函数极限的性质.ppt

第三章第三章 函数极限函数极限二二 函数极限的性质函数极限的性质§2 函数极限的性质 在§1中我们 引入了下述六种类型的函数极限： 1）( )xfx +lim； 2）( )xf x -lim；3）( )xfx lim；4）( )xf xx+0lim；5）( )xf xx-0lim； 6）( )xfxx0lim它们具有与数列极限相类似的一些性质， 下面以第6） 种类型的极限为代表来叙述 并证明这些性质 至于其他类 型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可 过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 v定理1(函数极限的唯一性) 如果当xx0时f(x)的极限存在 那么这极限是唯一的 证明， x x f B A 时的极限 当 都是 设 0 ,  , (1)) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e d d e  -  -   $  “ A x f x x 时有 当 则 , (2)) ( 0 , 0 2 0 2 e d d  -  -   $ B x f x x 时有 当 故有 同时成立 时 则当 取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d  -   . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e  - + -  - - -  - B x f A x f B x f A x f B A . . 即其极限唯一 的任意性得 由 B A  e v定理1(函数极限的唯一性) v定理2(函数极限的局部有界性) 如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内 有界 如果当xx0时f(x)的极限存在 那么这极限是唯一的 证明有 使得 则 取 设 ) ; ( , 0 , 1 , ) ( lim 0 0 d d e x U x A x f x x o Î “  $    . 1 ) ( 1 ) ( +  Þ  - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 内有界 在 即 d x U x f o v定理3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何正 数r0 (或 f(x) -r < 0) 证明) ; ( , 0 , ), A , 0 ( , 0 0 d d e x U x r A r A Î “  $ -  Î “  使得 则 取 设 . ) ( r A x f  -  e 有 . 0 的情形类似可证 对于  r •推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0) v定理4(函数极限的保不等式性) 证明). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 ' 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x      则 内有 极限都存在且在 时 如果 d o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x     设 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x  -  -   $  “ e d d e 时有 当 则 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d +   -   $ B x g x x 时有 当 于是有 同时成立 与 不等式 时 则当 令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 }, , , min{ 0 2 1 '   -   d d d d d , ) ( ) ( e e +    - B x g x f A . , 2 B A B A  +  的任意性知 由 从而 e e v定理5(函数极限的迫敛性) 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) f(x)h(x)g(x) (2)lim f(x)A limg(x)A 那么limh(x)存在 且lim h(x)A 证明), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x ，  -  -   $  “ e d d e 时有 当 按假设 . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d +   -   $ A x g x x 时有 当 故有 同时成立 时上两不等式与 则当 令 , ) ( ) ( ) ( 0 }, , min{ 0 2 1 x g x h x f x x    -   d d d d , ) ( ) ( ) ( e e +     - A x g x h x f A . ) ( lim ) ( 0 A x h， A x h x x   -  即 由此得 e 此性质又称为夹逼准则.注意:夹逼定理示意图.的极限是容易求的与并且键是构造出利用夹逼准则求极限关 fgf(x)g(x)与•推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim[cf(x)]climf(x) •推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n[limf(x)]n  定理6.极限的四则运算法则利用函数极限的性质和运算法则，我们可以计算一些 较复杂的极限 例1 求解 由第一章第3节习题12，知当时有而故由迫敛性得另一方面，当时有综上，我们得到故由迫敛性又可得例2 求解由及第一节例4所得的并按四则运算法则有例3求极限解对任意正整数k，当时有故例4 证明证任给为使（9）即利用对数函数时的严格增性,只要（不妨设于是，令则当时，就有（9）式成立。

当解 例5 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例6 •讨论•提示先用x3去除分子及分母 然后取极限 解: 例7 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于 商的极限的运算法则不能应用 我们将在下节讨论 .例7 (1), 唯一性;作业 小结 (2), 局部有界性;(3), 局部保号性;(4), 保不等式性;(5), 迫敛性;P51: 1(2)(4)(6)(8) ,6(6), 四则运算法则.。