环境水力学ch2-1分析解析课件.ppt

环境水力学 第二章￿ 分子扩散 第二章 分子扩散 第一节 分子扩散的费克定律 第二节 一维扩散方程的基本解 第三节 若干定解条件下分子扩散方程的解析解 第四节 随流扩散 第一节 分子扩散的费克定律 什么叫扩散现象？扩散遵循什么定律？ 1、扩散现象 ??扩散是由物理量梯度引起的使该物理量平均化的物质迁移现象污染物质量由于分子无规则运动从高浓度区到低浓度区的净流动过程称为分子扩散，它是物质质量输移的方式之一 扩散现象 ?由气体分子运动论可知，单位时间内分子碰撞的次数是巨大的在通常条件下，每秒钟每升体积内的碰撞次数高达 1032次以上，说明分子每时每刻都在不停歇地作无规则的运动分子的这种运动称为布朗运动 ?两种不同物质通过分子运动而相互渗透的现象称为分子扩散 扩散现象 ?扩散的动力可以是分子场中的浓度梯度、温度梯度、压力梯度或其它作用力存在相应的扩散有浓度扩散、温度扩散、压力扩散或强制扩散等 ?分子运动不仅可以传递质量，也同样可以传递动量、能量、热量和涡通量等 2、费克第一扩散定律 ￿￿￿T·Graham曾经对气体的扩散做了大量的研究工作A.Fick( 菲克)在Graham 工作的基础上，设计出在液体里量测污染物分子扩散的装置并进行了大量的研究工作，于1855年发表了以试验为基础的分子扩散第一定律：￿xcDqx????式中：qx 为污染物的质量通量，其量纲为[ML-2T-1]，D为分子扩散系数，其量纲为[L2T-1]。

分子扩散系数随溶质与溶液种类和温度、压力而变化 费克第一扩散定律 ?下面给出推导： 设有两个假想的高宽均为 1，长度为△ X的盒子分别装着物质M1和Mr 费克第一扩散定律 xcDqx????ycDqy????zcDqz????直角坐标系中，分子扩散的费克定律表示为：直角坐标系中，分子扩散的费克定律表示为： 由于物质扩散方向与浓度梯度增加的方向相反，加负号是为让污染物的质量通量始终为正 矢量表示： zkyjxicDq?????????????????为哈密尔顿算子 3、费克第二扩散定律 ￿￿￿采用欧拉研究方法，利用质量守恒原理可推导出费克扩散第二定律￿)(zqyqxqtczyx????????????式中：qx 为污染物的质量通量，其量纲为[ML-2T-1]，D为分子扩散系数，其量纲为[L2T-1] 下面给出推导 推导： ?如图表示一维输移的控制体，两个具有单位面积的平行面与x轴垂直，两者相距dx， 设c(x,t) 是 t 时刻位于x 点上物质浓度，则 c(x,t)dx 为该六面体内的污染物质量，该微元保守物质量对时间的变化率为 设x处的物质通量为q(x,t) ， 则在x+dx 处的物质通量为 x y z O q dx 1 1 dxxtxqtxq???),(),(dxx???x x+dx dxttxc??),(?在在x处和x+dx 处的通量之差为处的通量之差为 ?由质量守恒定律由质量守恒定律 ?可得： ?考虑到 ?故得一维扩散方程。

x y z O q dx 1 1 22xcDtc?????dxx???x+dx dxxtxq???),(dxxtxqdxttxc??????),(),(0??????tcxqxcDq????x ?一维扩散方程￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ?从数学上看，它是一个 二阶线性抛物型偏微分方程 ?将上述结果推广到三维中去，可得（直角坐标系中）： 22xcDtc?????)(222222zcycxcDtc??????????? ?方程含义：方程左边为时变项；方程右端为分子扩散项 ?扩散方程在本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现 )(222222zcycxcDtc???????????第二节 一维扩散方程的基本解 一、静止水环境中的扩散 ?1、集中瞬时源 ?1）一维分子扩散 ?2）讨论 ?计算条件： ?静止流体： u=v=w=0 ?守恒的中和物质 ?不可压缩性 1、集中瞬时源 ?在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质分别讨论：分别讨论：1）、一维扩散）、一维扩散 2）、二维扩散）、二维扩散 3）、三维扩散）、三维扩散 1）、一维扩散 主要针对面污染源，只考虑沿某一方向（ X方向）上的浓度分布。

