六年级奥数.-数论.整除问题-(ABC级).学生版.doc

数的整除知识框架 一、 整除的定义: 当两个整数a和b(b≠0),a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或ｂ整除a,也把a叫做ｂ的倍数,b叫a的约数,记作b|ａ，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或ｂ不整除a,记作b a.二、 常用数字的整除鉴定措施1. 一种数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;一种数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一种数的末三位能被8或１2５整除,这个数就能被8或1２５整除；2. 一种位数数字和能被３整除，这个数就能被3整除；一种数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一种整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除;4. 如果一种整数的末三位与末三位此前的数字构成的数之差能被7、１１或13整除,那么这个数能被7、１１或13整除；5. 如果一种数从数的任何一种位置随意切开所构成的所有数之和是9的倍数,那么这个数能被9整除；6. 如果一种数能被9９整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数均有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字尚有一种是一位数)的和是99的倍数，这个数一定是９9的倍数。

7. 若一种整数的个位数字截去，再从余下的数中,减去个位数的2倍，如果差是７的倍数,则原数能被7整除如果差太大或心算不易看出与否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清晰判断为止例如，判断13３与否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,因此1３3是7的倍数；又例如判断６1３９与否7的倍数的过程如下:613-9×２=595 ，　59－5×２＝49，因此６１3９是7的倍数,余类推8. 若一种整数的个位数字截去,再从余下的数中,加个位数的４倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除如果和太大或心算不易看出与否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清晰判断为止9. 若一种整数的个位数字截去,再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是1７的倍数，则原数能被1７整除如果差太大或心算不易看出与否１7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清晰判断为止10. 若一种整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被１9整除如果和太大或心算不易看出与否1９的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清晰判断为止。

11. 若一种整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被1７整除12. 若一种整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除.13. 若一种整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或2９)整除,则这个数能被23整除ﻫ【备注】（以上规律仅在十进制数中成立．）三、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱ａ,c︱b，那么c︱(a±ｂ)．性质2 如果数ａ能被数b整除，b又能被数c整除,那么a也能被c整除．即如果ｂ∣ａ，c∣b，那么c∣ａ．用同样的措施，我们还可以得出：性质3 如果数ａ能被数b与数c的积整除,那么a也能被ｂ或c整除．即如果ｂc∣a，那么b∣a，c∣a.性质4 如果数ａ能被数ｂ整除,也能被数ｃ整除，且数ｂ和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除.即如果b∣a,ｃ∣a,且(b,ｃ)＝１，那么bc∣ａ． 　 　 例如:如果3∣１2，４∣12,且(３，4)＝1，那么(３×4）　∣12.性质5 如果数ａ能被数b整除,那么ａm也能被bm整除.如果　b｜ａ，那么ｂm｜ａm(m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数ｃ能被数ｄ整除,那么ac也能被bd整除.如果 b|a ,且ｄ｜c　,那么bd｜ac；四、其她重要结论1、 能被２和5,4和2５，8和125整除的数的特性是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。

我们可以概括成一种性质：未n位数能被（或)整除的数,自身必能被(或)整除;反过来,末n位数不能被（或)整除的数,自身必不能被(或)整除例如,判断199７32１6、9168８169能否能被1６整除，只需考虑未四位数能否被16（由于１６=）整除便可,这样便可以举一反三，运用自如2、 运用持续整数之积的性质: 任意两个持续整数之积必然是一种奇数与一种偶数之积，因此一定可被2整除；任意三个持续整数之中至少有一种偶数且至少有一种是3的倍数,因此它们之积一定可以被2整除,也可被3整除，因此也可以被2×3=6整除这个性质可以推广到任意个整数持续之积3、 一种奇位数,原序数与反序数的差一定是99的倍数,一种偶位数,原序数与反序数的差一定是9的倍数4、 ;,这样的数一定能被7、1１、13整除5、 等等重难点数的整除概念、性质及整除特性为解决某些整除问题带来了很大以便，在实际问题中应用广泛要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非例题精讲【例 1】 ，要使这个连乘积的最后4个数字都是0,那么在方框内最小应填什么数?【巩固】 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个持续的0？【例 2】 把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位正好都是零，那么最后浮现的自然数最小应当是多少？【巩固】 的成果除以,所得到的商再除以……反复这样的操作，在第____次除以时，初次浮现余数．【例 3】 1１个持续两位数的乘积能被34３整除，且乘积的末4位都是0，那么这１1个数的平均数是多少？【巩固】 用1～9这九个数字构成三个三位数(每个数字都要用),每个数都是4的倍数。

