初中数学最值问题典型例题(含答案分析).pdf

K2MG-E《专业技术人员绩效管理与业务能力提升》练习与答案 1 中考数学最值问题总结 考查知识点：1、 “两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “点关于线对称” ， “线段的平移” （2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图， 、是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连结交于 点，则的值最小 例 1、如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； （3）当 AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长。

例 2、如图 13，抛物线 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4） ，交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B 点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为 PQ 上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图 15，抛物线上是否存在一点 T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为 M，过点 M 作直线 MN∥BD，交线段AD 于点 N，连接 MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由. AB′Pl K2MG-E《专业技术人员绩效管理与业务能力提升》练习与答案 2 例 3、如图 1，四边形 AEFG 与 ABCD 都是正方形，它们的边长分别为 a,b(b≥2a),且点 F 在 AD 上（以下问题的结果可用 a,b 表示） （1）求 S△ DBF; (2) 把正方形 AEFG 绕点 A 逆时针方向旋转 450得图 2,求图 2 中的 S△ DBF; (3) 把正方形 AEFG 绕点 A 旋转任意角度,在旋转过程中,S△ DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

K2MG-E《专业技术人员绩效管理与业务能力提升》练习与答案 3 例 4、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A，B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PD⊥AB 于点 D （1）求 a，b 及的值 （2）设点 P 的横坐标为 ①用含的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值； ②连接 PB，线段 PC 把△ PDB 分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为 9：10？若存在，直接写出值；若不存在，说明理由. K2MG-E《专业技术人员绩效管理与业务能力提升》练习与答案 4 例 5、如图，⊙C 的内接△ AOB 中，AB=AO=4，tan∠ AOB=,抛物线经过点 A(4,0)与点（-2,6）. （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线 m 与⊙C 相切于点 A，交 y 于点 D.动点 P 段 OB 上，从点 O 出发向点 B 运动；同时动点Q 段 DA 上，从点 D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒 1 个单位长，点 Q 的速度为每秒 2 个单位长，当 PQ⊥AD 时，求运动时间 t 的值； （3）点 R 在抛物线位于 x 轴下方部分的图象上，当△ ROB 面积最大时，求点 R 的坐标. 例 1、证明：（1）∵△ABE 是等边三角形， ∴BA=BE，∠ABE=60°． ∵∠MBN=60°，∴∠MBN- ∠ABN=∠ABE- ∠ABN．即∠MBA=∠NBE． 又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5 分） 解： K2MG-E《专业技术人员绩效管理与业务能力提升》练习与答案 5 （2）①当 M 点落在 BD 的中点时，A、M、C 三点共线，AM+CM 的值最小．（7 分） ②如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AM+BM+CM 的值最小．（9 分） 理由如下：连接 MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN 是等边三角形．∴BM=MN． ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10 分） 根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC 最短 ∴当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长．（11 分） 例 2、解： （1）设所求抛物线的解析式为： ，依题意，将点 B（3，0）代入，得： 解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为： （2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点 I，使得点 F 与点 I 关于 x 轴对称， 在 x 轴上取一点 H，连接 HF、HI、HG、GD、GE，则 HF＝HI…………………① 设过 A、E 两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0） ， ∵点 E 在抛物线上且点 E 的横坐标为 2，将 x＝2 代入抛物线，得 ∴点 E 坐标为（2，3） 又∵抛物线图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B、D ∴当 y＝0 时， ，∴x＝－1 或 x＝3 当 x＝0 时，y＝－1＋4＝3, ∴点 A（－1，0） ，点 B（3，0） ，点 D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线 x＝1， ∴点 D 与点 E 关于 PQ 对称，GD＝GE…………………② 分别将点 A（－1，0） 、点 E（2，3）代入 y＝kx＋b，得： 解得： 过 A、E 两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 ∴当 x＝0 时，y＝1 ∴点 F 坐标为（0，1） ∴=2………………………………………③ 又∵点 F 与点 I 关于 x 轴对称， ∴点 I 坐标为（0，－1） ∴………④ K2MG-E《专业技术人员绩效管理与业务能力提升》练习与答案 6 又∵要使四边形 DFHG 的周长最小，由于 DF 是一个定值， ∴只要使 DG＋GH＋HI 最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI 只有当 EI 为一条直线时，EG＋GH＋HI 最小 设过 E（2，3） 、I（0，－1）两点的函数解析式为： ， 分别将点 E（2，3） 、点 I（0，－1）代入，得： 解得： 过 A、E 两点的一次函数解析式为：y＝2x－1 ∴当 x＝1 时，y＝1；当 y＝0 时，x＝； ∴点 G 坐标为（1，1） ，点 H 坐标为（，0） ∴四边形 DFHG 的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知： DF＋EI＝ ∴四边形 DFHG 的周长最小为。