设想有一根直的无限长均匀断面水管，截面积为一个单位，管内装有静止洁净的水体，在管子中间垂直于管轴瞬时集中投放质量为M的红色染液染液厚度很薄，红色染液在水管中的扩散为分子扩散 1）、一维扩散 由于受管壁限制，且染液薄片充满了整个管断面，所以染液只会沿长度方向扩散 令染液投入点为坐标原点，建立坐标系 O dX X 扩散方程为： 定解条件： 22xcDtc?????时当?????xtxcxMxc, 0),()()0 ,(?式中：C(x,t)为水管中t 时刻x断面染液的平均浓度； M是瞬时投放在单位面积上的质量 ??? ??????????1)(0,)(dxxDiracx???具有性质函数是脉冲函数O )(x?x ????????????MdxxMdxxc)()0 ,(?因此有： 于是，一维扩散定解问题归结为： 时当?????xtxcxMxc, 0),()()0 ,(?22xcDtc?????求解方法之一： ?量纲分析法 ?因为任意时刻在x方向某一点的浓度C必定与投放点质量M、扩散系数D、以及坐标位置x、时间t有关一维问题中， C的量纲是[ML-3]，该量纲恰好是 的量纲。

可设 ?令无量纲变量 DtM)(4)4(4),(???fDtMDtxfDtMtxC??Dtx4???于是： xfDtMxC??????????4DtfDtM414?????xDtfDtMxCxxC??????????????????)41(4)(22DtfDtM41422???????由于： tfDtMDtMtftC??????????????4)4(DtxtfDtMfDtMt4214421?????????将上述结果代入一维扩散方程中 ?可得： ?即： 22xcDtc?????02222???fddfdfd???02??????????fddfdd???二阶线性齐次常微分方程 Constfddf????2?其特解由 20)(????eAf10?A02??fddf??可得：￿DtxeDtMtxc424),(???? 对于保守物质，任何时刻分布在扩散空间内的物质总质量保持不变，即 Mdxtxc??????),(代入可得：￿式中：M为单位面积上扩散质的质量， g/m2； D为分子扩散系数，m2/s 瞬时平面源一维扩散方程解析解 DtxeDtMtxc424),(???扩散质浓度分布 O X C t1 t2＞t1 O X t=0 讨论: ?当t?0,x?0，取极限可得：c=+∞，说明在初始时刻，污染源投放点的浓度为 +∞。

?当t?0,x≠0处，c=0，说明解满足初始条件 ?扩散质浓度C(x,t)是以t为参变量的正态分布函数 DtxeDtSMtxc424),(???分子扩散模拟实验 讨 论: ?由图中可见，不同扩散时间 t 的浓度分布具有不同的正态分布曲线，这是瞬时源的重要特点 ?公式中的 x应理解为计算点P距排放点的距离；公式中的t 应理解为距某一指定时刻的时段长 )(4)(0020)(4),(ttDxxettDSMtxc??????一般地,对任意位置x=x0,t0时刻排污量M，有： 例题1： 足够长的渠道，断面积为S，水流静止，在距离坐标原点L1处瞬时投放扩散质质量M1（平面源），在距离坐标原点L2处瞬时投放扩散质质量M2（平面源） 求c(x,t)=? O M2 L2 M1 L1 例1答案 由此可见，浓度公式中坐标x应理解为计算点P距排放点的距离 DtLxeDtSMtxc4)(11214),(????DtLxeDtSMtxc4)(22224),(????),(),(),(21txctxctxc??其中：其中： 例题2： 在例1中M2 2在排放M1 排放后T 时刻瞬时排放，其它条件相同，求c(x,t)=? O M2 L2 M1 L1 例2答案 由此可见，浓度公式中时间 t应理解为距某一指定时刻的时段长。

