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考研数学知识体系总结： 一 函数极限及连续 1 函数概念 如何判断两个函数相等：定义域 对应法则都相同 2 函数的几何性质： 奇偶性 f（-x）=f（x）为偶函数，f（-x）=-f（x）为奇函数 周期性 f（x+t）=f（x）为以 t 为周期的周期函数 有界性 y= f（x）在数集 X 上有定义即 x 属于 X，有| f（x）|＜m，则有上界 3 常见初等函数 幂指对三反 4 隐函数 分段函数 反函数 5 极限的性质 唯一性 保号性 有界性 6 极限存在的判别法则 夹逼定理 g(x)≤f(x)≤h(x) 且 g(x)， h(x)极限等于 A 则 f（x）极限等于 A 单调有界数列必有极限 （归纳法） 7 计算极限的方法 等价无穷小： 当 x→0，且 x≠0，则 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx; x~ln(1+x)~(e^x-1); (1-cosx)~x*x/2; [(1+x)^n-1]~nx; loga(1+x)~x/lna; a 的 x 次方~xlna; (1+x)的 1/n 次方~1/nx(n 为正整数） ； 注：^ 是乘方 洛必达法则 泰勒公式 两个重要极限： 多项式： 8 连续 闭区间上左极限等于右极限等于函数值 9 间断点 （1）第一类间断点：左右界限存在不相等，跳跃；左右极限存在且相等，可去 （2）第二类间断点：无穷间断地；震荡间断点 10 无穷大无穷小的比较 11 闭区间上连续函数的性质 最大值最小值 零点定理 介值定理 二导数与微分 1 导数定义式：题中已知在某点处导数，用定义式做2 求导法则  /x1x /xalnxaa /xexe/logax1 lnxa/ln x1 x/sin x cosx/cosxsin x/tan x2sec x/cot x2csc x/secxsec tanxx/cscxcsc cotxx/arcsin x 211x/arccosx 211x /arctan x21 1x/arccot x21 1x /uv//u vuv/u v//2u vuv v3 复合函数 隐函数求导4 高阶导数：莱布尼兹公式：)()(0)(kknnkk nvuCvu)0(ln)() 1 ()(aaaanxnx)2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnnnnxnx) 1() 1()()4()(nnn xnx)!1() 1()(ln)5(1)(5 函数的微分公式：1d()dxxxd(sin )cos dxx xd(cos )sin dxx x 2d(tan )secdxx x2d(cot )cscdxx x d(sec )sec tan dxxx xd(csc )csc cot dxxx x d()ln dxxaaa xd(e )e dxxx1d(log)dlnaxxxa1d(ln )dxxx21d(arcsin )d 1xx x 21d(arccos )d 1xx x  21d(arctan )d1xxx21d(arccot )d1xxx 三微分中值定理 （1）罗尔定理罗尔（Rolle）定理 如果函数 f（x）在 闭区间[a,b]上连续, 在开区 间(a,b)内可导, 且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 §(a＜§＜b),使得函数 f（x）在该点的导数等于零，即 f’ （§）=0 （2）拉格朗日拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在闭区间上连续, 在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点，使],[ba)(ba等式成立.))(()()('abfafbf（3）柯西中值柯西（Cauchy）中值定理 如果函数及)(xf)(xF在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那],[ba),(ba)('xF),(ba末在内至少有一点,使等式),(ba)(ba成立.)()( )()()()('' Ff aFbFafbf（4）洛必达法则 基本型 0/0 ∞/∞ 型（5）泰勒公式: Taylor 中值定理：如果函数在的某区间内具有直到)(xf0x),(ba阶的导数，则当时，可表示为的一个多项式和一个) 1( n),(bax)(xf)(0xx )(xPn余项之和：)(xRn)()(!)()(! 