（3）如图 7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使即可， 即：………………………………⑤ 设点 M 的坐标为（a，0） ，由 MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴ 再由（1） 、 （2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4 ∴ ∵， ∴⑤式可写成： 解得：或（不合题意，舍去） ∴点 M 的坐标为（，0） 又∵点 T 在抛物线图像上， ∴当 x＝时，y＝ ∴点 T 的坐标为（， ）. 例 3、 解： （1）∵ 点 F 在 AD 上，∴ AF2=a2＋a2，即 AF= （2）连接 DF，AF，由题意易知 AF∥ BD， ∴ 四边形 AFDB 是梯形 ∴ △ DBF 与△ ABD 等高同底，即 BD 为两三角形的底 由 AF∥ BD，得到平行线间的距离相等，即高相等， ∴ K2MG-E《专业技术人员绩效管理与业务能力提升》练习与答案 7 （3）正方形 AEFG 在绕 A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点 A 为圆心，AF 为半径的圆 第一种情况：当 b＞2a 时，存在最大值及最小值， ∵ △ BFD 的边 BD=， ∴ 当 F 点到 BD 的距离取得最大、最小值时，S△ BFD取得最大、最小值。

如图，当 DF⊥BD 时，S△ BFD的最大值=， S△ BFD的最小值= 第二种情况：当 b=2a 时，存在最大值，不存在最小值， S△ BFD的最大值= 例 4、解： （1）由，得到 x=－2，∴ A（－2，0） 由，得到 x=4，∴ B（4，3） ∵ 经过 A、B 两点， ∴ ，解得 设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E（0，1） ∴ 根据勾股定理，得 AE= ∵ PC∥ y 轴，∴ ∠ ACP=∠ AEO （2）①由（1）可知抛物线的解析式为 由点 P 的横坐标为，得 P，C ∴ PC= 在 Rt△ PCD 中， ， ∵ ，∴ 当 m=1 时，PD 有最大值 ②存在满足条件的值， K2MG-E《专业技术人员绩效管理与业务能力提升》练习与答案 8 例 5、解： （1）将点 A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入中，得方程组， 解之，得.∴抛物线的解析式为. （2）连接 AC 交 OB 于 E. ∵ 直线 m 切⊙C 于 A ∴ AC⊥m，∵ 弦 AB=AO， ∴ .∴ AC⊥OB，∴ m∥ OB. ∴ ∠ OAD=∠ AOB，∵ OA=4 tan∠ AOB=，∴ OD=OA·tan∠ OAD=4×=3. 作 OF⊥AD 于 F.则 OF=OA·sin∠ OAD=4×=2.4. t 秒时，OP=t,DQ=2t，若 PQ⊥AD，则 FQ=OP= t.DF=DQ－FQ= t. ⊿ ODF 中，t=DF==1.8 秒. （3）令 R(x, x2－2x) (0＜x＜4). 作 RG⊥y 轴于 G 作 RH⊥OB 于 H 交 y 轴于 I.则 RG= x，OG= x2+2x. Rt⊿ RIG 中，∵ ∠ GIR=∠ AOB ，∴ tan∠ GIR=.∴ IG=x IR= x, Rt⊿ OIH 中，OI=IG－OG=x－（x2+2x）=x2－x.HI=（x2－x）. 于是 RH=IR－IH= x－（x2－ x）=－ x2+x=－ x2+x=－( x－)2+ 当 x=时，RH 最大.S⊿ ROB最大.这时 x2－2x=×()2－2×=－.∴ 点 R(,－) 世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。

不要随意发脾气，谁都不欠你的 。