DtLxeDtSMtxc4)(11214),(????)(4)(2222)(4),(TtDLxeTtDSMtxc???????????????TttxcTttxctxctxc,),(),,(),(121),(其中： 小 结 1.这里讲的瞬时、面源、线源、点源的概念是指数学意义上的，实际情况难以达到 2.源强的单位： ?一维扩散：是指投放在源平面单位面积上的质量（g/m2） 习题 ?什么是瞬时平面源？ ?什么是一维分子扩散？ ?P18 2-3 提示：营养物分子扩散浓度 kcdzcdD?22扩散方程为： 定解条件： 22xcDtc?????时当?????xtxcxMxc, 0),()()0 ,(?式中：C(x,t)为水管中t 时刻x断面染液的平均浓度； M是瞬时投放在单位面积上的质量 求解方法之二： dxeFxtcdxCetxCFxitCtCxi??????????????????????][)],([作傅氏变换对dtCdFdxCetdxCetxixi][][][?????????????????????将上式两边对x作傅里叶变换可得： 傅里叶变换 dxexCiDetCDxCdeDdxeDDFxixixixixCxC???????????????????????????????????????????)()(][2222作傅氏变换对xDxC22??傅里叶变换 ][)(][,00),(222CFDdxeCiDiCDeidCeDixCDFetxCxxixixixxixtc???????????????????????????????????????????????因此有界又所以时，因为当初始条件傅氏变换 MMedxexMtxCFxxixit????????????00)()],([???——这里利用了脉冲函数的性质 定解问题变换为： MCFCFDdtCdFt????02][][][?用分离变量法 tDMeCF2][???可得： 取傅氏逆变换得： DtxxieDtMdetcitcFtxc4124),(~21)],(~[),(????????????????随流扩散 ? 随流输移和对流输移 ? 随流扩散的质量通量 ? 分子扩散 ? 紊动扩散 随流输移和对流输移 ? 随流输移是污染物在接纳水体中随该水体同步运动所产生的污染物质量迁移运动。

? 对流输移是由于水体内部的温度差或浓度差引起的密度差，在重力场或其他力场作用下形成浮升力而产生的质量迁移运动 无论是随流输移还是对流输移，它们都是污染物通过单位面积在单位时间内的质量通量，在直角坐标系中可以表示为如下形式 : 随流输移和对流输移 ucqx?vcqy?wcqz?式中： u，v，w为流速的三个分量； qx，qy，qz为对应的质量通量；c为污染物的浓度，其量纲为[ML-3] 随流扩散的质量通量 ?随流分子扩散是在流场中叠加一个浓度场，随流分子扩散是在流场中叠加一个浓度场，这里流速场为：这里流速场为： ?质量通量为： ),,,(),,,(),,,(),,,(tzyxcctzyxwwtzyxvvtzyxuu????zcDwcqycDvcqxcDucqzyx????????????;;分子扩散方程 ?将随流扩散的质量通量代入费克第二扩散定律可得：律可得： ?即为随流分子扩散方程 )()()()(222222zcycxcDzwcyvcxuctc????????????????????进一步讨论 zcwzwczwcycvyvcyvcxcuxucxuc????????????????????????)()()(考虑到： 因为：因为： 0?????????zwyvxu——不可压缩流体的连续性方程 分子扩散方程的一般形式 )(222222zcycxcDzcwycvxcutc????????????????????)(222222zcycxcDtc????????????整理得分子扩散方程的一般形式为：整理得分子扩散方程的一般形式为： ?上式为不可压缩流体的随流分子扩散方程。

?对静止流体 u=v=w =0,上式成为 谢谢 谢谢 大大 家！家！ 。