 . 22?x?x (18)(此题总分值12分) 设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数，且z?f?x?y22??2z?2z得志等式2?2?0 ?x?y(I) 验证f???u??f??u??0. u(II) 若f?1??0,f??1??1,求函数f?u?的表达式. (19)(此题总分值12分) 设在上半平面D?都有f?tx,ty??t?2??x,y?y?0?内,函数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0f?x,y?. 证明: 对D内的任意分段光滑的有向简朴闭曲线L，都有 ??yf?x,y?dx?xf?x,y?dy?0 L16 2022 (20)(此题总分值9分) ?x1?x2?x3?x4??1?已知非齐次线性方程组?4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解 ?ax?x?3x?bx?134?12(I) 证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2; (II) 求a,b的值及方程组的通解. (21)(此题总分值9分) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解. (I) 求A的特征值与特征向量 (II) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??. (22)(此题总分值9分) TT?1?2,??1 随机变量x的概率密度为 fX?x???,?4?0,???1?x?00?x?2 其他令y?X2,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.求 (I) Y的概率密度fY?y?; (II) F?? (23)(此题总分值9分) ?1?,4?. ?2?0?x?1??,?设总体X的概率密度为f?x,0???1??,1?x?2其中?是未知参数?0???1?. ?0,其它?X1,X2...,Xn为来自总体X的简朴随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求 ?的最大似然估计. 16 2022 2022年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题 (1)【答案】2. 【详解】由等价无穷小替换，x?0时，ln(1?x)?x,1?cosx?12x， 2xln(1?x)x2lim?lim=2 x?01?cosxx?012x2(2)【答案】Cxe?x. 【详解】分开变量， dyy(1?x)dy(1?x)dy1dy1?dx??(?1)dx????dx??dx ??dxxyxyxyxlnylnx?x?ce?e ?y?Cxe?lny?lnx?x?c ??x (3)【答案】2? ?x2?y2?1【详解】补一个曲面?1:?,取上侧，那么?1??组成的封闭立体?得志高斯公式， ?z?1 ???(??P?Q?R??)dv??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?I ???x?y?z?1???P?Q?R???1?2?3?6 ?x?y?z1设 P?x,Q?2y,R?3(z?1)，那么∴I????6dxdydz(?为锥面?和平面?所围区域)?6V(V为上述圆锥体体积) ?注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V 方法1：I?6??2?(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便) 3而 ??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?0(?在?1上：z?1,dz?0) ?1?方法2：先二重积分，后定积分. 1由于V?Sdz，r?0?x2?y2，r2?x2?y2，r2?z2，S??r2??z2， 1?11所以V???z2dz??z2?? .从而I?6V?6??2? 03330116 — 8 —。