二次函数的知识点详解,是冲刺中考必须掌握要点.docx

一，二次函数y=a(x+h)2+k 的图像和性质1. 二次函数y=a(x+h)2+k 的图像是一条抛物线，它的顶点是（-h，k) 对称轴是x=-h 当 a＞0 时，图像开口向上，有最低点，即顶点是（-h，k) 当 x=-h 时，y 有最小值为k；在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大当 a＜0 时，图像开口向下，有最高点，即顶点是（-h，k) 当 x=-h 时，y 有最大值为k； 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小2. 抛物线y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的关系抛物线y=a(x+h)2+k 可由抛物线y=ax2 平移得到，它们的外形相同，位置不同把 y=ax2 的图像先沿着x 轴向左（或向右）平移|h|个单位后，得到 y=a(xh)2 的图像； 再沿着y 轴向上（或向下）平移|k|个单位，得到y=a(xh)2+k 的图像例如y=3(x-2)2+1 的图像是由抛物线y=3x2 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到的留意：y=ax2 上、下平移后得到y=ax2k 的规律是“上加下减” y=ax2 左、右平移后得到y=a(xh)2 的规律是“左加右减”3. 由于从y=a(x+h)2+k（a≠0）中，可直接看出抛物线的顶点坐标，所以把 y=a(x+h)2+k（a≠0）叫做二次函数 的顶点式；把y=ax2+bx+c（a≠0）叫做二次函数的一般式。

留意：顶点打算抛物线的位置，几个不同的二次函数，假如二次项系数a 相同，那么抛物线开口方向，开口大小完全相同，只是顶点不同例如：y=3x2 与y=3x2+1、y=3x2+2x 等只是顶点位置不同抛物线的移动主要看顶点的移动，如：y=3x2 与 y=(x+1)2+3 的位置关系，先求出顶点， y=3x2 的顶点坐标是（0，0），y=(x+1)2+3 的顶点坐标是（-1，3），平移时与上、下、左、右的先后挨次无关二，二次函数的一般式y=ax2+bx+c 与二次函数的顶点式y=a(x+h)2+k 的相互转化1.顶点式y=a(x+h)2+k 转化一般式y=ax2+bx+c例如：y=(x-1)2+2 （顶点式）=x2-2x+1+2=x2-2x+3 （一般式）解题技巧：将顶点式中的括号打开，再进行合并同类项2.一般式y=ax2+bx+c 转化顶点式y=a(x+h)2+k y=ax2+bx+c=a[x2+(b/a)x+(c/a)]=a[x2+2(b/2a)x+(b/2a)2-(b/2a)2+(c/a)]=a[x+(b/2a)]2+(4ac-b2)/4a令 h=b/2a，k=(4ac-b2)/4a，则y=a(x+h)2+k因此，抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=-b/2a ，顶点坐标[-b/2a,(4ac-b2)/4a]解题技巧：利用配方法在一般式加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，这样一加一减，与原来式子恒等。

三，求抛物线的顶点和对称轴的方法1.公式法：y=ax2+bx+c=a[x+(b/2a)]2+(4ac-b2)/4a顶点坐标[-b/2a,(4ac-b2)/4a] 对称轴是x=-b/2a2 .配方法：将抛物线的关系式化为 y=a(x+h)2+k ，得到顶点为（-h，k)，对称轴是直线 x=-h四，二次函数y=ax2+bx+c 图像的画法1. 描点法：把二次函数 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x+h)2+k 的形式；确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图留意：若抛物线与x 轴有交点，最好选取交点描点，特别是在画抛物线草图时，应留意以下各项：开口方向、顶点、对称轴、与x 轴的交点、与y 轴的交点2. 平移法：利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x+h)2+k 的形式，确定其顶点（-h，k)；画出y=ax2 的图像；将抛物线y=ax2 的图像平移，使其顶点平移到（-h，k)留意：平移图像的基本要点：上加下减、左加由减网络图片四，用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤设，先设出二次函数的解析式，一般式 y=ax2+bx+c、顶点式 y=a(x+h)2+k、交点式y=a(x-x1)(x-x2)其中a≠0。

代，依据题中所给的条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程组解，解此方程（组）求待定系数还原，将求出的待定系数还原解析式中五，抛物线的解析式的确定方法：一般式 y=ax2+bx+c、顶点式 y=a(x+h)2+k、交点式y=a(x-x1)(x-x2)其中a≠0考生们肯定要娴熟把握这几种方法，依据题意正确选择接受哪种形式合适六，用合适观点看一元二次方程（一）抛物线与直线的交点1. 抛物线y=抛物线y=ax2+bx+c 与 y 轴的交点与y 轴的交点是（0，c)2. 抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点，由于 x 轴上的点的纵坐标都是 0，所以令 y=0 代入得 ax2+bx+c=0若△≥0，则这个抛物线与x 轴有交点若△＜0，则这个抛物线与x 轴没有交点3. 一次函数y=kx+b1(k≠0)的图像与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的交点由方程组 y=kx+b1 与 y=ax2+bx+c 联立的解的个数打算当方程组有两个不同的解时→两个函数有两个交点当方程组有两个相同的解时→两个函数有一个交点当方程组无解时→两个函数没有交点逆向也成立二）二次函数y=ax2+bx+c 与一元二次方程ax2+bx+c=0 的关系抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标x1、x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根。

△=b2-4ac 打算抛物线与x 轴交点的个数△＞0→抛物线与x 轴有两个交点△=0→抛物线与x 轴有一个交点△＜0→抛物线与x 轴没有交点七，二次三项式、一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系当二次三项式为 0 时，便是一元二次方程，此时x 的值是一元二次方程的解，也是二次函数的图像与x 轴交点的横坐标当二次三项式大于 0（或小于）时，便是一元二次不等式，即考虑x 值在哪个范围内变化时为正或为负，若二次函数 y=ax2+bx+c 的图像在x 轴上方（或下方），则 ax2+bx+c＞0（或＜0），此时 ax2+bx+c＞0（或＜0）的解集为全体实数或无解。