等比数列的前n项和(二).doc

精品文档等比数列的前 n 项和（二）[ 学习目标 ] 1. 熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题 .2. 应用方程的思想方法解决与等比数列前 n 项和有关的问题．知识点一等比数列的前n 项和的变式11－ qn1n1n1 n1．等比数列 { n} 的前n项和为n，当公比aa q － 1a－a q a q≠ 1 时， n＝＝＝＝－aSqS1－ － 11－q q－ 11a ；q－ 1当 q＝1 时， Sn＝na1.1na1na1－ q2．当公比 q≠ 1 时，等比数列的前n 项和公式是 Sn＝1－ q，它可以变形为Sn＝－ 1－ q·qa1a1n＋ 1－ q，设 A＝ 1－ q，上式可写成Sn＝－ Aq＋ A. 由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比 q＝ 1 时，因为 a ≠0，所以 S＝ na 是 n 的正比例函数 ( 常数项为 0 的一次函数 ) ．1n1思考在数列 { n} 中， n＋1＝can(c为非零常数 ) 且前n项和n＝ 3n－ 1＋，则实数k等于 ________．aaSk答案1－3解析 由题 { an} 是等比数列，∴ 3n 的系数与常数项互为相反数，而 3n 的系数为 1， 31∴ k＝－ 3.知识点二 等比数列前 n 项和的性质1．连续 m项的和 ( 如 Sm、S2m－Sm、 S3m－ S2m) 仍构成等比数列．( 注意： q≠ － 1 或 m为奇数 )2． m＋n＝ m＋ m n(q为数列 {n} 的公比 ) ．SS q SaS偶3．若 { an} 是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则 S奇 ＝ q.思考在等比数列 {n} 中，若a1＋2＝ 20，3＋4＝ 40，则6等于()aaaaSA． 140B． 120C． 210D． 520。

1 欢迎下载精品文档答案 A解析 S2＝ 20，S4 －S2＝ 40， ∴S6－ S4＝ 80，∴ S6＝S4＋80＝ S2＋ 40＋ 80＝ 140.题型一 等比数列前 n 项和的性质例 1 (1) 等比数列 { an} 中， S2＝ 7， S6＝ 91，则 S4＝______.(2) 等比数列 { an} 共有 2n 项，其和为－ 240，且 ( a1＋ a3＋ ＋ a2n－1) － ( a2＋ a4＋ ＋ a2n) ＝ 80，则公比 q＝ ____.答案 (1)28 (2)2解析 (1) ∵ 数列 { an} 是等比数列，∴ S2，S4－S2， S6－ S4 也是等比数列，即 7，S4－ 7,91 －S4 也是等比数列， ∴ ( S4－7) 2＝ 7(91 －S4) ，解得 S4＝ 28 或 S4＝－ 21.又 ∵ S4＝ a1＋ a2＋ a3＋a4＝a1＋ a2＋ a1q2＋ a2q2＝ ( a1＋a2)(1 ＋ q2) ＝ S2·(1 ＋ q2) ＞ 0，∴ S4＝28.(2) 由题 S 奇＋ S 偶＝－ 240， S奇－ S 偶＝ 80， ∴ S 奇＝－ 80， S 偶＝－ 160，S偶∴ q＝ S奇 ＝2.SS1 (1) 设等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若69跟踪训练＝ 3，则等于()S3S67A． 2B. 38C. 3D． 3答案B解析方法一因为数列 { an} 是等比数列，所以S6＝ S3＋ q3S3， S9＝S6＋ q6S3＝ S3＋ q3S3＋q6S3，于是633S ＝1＋ qS＝ 3，S3S3即 1＋q3＝ 3，所以 q3＝ 2.于是S91＋ q3＋ q61＋2＋ 4 7.＝1＋ q3＝1＋ 2＝S63。

2 欢迎下载精品文档S6方法二由 S3＝ 3，得 S6＝ 3S3.因为数列 {an} 是等比数列，且由题意知q≠ － 1，所以3， 6－ 3， 9－6 也成等比数列，所以SSSSS23( 9－ 6) ，解得9＝ 7S9 7( 6－ 3)＝3，所以＝ .SSS SSSSS6 3(2) 一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前 3项之积为64，求通项公式．解设数列 { a } 的首项为 a ，公比为 q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S，由题意n1偶知S奇＋ S偶＝4S偶，即 S奇＝3S偶．S偶1∵ 数列 { an} 的项数为偶数， ∴ q＝奇＝3.S又1·1·1233＝ 12.＝ 64，∴ 1· ＝64，即 1a a q a qa qa1 n－ 1故所求通项公式为an＝ 12·3.题型二等比数列前 n 项和的实际应用例 2 小华准备购买一台售价为 5 000 元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买 2 个月后第 1 次付款，再过 2 个月后第 2 次付款， ，购买 12 个月后第 6 次付款，每次付款金额相同， 约定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解 方法一设小华每期付款x 元，第 k 个月末付款后的欠款本利为A 元，则：k2＝ 5 000 × (1 ＋0.008) 2－＝ 5 000 ×1.008 2－，AxxA4＝ A2(1 ＋0.008) 2－ x＝ 5 000×1.008 4－ 1.008 2x－ x，12＝ 5 000 × 1.008 12 －(1.00810＋ 1.008 8＋ ＋1.008 2＋ 1)x＝ 0，A5 000 ×1.008 12解得 x＝ 1＋ 1.008 2＋ 1.008 4 ＋ ＋ 1.008 105 000 × 1.008 12＝ 1－ 1.008 2 6 ≈880.8.1－ 1.0082故小华每期付款金额约为 880.8 元．方法二 设小华每期付款 x 元，到第 k 个月时已付款及利息为 Ak 元，则：A2＝ x；A4＝ A2(1 ＋0.008) 2＋ x＝ x(1 ＋ 1.008 2) ；A6＝ A4(1 ＋0.008) 2＋ x＝ x(1 ＋ 1.008 2＋ 1.008 4) ；。

3 欢迎下载精品文档2 4 6 8 10A12＝ x(1 ＋1.008 ＋ 1.008 ＋ 1.008 ＋ 1.008 ＋1.008 ) ．12∵ 年底付清欠款， ∴ A12＝ 5 000 × 1.008 ，即 5 000 × 1.008 12 ＝x(1 ＋ 1.008 2＋ 1.008 4＋ ＋ 1.008 10) ，5 000 × 1.008 12∴ x＝1＋ 1.008 2＋ 1.0084＋ ＋ 1.008 10≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅800 万元， 以后每年投入将比上年减少1游产业． 根据规划， 本年度投入5，本年度当地旅游收入估计为400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用。