曾谨言量子力学习题解答第六章.pdf

第六章：中心力场 [1]质量分别为 m1,m2的两个粒子组成的体系，质心座标及相对座R 标r为： R =212211 mmrmrm (1) r12rrr (2) 试求总动量21ppP及总角动量21llL在R , r表象中的 算符表示 1. [解] （a）合动量算符21ppP根据假设可以解出1r，2r令21mmm ： rmmRr12 1 （３） rmmRr21 2 （４） 设各个矢量的分量是),,(1111zyxr，),(22, 22zyxr, ),,(zyxr和),,(ZYXR 为了计算动量的变换式先求对1x， 2x等的偏导数： xXmm xxx XxX x  1111（5） xXmm xxx XxX x  2222（6） 关于1y，2y，1z，2z可以写出与（5） （6）类似的式子，因而： )()(212^1^^2^1^xxippppPxxxx=XixXmm xXmm i)(21RiZikYijXiiP^(b)总角动量)(2211^2^1^ rrillLxxrriL)(2211^ =)()(22 221 11yzzyizzyi利用（3） ， （4） ， （5） ， （6） ： ))({(12^zZmmymmYiLx))((12 yYmmzmmZ ))((21 zZmmymmY )})((21 yYmmzmmZ =)()({1 yZzYYZZYmm i)()(221 yzzymm YzZymmm  )()(2 yZzYYZZYmm  )}()(2221 yzzymm YzZymmm  =)}(){(yzzyYZZYi=xrRriRi)(因而 rRriRiL^[2]证明rrr1],[212，],[212r（证明）第一式)(2122rr =))((21222 222222 zyxzyx)(21222222 222 zyxzyx但xzyx zyxxzyxx 222222222)( 222222 22 ()( zyxx xzyxx +)222 xzyx=232222222)())((zyxxxxzyx+22 222 23222)(xzyxzyxxx 即 22 222222 22xzyxzyxx =232222222)(2zyxxzyxxx  同样写出关于 y,z 的式子，相加得： 22222222 {21)(21zyxzzyyxx rr +}3222zyx=rzrz yry xrx=)1(rr因是任意函数，因而第一式得证。

第二式的证明：该式是矢量的恒等式，取等式左方一式的 x 分量 并蒋它运算于任何函数，要注意2 标量算符而 r是矢量算符： )(21],[21222xxrx=))({(21222222 xzyx)(222222zyxx} =)2(21222222zxyxxxxxzxyxxx}222222因此在出写出关于 y,z 的式子后有 zkyjxir],[212[3]中心力场)(rV中的经典粒子的哈密顿量是 )(2222 rVmrlmpHr 其中prrpr1^ 当过渡到量子力学时，rp要换为 )1(]11[21^rrirrpprrpr问prrri1是否厄米算符？rp^ 是否厄米算符 （解）对第一个算符取厄米共轭算符，加以变换，看其是否与原 算符相等，为此利用乘积的厄米算符公式 （^ A^ B^ C）=^^^ ABC 若prrpr1^ ,则 )1()1(^^^^rrpprrpr因为^ p,r,r1等自身是厄米的,因而有 )1( ^^^rrppr 要看出^  rp,rp^ 的关系将rp^ 作用于任意函数： rzpryprxprrpzyx111)1(^^ =)}()()({rz zry yrx xi=}2)(1{rzzyyxxri=)21(^^rprr即 rppr2^^ ，因而rp^ 不是厄米算符。

因为^^rrpp 利用以上结果，或者直接对^rp取厄米共轭式，都证明rrpp^因此可认为rp^ 是厄米的，证明在后面，但是关于这问题学术上有争论， 因为它还需要满足另一些条件(Liboff) CfRLLiboff: American Journal of Physics 976(1973) ]11[21)(^^^^^rrpprrpr=^^^^^^ )1()1((21prrrrp=^^^^^ ]11[21rpprrrrp CfAMessian:Quantum Mecnanics P346(1961) [4]经典力学中 22222)()(prprprl 在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？ （解）)()()(^^^^2^^ prprpr =)( )(^^^^^^^^yxyxpzpypzpy +)( )(^^^^^^^^xxxxpxpzpxpz +)( )(^^^^^^^^xyxypyyxpypx =)(^ 2^ 2^^^^^^^^^ 2^ 2 yzyyxxpzpypzpzpypy +)(^ 2^ 2^^^^^^^^^ 2^ 2 zxzzxxpxpzpxpxpzpz +)(^ 2^ 2^^^^^^^^^ 2^ 2 xyxzyypypxpypypxpx =)(^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2 xyzxyxpypxpxpzpzpy xyyxpipyzpipzy^^^^^^^ )()( ~206~ 物 83—309 蒋 xyzxpipyxpipxz^^^^^^^^ )()( yyyxpipyxpipxy^^^^^^^^ )()( 最后一式加上下述这个等于零的式子： ^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2^ 2 zyxyxpzpypxzpypx 得：^^2^^2^2^2^^ 2)()()()(priprprpr 因此经典角动量平方公式与量子力学的不相同，只有=0 才相同。

[5]求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式利用所得结 果，计算2 xp用 x 表象中的氢原子波函数计算2x,并验证测不准关 系式 （解）本题是三维问题，氢原子基态波函数用座标表象时写作： are ar231),,(  （1） 但22ea是玻尔半径，将（1）代入三维的座标，动量波函数变换式， 此式是： xderphrp i3^ )()2(1)( 23  (2) 为使计算简单，可选择 z 轴与动量p的瞬时方向重合，这样 cosprrp~207 将（2）中的)(r用（1）式代入，进行积分，积分的次序是，，r： ripr ar eap cos223)2(1)( ddrdrsin2=ripr ar drrdea 2cos )sin()2(123 =rdreeipraipr aripr arr 0)()2(123 =rdreeipaipr aripr ar )()2(123 =} )(1)(1{)2(12223 ip arip aripa =2222)()2(23 paa （3） 其次为了验证氢原子的测不准关系，需要计算座标动量的平均值，计 算与座标有关的平均值时，用)(r为波函数，反之计算动量平 均值时，可用动量波函数)(p：测不准关系的验证，是通过一个指 定方向（如 x 轴）的分量间关系： rar earxdrx22221)( 0sin)cossin(2ddrdrr ~208~ 物 83 –309 蒋 rardxrx222221)(ddrdrrear sincossin22222 =202030422cossin1dddrrearar=  ddrrearar )sin43 43sin(100423 d)2cos21 21(20 =25368)2(! 41aaa(4) 在计算动量有关平均值时，可采用动量相空间的球面极座标参考系， 设动量相空间直角坐标为xp，yp，zp则球面极座标用lllr,,表 示，prl ll xppcossin ll yppsinsin l zppcos 2532)2()(arpppl xx lllllrddpdppaplllsincossin)(2 222=042223253)()2(rpadppa  202cossinllddll（5） ~209~ l xxrdppp3222)( =042224253)()2(rpadppa  lllldd20203cossin (6) 与 p 有关的积分可用替代tgap入(6)式的第一道积分，得： 2024 35042224 cossin1 )(dapadpp =2035)26cos4cos22cos1 (161da=351 64a代入（6）得： 0253352)3sinsin3(4181 64lll xdap llld20)2cos1 (21=2202233cos31cos332aall代入测不准关系式： 2222)()(xxxppxxpx 233aa [6]在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动 量的各个分量均为守恒量。