空间力系的平衡及重心.doc

第四章第四章 空间力系的平衡及重心空间力系的平衡及重心第五节第五节 物体的重心及其求法物体的重心及其求法 一､物体重心的概念地球上的物体都受到地球的吸引力，这个吸引力就是重力严格地讲，物体的重力是一个分布力，分布在物体的各个部分，我们通常所说的重力是指这个分布力的合力可以证明，无论物体如何放置，其重力(合力)均通过一个确定的点，这个点就是物体的重心重心是力学中的一个十分重要的概念，在工程实际中有着很重要的意义物体的平衡和稳定，物体旋转时振动的大小等均涉及到重心的位置二､物体重心坐标公式1､ ､物体重心坐标的一般公式物体重心坐标的一般公式假象地将物体分割成若干个微小部分，每部分的重力分别为DG1､DG2……DGn，各力的作用点的坐标分别为(x1，y1，z1)､(x2，y2，z2)……(xn，yn，zn)，该物体的重力 G=DG1+DG2+……+DGn 由合力矩定理可得其重心坐标公式为： 2､ ､均质物体重心坐标公式均质物体重心坐标公式设均质物体的密度为 r，体积为 V，则其重力 G=rVg，每一微小部分的重力Gi=rVig，将此关系代入式(4-8)，可得均质物体的重心坐标公式：3､ ､均质薄板的重心坐标公式均质薄板的重心坐标公式设均质薄板的厚度为 d，面积为 A，则其体积 V=dA，Vi=dAi，将此关系代入式(4-9)，可得均质薄板的重心坐标公式：可见，对均质物体而言，其重心位置完全取决于其几何形状，而与其重量无关，物体的重心就是其形心。

三､物体重心(形心)的求法1､查表法对于简单几何形状的均质物体，其重心可从有关手册中查到，可直接查表见表 4-22､对称法对于具有对称面､对称轴或对称中心的均质物体，其重心就在对称面､对称轴或对称中心上若物体有两个对称面，则其重心就在这两个对称面的交线上；若物体有两个对称轴，则其重心就在这两个对称轴的交点上3､实验法实验法具有直接､简便的特点，在工程实际中，常采用实验的方法测定复杂形状物体的重心1)悬挂法如图所示，任选一点 A 将物体悬挂起来，并在物体上过 A 点做铅垂线AA'，再选另外一点 B 按同样方法画出铅垂线 BB'，则 AA'与 BB'的交点即为物体的重心观看视频(2)称重法 如图所示，先称出物体的重量 G，然后将其一端用固定支点支承，另一端支于磅称上，读出磅称的读数，并量出两支点之间的水平距离 l，就可以根据平衡方程求出重心的位置4､组合法如果物体的形状较复杂，可将其看成是几个形状简单､重心易求的物体组合而成分别求出每一部分的重力和重心坐标，然后利用重心坐标公式求出整个物体的重心例题： 试求图 所示平面图形的形心解：建立直角坐标系 Oxy 如图将图形分割为两个矩形，其面积分别和形心坐标分别为：A1120101200mm2x15mmy160mmA27010700mm2x2103545mmy25mm由形心坐标公式得：xAx AAxAx AACii   1122121200570045 1200700197 . mmyAy AAyAy AACii  1122121200607005 1200700397 . mm若复杂图形是在一个简单图形上切去另外一个简单图形，则可采用负面积负面积法法。

例题：试求图所示阴影部分的形心已知r110cm､r23cm､r317 . cm解：建立直角坐标系 Oxy 如图，因该图形相对于 y 轴对称，故xC 0图示阴影部分可看成是由以下三部分组成：(1)半径为r1的半圆，面积和形心坐标为：Arr1122210 2c m2 ， yr114 340 3cm(2)半径为r2的半圆，面积和形心坐标为：Arr222223 2c m2 ， yr124 34c m(3)挖去半径为r3的圆，面积和形心坐标为：Ar332217  .c m2， y30代入形心坐标公式得：yA yA yA y AAAC 1122331232222221040 3234021023174   .cm重心科技名词定义科技名词定义中文名称：重心 英文名称：center of gravity 定义：在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点 以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 重心重心，是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。

规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定物体的重心，不一定在物体上另外，重心可以指事情的中心或主要部分词词语语解解释释词词目目：：重心 拼拼音音：：zhòng xīn 基基本本解解释释 1. [centre of gravity]∶物体各部分所受重力的合力作用点 规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心 2. [core]∶指事情的核心或主要部分 详详细细解解释释 1. 力学上指物体各部分所受重力的合力的作用点 叶紫 《夜雨飘流的回忆 》二：“我的鞋子很滑，跑起来常常使我失掉重心，而几乎跌倒 ” 2. 事情的中心或主要部分 孙中山《解释自由－－在湖北军政界代表欢迎会演说词》：“未统一以前，政事、军事皆极重要，而统一以后，则重心又移在社会问题 ” 郭沫若《洪波曲》第十四章四：“但在这个会议之后，军政重心又暂时移到衡山去了 ” 3. 几何学上指三角形的三条中线相交的交点 物物理理术术语语定定义义：一个物体的各部分都要受到重力的作用从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心 物物体体重重心心位位置置及及确确定定 物体的重心位置，质量均匀分布的物体（均匀物体） ，重心的位置只跟物体的形状有关。

