14平面几何1981-2018年历年数学联赛48套真题分类汇编含详细答案.pdf

1981 年~2018 年全国高中数学联赛二试试题分类汇编 1、平面几何部分 2018A 二、 （本题满分 40 分） 如图所示， 为锐角三角形，，为边的中点，点和分别为ABCACAB MBCDE 的外接圆弧和的中点，为内切圆在边上的切点，为ABCBACBCFABCABG 与的交点，段上，满足.AEBCNEFABNB  证明：若,则 （答题时请将图画在答卷纸上）EMBN FGDF  ★★证明：证明：由条件知，为外接圆的直径，于，记为DEABCBCDE MADAE I 的内心，则在上，由可知，ABCIAEABIF ABNB  MEIADEADEABNABENBE 000 9090)180( 又根据内心性质，有EIBABIEABABIEACCBIEBCEBI 从而结合，所以，EIBE EMBN MEINBE 于是，故四点共圆EFIBFEBNEEMI 00 18090MIFE,,, 进而可知,故四点共圆AGMIEMIFMAFM 00 9090MGFA,,, 再由知，四点共圆，所以五点共圆，从 0 90DMGDAGDMGA,,,DMGFA,,,, 而，即。

0 90DAGDFGFGDF  2018B 二、 （本题满分 40 分）如图所示， 在等腰中，，边上一点ABCACAB AC 及延长线上一点满足，以为直径的圆与线段交于一点DBCE CE BC DC AD 2 ABDEF 证明：四点共圆 （答题时请将图画在答卷纸上）DFCB,,, ★★证明证明:取中点，则由知，故在圆上.延长至，使BCHACAB BCAH HFDG 得，结合已知条件得，，故，BCAG// CE BC DC AD CE AG 2 CHBHBCAG 2 1 从而为矩形，为平行四边形AGBHAGHC 由为矩形知，在圆上，故,AGBHGHBFHGF 又为平行四边形，由，得,AGHCGHAC //HGFCDF 所以，所以四点共圆CDFHBFCBFDFCB,,, 2017A 一、 （本题满分 40 分）如图所示，在中，，为的内心，ABCACAB IABC 以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与、AAB 1 IIB 2 IB, 3  1  分别交于点、（不同于点） 设与交于点证明：（答题时 2 PQBIPBQRCRBR  请将图画在答卷纸上） ★★证明：证明：连接，由于点点在圆上，故，所以PCPBIQICIB,,,,Q 2 IQIB  。

IQBIBQ 又四点共圆，所以，于是，QPIB,,,IQBIPBIPBIBQ 故~，从而，且,IBPIRBIBPIRB IB IP IR IB  又，且为的内心，故，所以ACAB IABCICIB  IC IP IR IC  所以~，则ICPIRCICPIRC 又点在圆的弧上，故，P 1 BCABPC 2 1 1800 因此，ICPIBPIRCIRBBRC BPCBIC 0 360 ，即 0000 90 2 1 180 2 1 90360            AACRBR  2017B 三、 （本题满分 50 分）如图，点是锐角的外接圆上弧的中点，直线DABCBC 与圆过点的切线分别相交于点,与的交点为，与的交DACB,QP,BQACXCPAB 点为，与的交点为．求证：平分线段． （答题时请将图画在答卷纸YBQCPTATXY 上） ★★证明：证明：首先证明，即证//YXBC AXAY XCYB  连接，因为，,BD CD ACQACQ ABC ABCABPABP SS S SSS     所以， ① 111 sinsinsin 222 111 sinsinsin 222 AC CQACQACBCACBACAQCAQ AB BCABCAB BPABPABAPBAP    由题设，是圆的切线，所以，，又,BP CQACQABC ACBABP  （注意是弧的中点） ，于是由①知CAQDBCDCBBAP   DBC ② ABAQCQ ACAPBP    因为，所以，CAQBAP BAQCAP  于是 ③ 1 sin 2 1 sin 2 ABQ ACP ABAQBAQ S ABAQ SACAP ACAPCAP        而 ④ 1 sin 2 1 sin 2 BCQ BCP BC CQBCQ S CQ SBP BCBPCBP      由②，③，④得 ， ABQCBQ ACPBCP SS SS    即 ABQ ACP CBQBCP S S SS     又， ABQ CBQ S AX SXC    ACP BCP SAY SYB    故 AXAY XCYB  设边的中点为，因为，BCM1 AXCMBY XCMBYA  所以由塞瓦定理知，三线共点，交点即为，故由可得平分线,,AM BX CYT//YXBCAT 段XY 2016A 二、 （本题满分 40 分）如图所示，在中，是直线上两点（ABCYX,BC 顺序排列） ，使得,设，的外心分别为,YCBX,,,ABCYACBXACXABY 1 O ，直线与，分别交于点.证明：是等腰三角形。

