江苏2022普通高校“专转本”统一考试试卷及答案.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑江苏2022普通高校“专转本”统一考试试卷及答案 江苏省2022年普遍高校“专转本”统一考试试卷 高等数学 留神事项： 1． 考生务必将密封线内的各项填写领会 2． 考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效 本试卷共8页，四大题24小题，总分值100分，考试时间120分钟 一．选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）． 1． 以下极限中，正确的是 （ C ） A．lim?1??x?0?x??1??1??1???e； ??e； B．limx??x?x??11?1； Ｄ． limxsin?1． x?0xxx1xＣ．limxsin２．不定积分 ?11?x2dx? （ D ） 11?x2Ａ． 11?x2； Ｂ． ?C； Ｃ．arcsinx； Ｄ．arcsinx?C ３．若f(x)?f(?x)，且在(0,??)内：f?(x)?0，f??(x)?0，那么f(x)在(??,0)内必有：（Ｂ） Ａ．f?(x)?0，f??(x)?0； Ｂ．f?(x)?0，f??(x)?0； Ｃ．f?(x)?0，f??(x)?0； Ｄ．f?(x)?0，f??(x)?0． 4．定积分 ?20x?1dx? （ D ） Ａ．0； Ｂ．2； Ｃ．?1； Ｄ．1． 5．方程x?y?4x在空间直角坐标系下表示：（ Ａ ） Ａ．圆柱面； B．点； C．圆； D．旋转抛物面． 22二．填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分，请把正确答案的结果填在划线上） ?x?tetdy6．设参数方程为?；那么? 2 ． 2y?2t?tdx?t?03x7．微分方程y???6y??13y?0的通解为：y?e(C1cos2x?C2sin2x)其中C1,C2是任意常数． 8．函数z?x的全微分dz?y?z?zdx?dy?yxy?1dx?xy?lnx?dy． ?x?y9．交换积分次序后 ?dx?022xxf(x,y)dy??220dy?yf(x,y)dx??dy?yf(x,y)dx． 222y4210．设原式= 2f(x)为连续函数，那么?64?f(x)?f(?x)?x?x3dx? ?25264344． （其中f?x??f??x?是偶函数） ??f(x)?f(?x)xdx?xdx?xdx???2??2??225三、计算题（本大题共10小题，每题4分，共40 分） ?x11．已知y?arctanx?ln(1?2)?cos，求dy. 5112xln2解：dy?(??)dx x1?x2x1?212．计算limx?0x??etdt0x2xsinxx22 2解：limx?0x??etdt0xsinx21?ex?lim x?02xsinx?x2cosx2?2xex1 ?lim ??2x?02sin3x?2xcosx?2xcosx?xsinx（第一步用等量替换也行，那样更简朴些） 13．求函数f(x)?(x?1)sinx的休止点，并指出各休止点的类型。

2x(x?1)lnydy，求 xdxx?1y?1（x??1是其次类无穷休止点；x?0是第一类腾跃休止点；x?1是第一类可去休止点） 14．已知y?x?2y?x?lnyydyx2y?ylny?解：两边求导 2yy??1? 解得 故＝1 y?222x?1xdx2xy?xy?1e2xdx 15．计算?1?exe2xe2x?ex?ex(e2x?ex)?exdx??dx??dx 解：?xxx1?e1?e1?eexxxdx?=?edx??e?ln(1?e)?C x1?ex k1dx?，求常数k的值. ???1?x220k?110dx?karctanx?k?k?解：由?， 得 ． ????1?x222?16． 017．求微分方程y??ytanx?secx，得志初始条件yx?0?0的特解 解： ??tanx?dx???tanx?dxdx?C??e?lncosxsecxelncosxdx?Cy?e?secxe?????? 1x?C?[?secxcosxdx?C]?cosxcosx??yx?0?0?0? 0?Cx?C?0?y? cos0cosx2sinydxdy，其中D是由直线x?1,x?3,y?2，及y?x?1所围成的区域 ??Dy?118．计算二重积分解：原式= ?20siny2dy?1dx??ysiny2dy?021?cos4 219．已知曲线y?f(x)经过原点，并且在原点处的切线平行于直线2x?y?3?0，若 f?(x)?3ax2?b，且f(x)在x?1处取得极值，试确定a,b的值，并求出函数y?f(x)的表达式。

解：1）“过原点的切线平行于2x?y?3?0”， ?f?(x)x?0?(3ax?b)2x?0??2,?b??2. x?122）“f(x)在x?1处取得极值”（连续、可导），?f?(x)x?1?(3ax?b)?0，?a?2/3 y(0)?0232?f?(x)?2x?2，?y?f(x)??(2x?2)dx?x?2x?C?y?x3?2x． 3322x?z?2z20．设z?f(x,)，其中，f具有二阶连续偏导数，求． ,y?x?x?y2解：令u?x,v?2x，那么z?f(u,v) y?z1?fu?(u,v)?2x?fv?(u,v)? ?xy?2z1?[fu?(u,v)?2x]?y?[fv?(u,v)?]?y?x?yy????x??1?1?x??(u,v)(?2)?fuu??(u,v)?0???fvu???u,v??0?fvv???u,v?????????2x??fuv???fu,v??2?v2?????y????y??y?y?1???u,v??xfvv???u,v??yfv??u,v?．??32x2yfuvy??四．综合题（本大题共4小题，共30分） 21．过P(1,0)作抛物线y?（2）由抛物线、切线以及x轴所围平面x?2的切线，求（1）切线方程； 图形的面积；（3）该平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周的体积。