这三个三位数中最小的一种最大是 　 例 4】 在方框中填上两个数字，可以相似也可以不同，使432是9的倍数． 请随便填出一种,并检查自己填的与否对的巩固】 一种六位数被3除余l，被9除余4，这个数最小是 　 例 5】 持续写出从1开始的自然数,写届时停止,得到一种多位数：１……，请阐明:这个多位数除以3，得到的余数是几?为什么?【巩固】 11213１４…除以9,商的个位数字是_____＿___　例 6】 １至9这9个数字，按图所示的顺序排成一种圆圈．请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针顺序形成两个九位数(例如,在1和７之间剪开，得到两个数是和).如果规定剪开后所得到的两个九位数的差能被整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?【巩固】 ，，,等首位是，个位是,中间数字所有是的数字中，能被整除而不被整除的最小数是 　 　　 三、7、11、１3系列【例 7】 一种４位数,把它的千位数字移到右端构成一种新的４位数.已知这两个4位数的和是如下５个数的一种:①９８65；②９866；③9867；④9８6８;⑤9869.这两个4位数的和究竟是多少? 【巩固】 是77的倍数，则最大为_＿__＿＿＿__？【例 8】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5,a和b,将它持续反复写次成为:.如果此数能被9１整除，那么这个三位数是多少？ 【巩固】 称一种两头（首位与末尾)都是的数为“两头蛇数”。

一种四位数的“两头蛇数”去掉两头，得到一种两位数,它正好是这个“两头蛇数”的约数这个“两头蛇数”是　 　　 　 　 　　 　 写出所有也许）【例 9】 学生问数学教师的年龄教师说:“由三个相似数字构成的三位数除以这三个数字的和,所得成果就是我的年龄教师今年 　　 岁巩固】 已知两个三位数与的和能被37整除，试阐明:六位数也能被37整除.【例 10】 一种４位数,把它的千位数字移到右端构成一种新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一种更新的四位数,已知最新的４位数与最原先的４位数的和是如下５个数的一种:①9８65;②98６７;③９４62;④9696;⑤98６9．这两个4位数的和究竟是多少? 【巩固】 一种六位数各个数字都不相似,且这个数字能被17整除,则这个数最小是＿＿__＿___？【例 11】 在六位数１1１1中的两个方框内各填入一种数字,使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?　【巩固】 将数字4，5,６，7，8，9各使用一次，构成一种被667整除的６位数,那么，这个6位数除以6６7的成果是多少？　【例 12】 若，试问能否被８整除?请阐明理由. 【巩固】 证明能被６整除,那么也能被6整除．【例 13】 甲、乙两个三位数的乘积是一种五位数,这个五位数的后四位为103１．如果甲数的数字和为10,乙数的数字和为８,那么甲乙两数之和是＿____＿___.【巩固】 有5个不同的正整数,它们中任意两数的乘积都是1２的倍数,那么这５个数之和的最小值是_＿_＿___＿． 【例 14】 某住宅区有12家住户,她们的门牌号分别是1,２，…，１2．她们的号码依次是12个持续的六位自然数，并且每家的号码都能被这家的门牌号整除，已知这些号码的首位数字都不不小于6，并且门牌号是9的这一家的号码也能被13整除,问:这一家的号码是什么数?【巩固】 用数字0、1、２、3、4、5、6、7、8、9拼成一种十位数。

规定前1位数能被2整除，前2位数能被3整除，……,前9位数能被10整除．已知最高位数为8．这个十位数是 　 　 　　　　　　 　 　 　 【例 15】 在六位数中,不同的字母表达不同的数字,且满足，,，,,依次能被2,３,５，７，11，13整除．则的最小值是 　 　　；已知当获得最大值时，,那么的最大值是＿__＿_＿__.【巩固】 有一种九位数的各位数字都不相似且全都不为0，并且二位数可被２整除,三位数可被3整除，四位数可被4整除,……依此类推,九位数可被9整除.请问这个九位数是多少？ 【例 16】 Ｎ是一种各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是 　 .【巩固】 ，，，各代表一种不同的非零数字,如果是的倍数，是的倍数,　是的倍数,是的倍数，那么是 　 课堂检测【随练1】 若９位数可以被3整除，则里的数是_____＿___＿【随练2】 六位数能被９9整除,是多少? 【随练3】 应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一种数码,才干使得所得的整数可被7整除？ 【随练4】 王教师在黑板上写了这样的乘法算式:,然后说道。