第13章网络的图网络矩阵及网络方程.ppt

第第1313章章 网络图网络图 网络矩阵与网络方程网络矩阵与网络方程 本章介绍利用图论工具分析电路的方法利用图本章介绍利用图论工具分析电路的方法利用图论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电路方程表达成矩阵形式主要内容有：图、子图、连路方程表达成矩阵形式主要内容有：图、子图、连通图、树、基本回路和基本割集等概念；图的矩阵表通图、树、基本回路和基本割集等概念；图的矩阵表示、基尔霍夫定律的矩阵表示；借助矩阵运算将电路示、基尔霍夫定律的矩阵表示；借助矩阵运算将电路方程表达成矩阵形式；借助专用树列写电路的状态方方程表达成矩阵形式；借助专用树列写电路的状态方程本章目次本章目次13.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集13.1 网络的图网络的图 树树13.3 关联矩阵及基尔霍夫关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式定律方程的关联矩阵形式13.4 基本回路矩阵及基尔基本回路矩阵及基尔霍夫定律方程的基本回路霍夫定律方程的基本回路矩阵形式矩阵形式13.5 基本割集矩阵及基尔霍夫基本割集矩阵及基尔霍夫定律方程的基本割集矩阵形式定律方程的基本割集矩阵形式13.6 广义支路及其方程的矩阵广义支路及其方程的矩阵形式形式13.7 用矩阵运算建立节点电压用矩阵运算建立节点电压方程方程13.8 用矩阵运算建立回路电流用矩阵运算建立回路电流方程和割集电压方程方程和割集电压方程引言引言13.0引引 言言1. 欧拉与哥尼斯堡桥： 有条名有条名叫叫 Pregel 的河流经哥尼斯的河流经哥尼斯堡堡( (现加里宁格勒现加里宁格勒) )，河中有两个岛，把市区分成四块陆地，河中有两个岛，把市区分成四块陆地(A,B,C,D)，，陆地间有七个桥相通。

能否从任一陆地出发，走陆地间有七个桥相通能否从任一陆地出发，走遍七桥而每桥只走一次？遍七桥而每桥只走一次？哥尼斯堡哥尼斯堡市区市区图图图论趣话七桥问题的解决欧拉欧拉规则规则(a)(a)连接奇数连接奇数个桥的个桥的陆地只有一陆地只有一个个或或超过超过两个两个以上以上时，时，不能实不能实现现一笔画b) (b) 连接奇数连接奇数个桥的个桥的陆地陆地仅有仅有两个时，则从两个时，则从两者两者中任一中任一陆地陆地出发出发，，可以实现可以实现一笔画而停在一笔画而停在另一另一陆地陆地c) (c) 每块每块陆地陆地都都连接连接有有偶数偶数个个桥时，则从任一桥时，则从任一陆地出发陆地出发都能都能实现实现一笔画，而一笔画，而回到出发点回到出发点ABCD 用点表示陆地，用线表示陆地间的桥，便抽象成图用点表示陆地，用线表示陆地间的桥，便抽象成图问题变成该图能否实现一笔画？问题变成该图能否实现一笔画？2. 平面图与非平面图国王遗嘱大意国王遗嘱大意：把：把国土分成国土分成5 5块给块给儿子儿子，，规定规定各块各块之间之间都都要有要有边界边界儿子儿子又又提出提出在在自己分自己分到的到的领土领土上都要修上都要修一个王一个王宫宫，，并且并且各各王宫之间王宫之间都要有路直接都要有路直接相通相通而而不能交叉。

能否不能交叉能否解决解决？？用点表示王宫，用线表示王用点表示王宫，用线表示王宫间的道路，便抽象成图宫间的道路，便抽象成图问题变成该图是否为平面图问题变成该图是否为平面图？？3. 四色定理四色问题四色问题：只须：只须4 4种种不同颜色不同颜色，就能使，就能使平面地图平面地图上上任何任何两个两个相相邻邻的的国家国家的的颜色不同颜色不同图论图论问题问题：用点：用点表示国家表示国家，用边，用边表示国家表示国家直接直接相邻相邻证明证明只只须须4 4种种颜色颜色就可使所有就可使所有相邻顶点具有不同颜色相邻顶点具有不同颜色1890年年P.J. Heawood 提出提出用五种用五种颜色着色颜色着色1969年年O.Ore 在在40个个国家国家的的地图地图上上证明证明了了四色定理四色定理1976年，年，K.Appel, W.Hahen, J.Koch 用用计算机工计算机工作作1200小时小时宣布证明宣布证明了了四色定理四色定理4. 图论的主要应用(1)电电网络的网络的分析与综合分析与综合2)印刷电路印刷电路与与集成电路集成电路的的布线和测试布线和测试3)通讯网络通讯网络4)在理论在理论物理和物理和统计力学的应用统计力学的应用(杨振宁杨振宁、、李政道李政道)。