2)())(()()(00)( 2 00 000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn  6 函数的单调性与极值 f（x）一阶导数＞0 函数单调增加 f（x）一阶导数＜0 函数单 调减少 左增右减的点是极大值点 左减右增的点是极小值点 7 函数图像的凹凸性及拐点：f（x）二阶导数=0 是驻点，f（x）二阶导数＞0 图像为凹 极小值 f（x）二阶导数＜0 图像为凸极大值 只有当驻点左右凹凸性改变了 才是拐点 8 函数的渐近线斜渐近线： 水平 垂直 k  lim xf x xb  lim xf xkx 9 图像描述 10 最大值最小值 极值点与端点值比较 最大的为最大值 最小的为最小值 四不定积分 1 不定积分公式kdx kxx dx11x dx xln x21dx xarctan x 21dxx arcsin xcosxdx sin xsin xdx cosx2sec xdx tan x2ccsxdx cot xsec tanxxdx secxcsc cotxxdx cscxxe dx xexa dx lnxa atan xdx ln cosxcot xdx ln sin xsecxdx ln sectanxxcscxdx ln csccotxx221dxxa1arctanx aa221dxxa1ln2xa axa 221dx xa 22ln xxa221dx ax arcsinx a2 积分方法:（1）第一类换元定理 1 设具有原函数，可导，，则)(uf)(uF)(xudxxdu)(CxFCuFduufdxxxf)]([)()()()]([第一换元法是复合函数求导法则的逆运算，也是微分运算的逆运算，)]([)(xddxx目的是将凑成中间变量的微分，转化成对中间变量的积分。

dxx)(u（2）第二类换元 第二换元法中的三角代换及根式代换 1：被积函数中含有（）,可令（并约定）则22xa 0ataxsin]2,2[t；可将原积分化作三角有理函数的积分分部积分taxacos22tdxadxcos2 被积函数中含有可令 并约定，则)0(22axataxtan)2,2(t； ；可将原积分化为三角有理函数的积分，taxasec22tdtadx2sec3 不定积分的性质1 dxxfkdxxkf)()(2 dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([3 被积分函数中含有 ，当时，可令，并约定22ax )0( aax taxsec，则，，当时，可令，则)2, 0(ttaaxtan22ttadxtansecaxxu，可将原积分化为三角有理函数的积分au  （3）分部积分法是另一个基本的不定积分法，它是由乘积的微分公式得vduuvudv此公式就是分部积分公式若求较难，而求较易，可用分部积分公式使用分部udvvdu 积分法的关键是正确选择和uv五定积分 1 定积分性质：性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)， ba[f (x) g (x)]dx baf (x) dx bag (x) dx ．ba[f (x) g (x)]dx baf (x) dx bag (x) dx ．性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，bak f (x) dx kbaf (x) dx ．bak f (x) dx kbaf (x) dx ．性质 3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，baf (x) dx caf (x) dx bcf (x) dx ．baf (x) dx caf (x) dx bcf (x) dx ．性质 4 如果在区间[a，b]上 f (x)1，则 ba1 dx badx  ba ．性质 5 如果在区间[a，b]上，f (x)0，则 baf (x) dx 0 (a 1nnala+£1n na¥=å( )ii0nN>,则级数发散.11nna a+³1n na¥=å2 调和级数 3 P 级数 4 绝对收敛和条件收敛 （二）幂级数 1 收敛半径和区间： 2 性质： 3 收敛域求法: (1) 缺项 (2) 不缺项 函数展 幂级数—泰勒级数 八常微分方程和差分方程 1 一阶微分方程 （1）可分离变量：分离变量，两边求积分，根据已知求出常数 c （2）齐次微分方程：设 U=y/x （3）一阶线性微分方程： （4）一阶线性微分方程解的结构：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解 2 二阶常系数微分方程 （1） 是二阶线性齐次方程 也是该方程的解. 特征方程 有两个相异实根 r1 r2 因此方程的通解为042 qp特征方程有两个相等实根 r1 =r2 因此原方程的通解为042qp特征方程有一对共轭复根，因此原方程的通解为（2）二阶常系数线性非齐次： Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 非齐次方程通解为： 3 差分方程： （1）一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1tfPyytt其中, P 为非零常数, 为已知函数. 如果则方程变为)(tf, 0)(tf01ttPyy)(),(21xyxy若函数0 qyypy)()(2211xyCxyCy则02qrpr042 qpxrxreCeCy21 21xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx)(xfqyypy  )(*)(xyxYy（2） 二阶常系数线性差分方程的一般形式:)(12tfbyayyttt其中均为常数, 且 是已知函数. 当时, 方程变为ba,, 0b)(xf0)(xf012tttbyayy（3）二阶常系数线性齐次差分方程的通解特征方程 02ba。