常见的微分方程类型归纳.docx

常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未 知函数是多元函数的叫做偏微分方程《微积分》里而的微分方程仅限于常微分方程咱们 所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程形如：手= /(x)g(y)dx求解方式：若是g(y)w方程可化为： —=f(x)dxg(y)，两边取积分,f--= [f(x)dx + c J g(y) J求出积分，那么为方程的通解dy=cosxdx例 1: — = V2 COSX dx '解：将变量分离，取得两边积分，即得 —L = sinx + cy那么通解为 y = "-!一sinx + c二、一阶线性微分方程形如： 当+ P(x)y = Q(x) (1)dx若x) = 0,那么原方程称为一阶线性齐次方程：假设x)HO,原方程称为一阶线性非齐次方程求解方式：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 半+ PMy = 0 (2)dx分离变量，得 —=-P(x)Jxy两边积分，得 y= “-次'疝 (3)(3)为一阶线性齐次方程(2)的通解常数变易法：令对应齐次方程的通中的常数C为c = u（x）（常数变函数）则y = m为非齐次方程⑴的通解；将），=〃（工）「『"'"代入（1）式，解得〃（X）的具体函数表达式， 即求出（1）式的通解。

例2：求微分方程y' — 2x.y = x的通解解：对应齐次方程为:y' — 2xy = 0分离变量，得2xdx = -dyy两边取积分，得j 2xdx = ^—dy解得：y = ±e「+n=±/・eL=ce那么y = 〃（K）e'为原方程的通解，带入原式得w(x)el -2xu[x)ex =x两边积分，得w（x） = -1「+c] = --e^ +c)2即，原方程的通解为：y=[-^e~x：三、二阶常系数线性微分方程 形如：产孙'mw（x）若/（工）=方程为二阶常系数齐次线性微分方程;若/（大）工0,方程为二阶常系数非齐次线性微分方程;1、二阶常系数齐次线性微分方程）严+丹/+冲=0求解方式：第一步 写出微分方程的特点方程r2+pr+c/=O第二步 求出特点方程的两个根,r2.第三步依照特点方程的两个根的不同情形，写出微分方程的通解.例3：求微分方程)，"一2)，'-3y =0的通解.解：所给微分方程的特点方程为r-2r-3 = 0,即(r + l)&_3) = 0其根4=一1,弓=3是两个不相等的实根，因此所求通解为y = c[e~x + c2/'2、二阶常系数非第二线性微分方程y〃+〃v'十分才”)工0注：二阶常系数非第二线性微分方程的通解是由对应齐次方程的通解加自身的特解组成 仅讨论f(x) = 型即 /+pyf+，/y=(x)求解方式：设原方程的特解结构为：/ =eAxQ(x)(1)当义不是特点根时，。

幻可设为Q(x) = 2.(x)，即为机次多项式2)当4是特点单根时，幻可设为Q(x) = xQ“(x)，即为m+ 1次多项式当力是特点重根时，Q(x)可设为Q(x) = YQ,”(x),即为〃?+ 2次多项式例4：求/" +)/ = X?的通解解：特点方程为r2 + r = 0 那么q=0,弓=一1,那么齐次方程的通解为y = q由于2 = 0是特点单根，那么设特解为=xQ2(x) = x(ar+bx+c)代入方程，比较系数得3,ax1+(6ii + 217)x+2b+c = x2因此 a - -,b = -l,c = 23故特解 y9 =x(-x2-x+ 2)工程技术系：孙慧 。