5)在化学领域的应用在化学领域的应用(同分异构体同分异构体)6)在心理学领域的应用在心理学领域的应用(1936年年,K.Lewin:拓扑心学拓扑心学)7)在经济学领域的应用在经济学领域的应用(税率税率涨落涨落、、商品流通商品流通、、供求关系供求关系) 8)在计算机科学领域的应用在计算机科学领域的应用(计算机网络计算机网络) 图图(graph) :由由“点点” 和和“线线”组成•“点点”也称为节点或顶点也称为节点或顶点(vertex)，，“线线”也称为支路或也称为支路或边边(edge) •图通常用符号图通常用符号G来表示 1. 网络的图 图图 (a) (a) 电路只含二端元件，对应的图如图电路只含二端元件，对应的图如图 (b)(b)所示所示电桥电路及其图电桥电路及其图 基本要求：掌握网络的图、子图、连通图、割集和树等概念基本要求：掌握网络的图、子图、连通图、割集和树等概念  连通图连通图：：图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为 连通图连通图 ；否则称为；否则称为非连通图。

非连通图子图子图：： 图的一部分称为图的一部分称为子图子图一个孤立的节点也是一个子图一个孤立的节点也是一个子图 两个子图两个子图含互感电路及其图含互感电路及其图 123456④②③①有向图：有向图：图中的所有支路都指定了方向，则称为图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图有向图；反；反之为无向图之为无向图回回 路路：： 从从图图中中某某一一节节点点出出发发，，经经过过若若干干支支路路和和节节点点( (均均只只许经过一次许经过一次) )又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路割割 集：集： 连通图的连通图的割集割集是一组支路集合，并且满足：是一组支路集合，并且满足：(1)(1)如如果移去包含在此集合中的全部支路果移去包含在此集合中的全部支路( (保留支路的两个端点保留支路的两个端点) )，，则此图变成两个分离的部分则此图变成两个分离的部分2)(2)如果留下该集合中的任一如果留下该集合中的任一支路，则剩下的图仍是连通的支路，则剩下的图仍是连通的 (a)(b)为割集，为割集，(c)(d)为非割集为非割集 割集与非割集示例割集与非割集示例 树树(tree)(tree)：：连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通子图。

属于树的支路称为连通子图属于树的支路称为树支树支，，其余支路称为其余支路称为连支连支 2. 树 分别表示支路数、树支数和连数分别表示支路数、树支数和连数左图的部分树左图的部分树 电桥电路及其图电桥电路及其图 1. 基本回路 基本回路：基本回路：每一个连支和必要的树支都构成一个单连支回路，每一个连支和必要的树支都构成一个单连支回路，称为基本回路称为基本回路基本回路的方向规定为所含连支的方向基本回路的方向规定为所含连支的方向 基本回路的性质：基本回路的性质：(a′) (b′) (c′) 图中图中3 3个基本回路个基本回路的的KVLKVL方程为独立方程为独立图中树支图中树支1 1、、2 2、、3 3用实线表示；连支用实线表示；连支4 4、、5 5、、6 6用用虚线表示虚线表示 基本要求：掌握基本回路和基本割集的定义；理解基本回路基本要求：掌握基本回路和基本割集的定义；理解基本回路KVLKVL的独立性和基本割集的独立性和基本割集KCLKCL的独立性、树支电压的独立性和连的独立性、树支电压的独立性和连支电流的独立性支电流的独立性再增加一个由支路再增加一个由支路1 1、、4 4、、5 5、构成的回路、构成的回路推广到一般情况：推广到一般情况：对基本回路列写的基基本回路列写的基尔尔霍夫霍夫电压定律方程是定律方程是一一组独立方程，因此称基本回路是一独立方程，因此称基本回路是一组独立回路。

