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复变函数第四版课件复变函数第四版课件章节--4.3章节.ppt

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§4.3 泰勒级数,1、泰勒(Taylor)定理 2、一些初等函数的泰勒展式,,(4.5),D,定理一 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,a∈D,只要K:|z-a|R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数,(4.4),其中系数,且展式是唯一的.,1、泰勒(Taylor)定理,K,,a,K,证:关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式:,(|u|1).,(4. 6),总有一个圆周:,使点z含在,中虚线表).由柯西积分公式得,,,a,z,D,图4.1,的内部(图4.1,,表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此该写：,(4.7),我们设法将被积式:,由,时,由于,应用已知结论,我们有,右端的级数在上(关于 )是一致收敛的.以上的有界函数相乘,仍然得到上的一致收敛级数.于是(4.7)表示为上一致收敛级数,由柯西积分公式知,最后得出,其中的系数cn由公式(4.5)给出.上面证明对于任意z∈均成立,故定理的前半部分得证.,下面证明展式是唯一的. 设另有展式,则,(n=0,1,2,…),,故展式是唯一的.,定义 (4.4)称为f(z)在点a的泰勒展式, (4.5)称为其泰勒系数,而(4.4)右边的级数,则称为泰勒级数.,,定理二 f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数. 由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|R内解析,则其泰勒系数cn满足柯西不等式,2、一些初等函数的泰勒展式,。

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