天津大学大学物理内部课件6.ppt

返回第二章 刚体定轴转动 本章将要介绍一种特殊的质点系刚体所遵从的力学规律刚体可以看成由许多质点组成在外力的作用下各质元之间的相对位置保持不变因此，刚体是固体物件的理想化模型 内 容 提 要 刚体定轴转动运动学 转动定律 刚体定轴转动动能定理，功能关系 角动量原理 角动量守恒定律水平面刚体水平面刚体第一节 刚体的两种基本运动形式刚体的两种基本运动形式一 平动 结论：刚体在平动运动中，连接体内的直线在空间的指向总保持不变，各点具有相同的速度,相同加速度可按质点力学的规律处理固定轴刚体二 定轴转动特点：各点绕轴在与轴垂直的平面内做圆周运动各质点的速度，加速度一般不同 三 刚体更复杂的运动形式：平面平行运动，定点转动，举例说明（略讲)定轴转动平动一 刚体定轴转动的运动方程第 二 节 刚体定轴转动运动学固定轴刚体 如图，一刚体定轴转动，如何确定该刚体的位置 在固定轴上固结轴与 的夹角 不断设想在刚体上有一直线 ，在刚体转动中，变化，是时间 的函数， 一定， 则刚体的位置确定（或曰刚体上的所有质点的位置确定）， 变化，说明刚体的位置变化 因而，用可确定刚体的位置 为刚体定轴转动的运动方程如同质点一维运动时的二 角速度 设称为角位移，代数量。

则固定轴刚体平均角速度解释（略）瞬时角速度即对运动方程求一阶导数单位或矢量性角速度 可以定义为矢量，以 表示，它的方向规定为沿轴的方向其指向用右手螺旋法则确定 在定轴转动中，因为角速度仅有两个方向，故可用代数量来表示其矢量性具体做法是：规定一转动方向为正方向，当角速度与其同向时，取正；反之取负，详见后面例题分析刚体三 角加速度固定轴刚体加速转动减速转动 若 是变化的，同理得瞬时角加速度单位或或由运动方程 可得 ，均为代数量矢量式为同样，在定轴转动中，角加速度仅两个方向，当与角速度正方向同方向时，取正；反之取负，详见后面例题分析对匀变速转动的特殊情形恒量若则有固定轴四 角量和线量的关系 如图，刚体上一点绕轴在与刚体的轴相垂直的平面内做圆周运动，半径为 加速度法向加速度切向加速度该点速度为例题质点直线运动与刚体定轴转动运动规律比较运动方程速度加速度其他关系式运动方程角速度角加速度其他关系式 例 21 刚体定轴转动的运动方程为 ，求 1 时的 和 ； 2 时， 处的 ， 和 解：12时例题：有一半径为0.5cm定轴转动的飞轮，以匀角加速度自静止开始运动，在10s末其转速达到3000r/min。

试求：1）角加速度以及在10s内飞轮转过的角位移；2）然后经制动而均匀减速，经20s后停止运转，求制动后第10s末时的角速度，轮边一点的线速度、切向加速度和法向加速度解：有的时候在工程上常用每分钟转过的圈数，也就是转速n来描述刚体转动的快慢，n与之间的关系： （1）由题意知， ，因为是匀加速， 所以 制动后经过20s匀减速停止，则 负值说明什么？（角加速度与角速度反向，作减角速度转动） 则制动后10s的角速度为： 轮边一点的线速度大小为： 切向加速度为： 负值的意义？（第10s时切向加速度与速度反向作匀减速运动） 该点的法向加速度为：*矢量关系矢量式大小方向向内由矢量关系可知，第一项为切向加速度，第二项为法向加速度第三节 刚体定轴转动定律对水平轴 的力矩定轴一 力矩力的作用线在轴垂直的平面内 问题的提出： 当质点运动或刚体平动时， 是运动状态， 是运动状态的变化，原因是 即合力 是产生加速度 的原因 在刚体定轴转动中， 转动状态， 转动状态变化，角加速度 产生的原因是什么呢?，力对水平轴 的力矩定轴分解力，则力矩可记为矢量式方向：沿轴，与 和 均垂直 若力的作用线不在与轴垂直的平面内，则把力沿轴与轴垂直的方向分解：作用线沿轴的分力对轴不产生力矩；而作用线在与轴垂直的平面内的力的力矩可用以上方法来分析与计算。