独立回路 (a) (b) (c) 不再独立不再独立连支电压可以用树支电压的线性组合来求得连支电压可以用树支电压的线性组合来求得(a′) (b′) (c′) 例如由式例如由式(a)-(c)(a)-(c)求求得各连支电压为得各连支电压为 结论：结论：在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量123456④②③①由（由（a）与）与(b)相减得到相减得到2. 基本割集 基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零单树支割集单树支割集基本割集：基本割集：每取一个树支作一个单树支割集，称为每取一个树支作一个单树支割集，称为基本割集基本割集 基本割集的方向规定为所含树支的方向基本割集的方向规定为所含树支的方向 基本割集的性质基本割集的性质(a) (b) (c) 图中图中3 3个基本割集个基本割集KCLKCL方程是方程是（独立）（独立）由由1、、2、、4构成的割集构成的割集（由（由(b)-(a)(b)-(a)得到）得到）不再独立不再独立任一树支电流都可通过任一树支电流都可通过KCLKCL表达成连支电流的线性组合。

表达成连支电流的线性组合任一连支电流不能仅通过任一连支电流不能仅通过KCLKCL表达成其它连支电流的线性组表达成其它连支电流的线性组合，因为仅由连支不能形成割集合，因为仅由连支不能形成割集结论：结论：在全部支路在全部支路电流中，流中，连支支电流是一流是一组独立独立变量a) (b) (c) (a′) (b′) (c′) 推广为一般情况：推广为一般情况：基本割集的基基本割集的基尔尔霍夫霍夫电流定律方程是一流定律方程是一组独立方程因此称基本割集是一独立方程因此称基本割集是一组独立割集独立割集基本割集数等于基本割集数等于树支数支数 在在在在上上上上图图图图所所所所示示示示网网网网络络络络的的的的图图图图1)(1)(1)(1)选选选选择择择择一一一一组组组组独独独独立立立立的的的的支支支支路路路路电电电电压压压压，，，，并并并并用用用用以以以以表表表表达达达达其其其其它它它它支支支支路路路路电电电电压压压压；；；；(2)(2)(2)(2)选选选选择择择择一一一一组组组组独独独独立立立立的的的的支支支支路路路路电电电电流流流流，，，，并并并并用用用用以以以以表表表表达其它支路电流达其它支路电流。

达其它支路电流达其它支路电流选选择择一一树树:{1,2,3,4}:{1,2,3,4}，，树树支支电电压压是是一一组组独独立立的的支支路路电电压压，，连连支电流是一组独立的支路电流支电流是一组独立的支路电流 123456④②③①(1)(1)对基本回路列写对基本回路列写KVLKVL，， 可以求得连支电压：可以求得连支电压： (2)(2)对基本割集列写对基本割集列写KCL KCL 可以求得树支电流：可以求得树支电流： 例题13.1 1.关联矩阵 对于对于n n个节点个节点b b条支路的图，定义一个矩阵条支路的图，定义一个矩阵( (行号对应节点行号对应节点 号，列号对应支路号号，列号对应支路号),),矩阵中第矩阵中第i i行第行第j j列元素定义为列元素定义为 节点支路关联阵节点支路关联阵 基本要求：熟练掌握关联矩阵的定义，并用以表达基基本要求：熟练掌握关联矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定尔霍夫定律 除去节点除去节点④④对对应的第应的第4 4行行 的任意一行都可由其他的任意一行都可由其他n n-1-1行来确定，它只有行来确定，它只有n n-1-1个独个独立行。

可将其任意一行省略，得到一个缩减的矩阵，简称立行可将其任意一行省略，得到一个缩减的矩阵，简称关关联矩阵联矩阵，，记为记为A A 支路：支路：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6节点节点①①节点节点②②节点节点③③节点节点④④例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点- -支路关联矩支路关联矩A A′′为为2. 基尔霍夫定律的关联矩阵形式 对上图的节点对上图的节点①①、、②②、、③③列列KCLKCL方程并写成矩阵形式为方程并写成矩阵形式为此方程组的系数矩阵就是该图的关联矩阵此方程组的系数矩阵就是该图的关联矩阵A A推广到一般情况：将推广到一般情况：将b个支路电流写成支路电流向量，则基个支路电流写成支路电流向量，则基尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为 AIAI＝0 0(1) KCL的关联矩阵形式的关联矩阵形式(1) KVL的关联矩阵形式的关联矩阵形式此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵A A 的转置选选下图的节点下图的节点④④为参考点，用节点电压之差表示支路电压，为参考点，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式并写成矩阵形式推广到一般情况：设网络有推广到一般情况：设网络有b条支路，条支路，n个节点，第个节点，第n号节点号节点为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作则节点电压与支路电压的关系即则节点电压与支路电压的关系即KVL表示基本回路与支路的关联关系。