2 O 1 O 2 OABACVU,AUV ★★证明：证明：作的内角平分线交于点.设BACBCPACX ，的外接圆分别为和，由角平分线定理知，，又又条件可得ABY 1  2  AC AB CP BP  , AC AB CY BX  从而，即，故对圆和的幂相 CP BP AC AB CPCY BPBX PY PX    PYBPPXCPP 1  2  等， 所以在圆和的根轴上P 1  2  于是，这表明点关于直线对称，从而是等腰三角形 21O OAP VU,APAUV 2015A 三、 （本题满分 50 分）如图所示，内接于圆，为弧上一点，点在ABCOPBCK 线段上，使得平分.过三点的圆与边交于点，连接交APBKABCCPK,,ACDBD 圆于点，连接并延长与边交于点，证明：EPEABFFCBABC2 ★★证明：证明： 证法一证法一：设 CF 与圆 Q 交于点 L（异于 C)，连接 PB、PC、 BL、KL． 注意此时 C、D、L、K、E、P 六点均在圆上，结合 A、 B、P、C 四点共圆，可知 ∠FEB=∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP，因此△FBE∽△FPB，故 FB2=FE·FP．10 分 又由圆幂定理知，FE·FP= FL·FC，所以 FB2=FL·FC． 从而△FBL∽△FCB． 因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即 B、K、L 三点共线． 30 分 再根据△FBL∽△FCB 得， ∠FCB=∠FBL=∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB． 1 2 证法二：证法二：设 CF 与圆交于点 L（异于 C)．对圆内接广义六边 形 DCLKPE 应用帕斯卡定理可知， DC 与 KP 的交点 A、CL 与 PE 的交点 F、LK 与 ED 的交点了共线，因此 B’是 AF 与 ED 的交点，即 B’=B．所以 B、K、L 共线．10 分 根据 A、B、P、C 四点共圆及 L、K、P、C 四点共圆，得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC, 又由 BK 平分∠ABC 知，∠FBL=∠ABC，从而 1 2 ∠ABC=2∠FCB． 2015B 二、 （本题满分 40 分）如图，在等腰中，，设为其内心，设ABCACAB I 为内的一个点，满足四点共圆，过点作的平行线，与的延DABCDCBI,,,CBDAD 长线交于．求证：．ECEBDCD 2 ★★证明：证明： 连接 BI,CI．设 I, B , C, D 四点在圆 O 上，延长 DE 交圆 O 于 F，连接 FB，FC． 因为 BD||CE，所以∠DCE=180°-∠BDC=∠BFC． 又由于∠CDE=∠CDF=∠CBF，所以△BFC∽△DCE，从而 ． DCBF CEFC  再证明 AB, AC 与圆 O 相切． 事实上，因为∠ABI=∠ABC=∠ACB=∠ICB，所以 AB 与 1 2 1 2 圆 O 相切．同理 AC 与圆 O 相切． 20 分 因此有△ABD∽△AFB，△ACD∽△AFC，故 ,即．② 30 分 BDABACDC BFAFAFCF  BFBD FCDC  结合①、②，得，即． 40 分 DCBD CEDC  2 CDBD CE 2016B 三、 （本题满分 50 分）如图所示， 是平行四边形，是的重心，点ABCDGABD 在直线上，使得,证明：平分QP,BDPCGP QCGQ AGPAQ ★★解析：解析：连接，与交于点由平行四边形的性质，点是的中点．因ACBD.MM,AC BD 此， 点段上．由于，所以四点共圆，并且其外接圆是GAC90GPCGQC   ,,,P G Q C 以为直径的圆．由相交弦定理知 ①GC.PM MQGM MC 取的中点注意到故有GC.O::2:1:3,AG GM MC  1 , 2 OCGCAG 因此关于点对称．于是 ②,G OM.GM MCAM MO 结合①、②，有，因此四点共圆．PM MQAM MO, ,,A P O Q 又所以，即平分 1 , 2 OPOQGCPAOQAO AG.PAQ 2014A 二、 （本题满分 40 分）如图所示，锐角中，，过点分别作ABC 0 60BACCB, 的外接圆的切线，且满足。

直线与的延ABCOCEBD,BCCEBDDEACAB, 长线分别交于点，设与交于点,与交于点，证明：GF,CFBDMCEBGN ANAM  ★★证明：证明： 如图，设两条切线交于点，则，结合可知CEBD,KCKBK CEBD  ，作的平分线交于点，连接BCDE//BACALBCLLNLM, 由知，，，故与相BCDE//DFBABCBACDBCFDBABCDFB 似 由此并结合，及内角平分线定理可得：BCDE//BCBD  ，因此，同理可得， LB LC AB AC FD BD FD BC MF MC BFLM //CGLN // 由此得BALABLALBBLMALBALM 0 180 ，ALNCLNALCACLALCCAL 0 180 在结合及内角平分线定理得FGBC // ，即1 AC AB BL CL BL BC AC AB BC CL LN CG CG BF BF LM LN LM LNLM  故由，，得ALAL ALNALMLNLM ALNALM 所以ANAM  另证：记的三个内角分别为其对边分别为ABCCBA,,cba,, 由于和都是的切线，故。

再由，可得四边BDECECBBACDBCCEBD  形是等腰梯形，从而.BCEDBCDE// 由于，，故~，BABCBFDABACDBCFDBDFBABC 得，即， b a b BD c FD  b ac FD  由，可得，即①FDBC // c b FD BC MD BM  cb ab BM   在中，，由余弦定理得：ABMABABM ab c。