二 刚体定轴转动定律 设一刚体定轴转动中，研究力矩 与角加速度 间的定量关系在刚体上取一小块，质量为 ，到轴的垂直距离为 内力外力据牛二律法向分量式：切向分量式： 为简单其见，设二力的作用线在与轴垂直的平面内 由于本题的讨论中心是角加速度与力矩的关系，而第二式含有 ，故仅讨论第二式得对整个刚体求和因解释原因则令结论式中 称为转动惯量 为刚体受外力矩的代数和上式表示的内容为转动定律说明：1 该式具有瞬时性（解释）2 矢量式为 具体用法是：规定一转动方向为正方向，当力矩与规定正方向一致时，取正；反之取负；当角加速度与规定正方向同向时，取正；反之取负；通常选择转动的方向（角速度方向）为规定正方向，这样得到了转动定律的代数式详见后面例题分析也为刚体受的外力，但对轴的力矩为零如图示，规定力 的力矩方向为正方向时，则有三 转动惯量1 物理意义牛二律知由转动定律 由比较知，当合外力矩 一定时，转动惯量 越大， 越小，刚体的转动状态即角速度 越难以改变，即刚体维持原有运动状态的能力强；反之则弱因此，转动惯量是刚体转动惯性的量度在力 一定时， 越大，则加速度 越小，表示物体维持原来运动状态的能力越强；反至亦然。

称为物体平动惯性的量度简言之，质量越大，其状态越难以改变2 计算转动惯量，如图示定轴 其物理意义为：各质元的质量与到轴的垂直距离的平方之积的和 考虑到刚体是质量分布的连续体，则 1 求均质圆环对中心轴的转动惯量 o例 22解： 可见，转动惯量与质量的大小有关 2 求均质圆盘对中心轴的转动惯量 解： 利用上题的结果为基础，取一圆环由上可知，转动惯量与质量的分布有关此结果也适合圆柱体 解：（1） 轴过端点 3 求均直杆的转动惯量 (1) 轴过端点 (2 ) 轴过质心2） 轴过质心可见，刚体的转动惯量与轴的位置有关 平行轴定理简介解释对过质心轴的转动惯量对与过质心轴相平行的轴的转动惯量二轴间的距离 （证明略） 例 均质杆又刚体对 轴和 轴的转动惯量为* 平行轴定理证明取刚体上的过刚体的质心为刚体的质心在同一水平面内它们刚体的质心所以* 垂直轴定理简介薄板* 回转半径* 垂直轴定理简介证明薄板对 轴的转动惯量对 轴的转动惯量对 轴的转动惯量则有结论：转动惯量2 与质量的分布有关, 1 与质量有关, 3 与轴的位置有关 例 2-5求由杆与球组成的体系对轴的转动惯量学习指导解：转动惯量具有叠加性。

例 26 如图，半径为 ，质量为 的 均质圆盘可绕通过质心的水平轴自由转动盘上绕有长绳，绳的两端分别系二物体 和 ，如图所示求盘的角加速度 ，二物的加速度及绳内的张力设物体运动中，绳与轮间无相对运动，而且 解 ：解题思路：本题似曾相识在高中阶段如何求解此题?轮质量不计仅研究 和 二物体，绳仅为连接体则有 然而，此处要考虑轮（因给出了质量和半径）-刚体此为一刚体和二质点组成的物体系如何求解：用隔离体法，分析各物体受力 此处， ，因 和 质量不等，二者会加速运动，它们的加速度大小与轮的边缘处的切向加速度的大小同值，故按转动定律，轮所受的合外力矩定不为零，故 转动的正方向轮投影式：对轮，运用转动定律，则对二物体 和 ，运用牛二律，则（1）（2）（3）（4）联立可得 （略） 例 27 如图，半径为 ，质量为 的 均质圆盘可绕通过质心的水平轴自由转动盘上绕有长绳，绳另一端系一物体，求 三式联立求解得运动学联系解：力图设转动正方向本题的转动定律又可写为本题的转动定律又可写为讨论 1 体系从静止开始，经时间t物体下落的高度及轮转过的角度 2 若轮转动时，轴处的摩擦阻力矩为 （恒力矩），结果如何?解：轮：物：转动正方向解： 轮：物：3 若阻力矩为 ， 为恒量 ，求轮的角速度的表达式。