定义表示基本回路与支路的关联关系定义B 的行对应基本回的行对应基本回路列对应支路，路列对应支路，B B的元素定义为的元素定义为 基本要求：掌握基本回路矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定基本要求：掌握基本回路矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律1.基本回路矩阵B B与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为 例：例：如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵序与连支相同，则在矩阵 B B 的右边存在单位矩阵的右边存在单位矩阵支路：支路：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6回路回路4 4回路回路5 5回路回路6 6推推广广到到一一般般情情况况：：设设U U 表表示示支支路路电电压压向向量量，，基基氏氏电电压压定定律律的的基本回路矩阵形式为基本回路矩阵形式为 2. 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式对左图所示基本回路列写对左图所示基本回路列写KVLKVL方程，方程，并写成矩阵形式并写成矩阵形式 其系数矩阵是其系数矩阵是上图的基本回上图的基本回路矩阵路矩阵(1) KVL的基本回路矩阵形式的基本回路矩阵形式如果支路编号使得矩阵如果支路编号使得矩阵B B的右边出现单位矩阵，则上述的右边出现单位矩阵，则上述KVLKVL方方程可写成程可写成用树支电压用树支电压表示连支电压表示连支电压对下图所示基本割集列写对下图所示基本割集列写KCLKCL方程并写成矩阵形式方程并写成矩阵形式 (a) (b)系数矩阵是基系数矩阵是基本回路矩阵本回路矩阵B B 的转置。

式的转置式(b)(b)就是基尔霍夫就是基尔霍夫电流定律的基电流定律的基本回路矩阵形本回路矩阵形式2) KCL(2) KCL的基本回路矩阵形式的基本回路矩阵形式推广到一般情况推广到一般情况: : 基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为 如果支路编号使得矩阵如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程方程可写成可写成用连支电流表示树支电流用连支电流表示树支电流基本要求：理解基本要求：理解基本割集矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定基本割集矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律矩阵的行对应基本割集，列对应支路，其元素为矩阵的行对应基本割集，列对应支路，其元素为1. 基本割集矩阵C C如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵序与连支相同，则在矩阵 C 的左边存在单位矩阵的左边存在单位矩阵支路：支路：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6割集割集1 1割集割集2 2割集割集3 3与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为2. 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式 对左图所示的基本割集列写基尔霍夫对左图所示的基本割集列写基尔霍夫电流定律方程并写成矩阵形式为电流定律方程并写成矩阵形式为上述方程的系数矩阵刚好是上图的基本割集矩阵。

上述方程的系数矩阵刚好是上图的基本割集矩阵1) KCL(1) KCL的基本割集矩阵形式的基本割集矩阵形式推推广广到到一一般般情情况况：：设设I I表表示示支支路路电电流流向向量量，，则则基基尔尔霍霍夫夫电电流流定定律的基本割集矩阵形式是律的基本割集矩阵形式是 如果支路编号使得矩阵如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述的左边出现单位矩阵，则上述KVL方方程可写成程可写成用连支电流用连支电流表示树支电流表示树支电流对对左左图图所所示示的的基基本本回回路路列列电电压压方方程程，，并并写成矩阵形式得写成矩阵形式得再扩展到全部支路电压再扩展到全部支路电压(2) KVL的基本回路矩阵形式的基本回路矩阵形式推广到一般情况：设树支电压向量为，则基尔霍夫电压定推广到一般情况：设树支电压向量为，则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是律的基本割集矩阵形式是 如果支路编号使得矩阵如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述的左边出现单位矩阵，则上述KVL方方程可写成程可写成用树支电压用树支电压表示连支电压表示连支电压由连支电流求得树支电流为由连支电流求得树支电流为 由欧姆定律求得树支电压由欧姆定律求得树支电压最后求出连支电压最后求出连支电压求连支电压。