有规则形状的物体，它的重心就在几何中心上，例如，均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀球体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点不规则物体的重心，可以用 悬挂法来确定.物体的重心 ,不一定在物体上 质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化，起重机的重心随着提升物体的重量和高度而变化 过重心的一条直线或切面把物体或图形分成两份，则两份的体积或面积不一定相等 （不是所有过重心的直线或切面都平分物体或图形的面积或体积，例如过正三角形重心 且平行一边的一条直线把三角形分成面积比为4：5 的两部分关于这一点，可以用物理学的 杠杆原理 解释：分成的两块图形的重心分别到三角形重心的距离相当于杠杆的两个力臂，而两图形的面积相当于杠杆的两个力因为重心相当于两个图形的面积“集中”成的一点（参考重心定义）如以上的例子，分割成的两个图形重心分别到三角形重心的距离正好等于5：4如有兴趣，可用几何画板软件画图证明 ） 物体重心位置的数学确定方法： 在某物体（总质量为 M）所在空间任取一确定的空间直角坐标系O-xyz，则该物体可微元出 i 个质点，每个质点对应各自坐标 (xi,yi,zi)及质量 mi， 已知 M=m1+m2+‥+mi，设该物体重心为 G(X，Y，Z) 则 X=(x1m1+x2m2+‥+ximi)/M Y=(y1m1+y2m2+‥+yimi)/M Z=(z1m1+z2m2+‥+zimi)/M 作作用用凡人有四肢躯干。

头为首其站立俯仰亦各有姿势则生重心重心稳固所谓得机得势重心失中乃有颠倒之虞即不得机不得势也拳术，功用之基础则在重心之稳固与否而重心又有固定与活动之分是专主自己练习拳术之时每一动作均须时时注意之或进退皆然重心与虚实本属一体虚实能变换无常重心则不然虽能移动因系全体之主宰不能轻举妄动使敌知吾虚实又如作战然 太极拳以劲为战术虚实为战略意气为指挥听劲为间牒重心为主帅应时时揣摸默识体会之此为斯道全体大用也重心活动之谓系在彼我相较之间虽在决斗之中必须时时维持自己之重心而攻击他人之重心即坚守全军之司令而不使主帅有所失利也 三三角角形形的的重重心心重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理 证明，十分简单证明过程又是 塞瓦定理 的特例 三角形重心已知：△ABC 中，D 为 BC 中点，E 为 AC 中点，AD 与 BE 交于 O，CO 延长线交AB 于 F求证： F 为 AB 中点 证明：根据燕尾定理， S△AOB=S△AOC，又 S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得 AF=BF，命题得证 重心的几条性质： 1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等 3.重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系 ——横坐标： (X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（ Z1+Z2+Z3）/3 5.重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分 证明：刚才证明三线交一时已证 6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点 其其它它规规则则图图形形的的重重心心注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板 三角形的重心就是三边中线的交点 线段的重心就是线段的中点 平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点 平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点 圆的重心就是圆心，球的重心就是球心 锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个 四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点 寻寻找找重重心心的的方方法法下面是一些寻找形状不规则或质量不均匀物体重心的方法。

a.悬挂法 只适用于薄板（不一定均匀）首先找一根细绳，在物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就是物体重心 b.支撑法 只适用于细棒（不一定均匀）用一个支点支撑物体，不断变化位置，越稳定的位置，越接近重心 一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置 c.针顶法 同样只适用于薄板用一根细针顶住板子的下面，当板子能够保持平衡，那么针顶的位置接近重心 与支撑法同理，可用 3 根细针互相接近的方法，找到重心位置的范围，不过这就没有支撑法的变通方式那样方便了 d.用铅垂线找重心（任意一图形，质地均匀） 用绳子找其一端点悬挂，后用铅垂线挂在此端点上（描下来） 而后用同样的方法作另一条线两线交点即其重心Proe 里面求重心的方法分析--模型--质量属性，在默认坐标系下，默认“使用缺省值”，点击眼镜标识，可以得到模型的体积、曲面面积、平均密度、质量，并根据坐标确定重心坐标值；点击右边的“i”,还可以得到相关窗口信息，还可以作为文件保存。

n. t如果需要相对某坐标系的相对重心，则去掉“使用缺省值”，选择需要的坐标系，同样操作还可以指定方式（指定密度、质量等方式） ，来到的需要的质量、重心数据分析——模型——质量重心——然后在菜单中选中：定义，点系统坐标系，然后就会出现质量重心，如果想让重心坐标显示在模型中，可在基准下勾选基准下的两个选项即可。