二式联立，消去 ，再利用分离变量法，积分求得略）例 28 在外力矩的作用下，物体以速度 上升，撤去外力矩后，物体上升多高时开时下落并求轮的角加速度解：减速运动设转动正方向联立求解，得联立求解解：减速运动设转动正方向联立求解，得联立求解例 210 求解：解：杆受力如图 例 211 如图示，一长为 质量为 的均质杆可绕过一端的水平轴自由转动，开始时，杆水平若杆突然释放，求： 1 释放后瞬时（杆仍水平）的 ， ， ， ， 2 当杆转到与水平成 时的上述值质心处)由质心运动定理，有最后得如何求结果可得 积分转动定律如何正确地运用转动定律7 运用运动学条件转动定律是刚体定轴转动时的规律运用时：1 选定刚体（盘，柱，杆等）及定轴；2 分析刚体受力，并找出各力的力矩；3 求各力的力矩的代数和；4 写出 的具体表述；5 该式具有瞬时性，与刚体的运动状态（ 的大小和方向）无关; 6 运用隔离体法,对质点运用牛二律;一 力矩的功 设一刚体绕轴 转动一力作用在 点为简单起见，力的作用线在与轴垂直的平面内，如图示 为 点到轴的垂直距离 该力的作用点 的轨迹为半径为 的圆，故该力的元功为第四节 力矩的功 转动动能 功能关系则 由以上看出，功的定义不变，只是用力矩来计算刚体转动中力的功简单，当然，仍可用力的功。

若力矩是转角的函数，用上式积分；若是恒力矩则上式为是转角二 转动动能的动能为整个刚体的动能为其中转动惯量转动动能oo若刚体定轴转动时仅有保守力做功，则机械能守恒 三 动能定理 机械能守恒律即合外力矩的功等于转动动能的增量2 杆转到与水平成 时的角加速度； 例 2 9 如图示1 杆水平时的角加速度；3 杆竖直时的角速度；解：123 利用动能定理或利用机械能守恒定律零势能面如何求杆上各点的速度和加速度? 例 2-16 如图，求杆由水平释放后（仍水平）时,杆的 和 及杆转到竖直位置时的 ， 轴解：思考 例 2-18 求杆的角加速度，及转到水平位置时的角速度解：（学生自己做）例 2-19 推证转动的动能定理第 四 节 角动量原理 角动量守恒定律 一 角动量原理 转动定律瞬时性则过程性 该式的物理意义是： 时刻刚体的合外力矩 与 到 时时间隔 的积等于一新物理量 的增量；或曰，力矩的时间累积 引起物理量 的变化在一段时间内定义 冲量矩角动量 角动量原理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量实质讲的力矩的时间累积及效果间的关系若合外力矩是恒力矩，则上式简化为 说明 1 角动量是矢量，表示为，方向与 同。

不过，在定轴转动中， 沿轴，仅有两个方向，若规定一方向为正，则另一方向为负，因而，在定轴转动中，角动量为代数量即可 物理意义： 为质元 的动量与质元到轴的垂直距离的积，称为其动量矩（与力矩比较）L为组成刚体的各质点动量矩的代数和故又称动量矩角动量原理又称动量矩原理2 动量矩质点的动量矩质点动量矩的普遍定义式大小矢量式解释动量在矢径垂直方向的投影与矢径大小的积方向 右手螺旋法则且式中的 为质点受合外力对定 点的力矩定点矢径轨迹例 210 体系从静止开时，经 秒后轮的角速度解：轮：物：动量矩定理动量定理二式联立得结果或另一方法 例 29 一半径为 ，质量为 的均质圆盘置于水平桌面上，设盘在桌面上转动的初角速度为 ，盘和桌面间的摩擦系数为 ，问盘经多长时间停止转动解：阻力矩为略去数值例题另一解法 二 角动量守恒定律称为角动量（或动量矩）守恒律若则三 角动量守恒的应用 虽然角动量守恒定律由单一刚体绕定轴转动时导出的，但是却有更广泛的应用范围，归纳如下演示032角动量守恒定律向下拉特点：小球在绳的作用下运动，不断靠近绳穿过的孔此过程中，角动量守恒，动能不守恒，机械能不守恒，动量不守恒小孔 1 单一质点 在很多情形下，一质点绕一固定点运动，质点受合力的作用线恒过此固定点，即合外力矩为零，则质点对该固定点的动量矩守恒。

如近日点远日点太阳地球动量不守恒!但机械能守恒据动量矩守恒定律还有电子在电子在原子核的场中运动等 例 一倔强系数为 ，原长为 的弹性绳一端固定，另一端系一质量为 的小球，整个系统在光滑的水平面上，如图示开始 时 ，如图求物体与O点的。