求连支电压某网络图的连支电流某网络图的连支电流树支电阻树支电阻基本割集矩阵基本割集矩阵特特勒勒根根定定理理 设两两个个集集中中参参数数电路路 的的有有向向图相相同同，，其其支支路路电压向量分向量分别为 及及 支支路路电流流向向量量分分别为 及及 ，，则有有 证明：证明：将电路将电路 的的KVLKVL关联矩阵形式，关联矩阵形式， 转置，得转置，得 两边同时右乘电路两边同时右乘电路 N N 的支路电流向量的支路电流向量I I，，并引用并引用 ，得，得 再将电路再将电路N N的的KCLKCL的关联矩阵形式，即的关联矩阵形式，即 代入上式，得代入上式，得 同理可证同理可证 3.网络矩阵之间关系 (1)关联矩阵与基本回路矩阵关系关联矩阵与基本回路矩阵关系 对同一图的关联矩阵对同一图的关联矩阵A A和对应任一树的基本回路矩阵和对应任一树的基本回路矩阵B B有有连支电流是一组独立变量可随意给定，因此可得连支电流是一组独立变量可随意给定，因此可得或(2)基本回路矩阵与基本割集矩阵关系基本回路矩阵与基本割集矩阵关系 在图中任取一树，写出基本回路矩阵在图中任取一树，写出基本回路矩阵B B和基本割集矩阵和基本割集矩阵C C，有，有因对任意树支电压均成立因对任意树支电压均成立, ,由此得由此得或或将上式展开得常用关系将上式展开得常用关系 上式表明由基本回路矩阵上式表明由基本回路矩阵B B可求基本割集矩阵可求基本割集矩阵C C，，反之亦然反之亦然如如果果对对支支路路、、基基本本回回路路和和基基本本割割集集的的编编号号使使得得矩矩阵阵B B和和矩矩阵阵C C中中均均出出现单位子矩阵，则上式可进一步写成分块矩阵的形式现单位子矩阵，则上式可进一步写成分块矩阵的形式 第第k k条广义支路的方程可以表示成条广义支路的方程可以表示成 (k=1,…b)b b条支路的支路方程矩阵形式是条支路的支路方程矩阵形式是( (省略了复变量省略了复变量s s) ) 基本要求：掌握广义支路的定义及其方程的矩阵形式、定义广义基本要求：掌握广义支路的定义及其方程的矩阵形式、定义广义支路的目的。

支路的目的简写为简写为 若矩阵若矩阵Z Z存在逆矩阵存在逆矩阵 ，令，令 ，并乘，并乘 两两端，得端，得 其中其中U U 、、I I为支路电压向量与支路电流向量为支路电压向量与支路电流向量为为支路源电压与支路源电流量支路源电压与支路源电流量为为支路阻抗矩阵与支路导纳矩阵支路阻抗矩阵与支路导纳矩阵含有互感元件含有互感元件互感支路互感支路 其支路方程的矩阵形式为其支路方程的矩阵形式为 与其它支路方程合在一起并写成矩与其它支路方程合在一起并写成矩 阵形式得阵形式得 以以图图(a)(a)为为例例，，含含VCCSVCCS支支路的支路方程为路的支路方程为 故支路导纳矩阵为故支路导纳矩阵为 令 ( (称称节点导纳矩阵节点导纳矩阵)节点电压方程节点电压方程简化为简化为AIAI＝0 0移项后得移项后得 节点电压方程节点电压方程基本要求：掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建立节基本要求：掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建立节点电压方程的步骤点电压方程的步骤利利利利用用用用本本本本节节节节方方方方法法法法列列列列写写写写图图图图(a)(a)(a)(a)所所所所示示示示电电电电路路路路的的的的节节节节点点点点电电电电压压压压方方方方程程程程，，，，并并并并求出各广义支路的电压和电流。

求出各广义支路的电压和电流求出各广义支路的电压和电流求出各广义支路的电压和电流 (1) (1) 按广义支路定义，对照图按广义支路定义，对照图(a)(a)作出网络的图作出网络的图 (b)(b)(2)(2)根据图写出关联矩阵根据图写出关联矩阵A A (3) (3) 根据网络图并对照图根据网络图并对照图(a)(a)写出写出 (4) (4) 计算计算(6) (6) 求解上式得节点电压求解上式得节点电压 (5) (5) 按按 列出节点电压方程列出节点电压方程(7) (7) 根据式根据式 和式和式 求出广义支路电压和广义支路电流求出广义支路电压和广义支路电流  对对于于本本例例的的简简单单电电路路，，按按上上述述步步骤骤列列写写节节点点电电压压方方程程还还不不如如用用以以前前学学过过的的方方法法简简便便但但对对于于复复杂杂电电路路，，必必须须按按照规范步骤列写电路方程，以便编制计算程序照规范步骤列写电路方程，以便编制计算程序 1.回路电流方程的建立 (c) 令令(d) (e) 式式(b)(b)可以简写成可以简写成 (a)基本要求：掌握用基尔霍夫定律的矩阵形式建立回路电流方程基本要求：掌握用基尔霍夫定律的矩阵形式建立回路电流方程的割集电压方程的方法。

的割集电压方程的方法b) 基本回路方程基本回路方程矩阵形式矩阵形式移项移项 (a)割集电压方程割集电压方程矩阵形式矩阵形式割集电压方程式割集电压方程式(a)(a)可简写成可简写成 ( (割集导纳矩阵割集导纳矩阵) )( (割集源电流向量割集源电流向量) )令。