此题总分值10分) 解：1）由已知条件，可设切线方程为，y?k(x?1) 2）将切线方程与抛物线方程联立，消 y，得： x2?(2?12)x?(1?)?0 22kk3）由于切点是唯一的交点，上述关于x的方程，务必有重根，即： (2?得切线方程为：y?1221)?4?(1?)?0,?k??（舍去负号） 2k2k21(x?1) 24）解出切点坐标：（3，1），沿y轴积分，那么所求面积A为： 11A??(y2?2)?(2y?1)dy= 03??或A??213?11?1??= (x?1)dx?(x?1)?x?2dx?????23?2??2?5) 该平面图形分别绕x轴旋转一周的体积为： Vx???313?1?(x?1)dx???2?2???2??x?2dx??2?6 6）该平面图形分别绕y轴旋转一周的体积为： Vy???(y2?2)2?(2y?1)2dy?01?6? 5（此题一开头不设斜率，设切点坐标也可以） ?f(x)?22．设函数g(x)??x??ax?0x?0，f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0， （1） 求a，使g(x)在x?0处连续；（2）求g?(0)．(此题总分值8分) 解：1)由g(x)在x?0处连续limg(x)?a，f(x)具有二阶连续导数及f(0)?0得 x?0limx?0f(x)f(x)?0f(x)?f?0??lim?lim?f?(0)?a 即 a?f??0? x?0x?0xx?0x?0 2）由f(x)具有二阶连续导数，f(0)?0 及limx?0f(x)f(x)?f?0??lim?f?(0)?a可导出 x?0xx?0g?(0)?limg(x)?g(0)f(x)/x?af(x)?ax?lim?limx?0x?0x?0xxx2f??x??af?(x)?f?(0) ?lim?limx?0x?02x2x1f?(x)?f?(0)1?lim?f??(0)x?02x?0223．设函数f(x)在[0,c]上具有严格单调递减的导数f?(x)，f(x)在x?0处右连续且f(0)?0，试证，对于得志不等式0?a?b?a?b?c的a,b，恒有 f(a)?f(b)?f(a?b) 成立 (此题总分值6分) 证：1）“f?(x)是[0,c]上严格单调递减的导数，f(x)在x?0处右连续” ?y?f(x)在[0,c]上是凸的。

于是， 当p?(0,1)时，?x1,x2?[0,c]得志： pf(x1)?(1?p)f(x2)?f[px1?(1?p)x2] （*） 2）取p?a，x1?0;x2?a?b，得志（*），代入得： a?bababf(0)?f(a?b)?f[?0?(a?b)]a?ba?ba?ba?b b?f(a?b)?f(b)(**)a?b3）类似地，取p?b，x1?0;x2?a?b，得： a?bbabaf(0)?f(a?b)?f[?0?(a?b)]a?ba?ba?ba?b a?f(a?b)?f(a)(***)a?b4）综合（**）（***）得： f(a)?f(b)?f(a?b) 关于此题的另两种证明： 其一证明：设F(x)?f(a?x)?f(x)，那么F(x)在闭区间[0,b]上连续，在开区间(0,b)内可导． 由f?(x)在[0,c]上严格单调递减，得F?(x)?f?(a?x)?f?(x)?0(0?x?b) 于是F(x)在[0,b]上单调递减，知F(b)?F(0)即f(a?b)?f(b)?f(a)?f(0) 而f(0)?0，故f(a)?f(b)?f(a?b) 其二证明：由拉格朗日定理知： f(a?b)?f(b)?f?(?1)a(b??1?a?b)， f(a)?f(0)?f?(?2)a(0??2?a) 由f?(x)在[0,c]上严格单调递减，知f?(?1)?f?(?2) 而f(0)?0，故f(a)?f(b)?f(a?b) 24．一租赁公司有40套设备要出租。

当租金每套每月200元时，该设备可以全部租出；当租金每套每月增加10元时，租出的设备就会裁减1套；而对于租出的设备每套每月需要花20元的维持费问租金定为多少时该公司可获最大利润此题总分值6分) 解：设每月每套租金为（200?10x）那么，租出设备的总数为，（40?x）；每月的毛收入为， (200?10x)(40?x)；维护本金为(40?x)?20于是，利润为： L(x)?(180?10x)(40?x)?7,200?220x?10x2L?(x)?0?x?11 (0?x?40) 对比x?0，x?11，x?40三处的利润值，由于L(11)?L(0)?L(40) 所以，租金为(200?10?11)?310元时，利润最大 — 7 —。