北师大八年级下册---第1讲-等腰三角形与直角三角形-讲义.docx

等腰三角形与直角三角形【知识梳理】1、等腰三角形及其性质(1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．(2)性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．2、等腰三角形的判定定理　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．　　等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC．(1)直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：或h=abc.(2)定理：直角三角形的两个锐角互余．　　推理过程：在△ABC中，∵∠C＝90°，　　∴ ∠A＋∠B＝90°（或∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A）．　　说明：这一定理应用的前提是Rt△，已知一个锐角，求另一个角．　　反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法．(3) 定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．　　推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝12AB．(4)定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．　　推理格式：　　∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12AB，　　∴∠A＝30°【典型例题】知识点一：等腰三角形考点一：等腰三角形的判断与证明例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．分析：　　这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形．解：　　（1）①③，①④，②③，②④．　　（2）选择①④来证明结论成立．　　已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC．　　求证：△ABC是等腰三角形．　　证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．　　又∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，　　∴AB=AC．∴△ABC为等腰三角形．例2、如图，在△ABC中，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC．求证：AO⊥BC．证明：　　延长AO交BC于D　　在△ABO与△ACO中 ，　　∴△ABO≌△ACO，　　∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，　　∴AO⊥BC．考点二：利用等腰三角形求度数 例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．分析：　　本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解．解：　　设∠A=x．∵AD=DE=EB　　∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB．　　又∵∠DEA=∠EBD＋∠EDB，　　∴∠EBD=∠EDB=x2．　　∴BDC=∠A＋∠ABD=32x．　　∵BD=BC，AB=AC，　　∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=32x．　　在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，　　即x+32x+32x=180°，　　∴x=45°，即∠A=45°．例4、AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC，求∠ABC的度数．　　（1）当H是AD与BE的交点时，　　∵BE、AD是△ABC的高，　　∴∠4=∠3=∠5=90°，　　∴∠1＋∠C=∠2＋∠C=90°，　　∴∠2=∠1．　　又∵BH=AC，∴△BHD≌△ACD，　　∴BD=AD，∴∠DBA=∠6．　　又∵∠6＋∠DBA=90°，　　∴∠DBA=45°，即∠ABC=45°．　　（2）当H是AD、EB延长线的交点时，　　∵BE、AD是△ABC的高，　　∴∠3=∠2=90°，∠4=90°，　　∴∠1＋∠H=90°，∴∠CAD＋∠H=90°，　　∴∠1=∠CAD．　　又∵BH=AC，　　∴△DBH≌△DAC，　　∴DB=DA，　　∴∠5=∠6．　　又∵∠5＋∠6=90°，∴∠6=45°，　　∴∠ABC=180°－45°=135°．　　故∠ABC的度数为45°或135°．考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法．例5、如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB＋BD．（你可以用不同的方法证明吗）方法一：　（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE．　　因为AD平分∠BAC，所以∠2=∠1．　　又因为AD=AD，所以△BAD≌△EAD（SAS）．　　所以BD=ED．所以∠3=∠B=2∠C．　　因为∠3=∠C＋∠4，　　所以2∠C=∠C＋∠4，所以∠C=∠4，　　所以DE=CE．所以CE=BD．　　所以AC=AE＋EC=AB＋DB．方法二：　　（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以∠E=∠1．　　因为∠2=∠E＋∠1=2∠E，　　又因为∠2=2∠C（已知），所以∠C=∠E．　　因为∠4=∠3，AD=AD，所以△ADC≌△ADE（AAS），　　所以AC=AE．　　因为AE=AB＋BD，所以AC=AB＋BD．例6、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．方法一：解：　　首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：　　过A作AG⊥BC于G．　　∵AB=AC，∴∠3=∠4．　　又∵AE=AF，∴∠1=∠E．　　又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，　　∴∠3=∠E，　　∴AG//EF，　　∴EF⊥BC．方法二：接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：　　过A作AH⊥EF于H．　　∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．　　又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．　　又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，　　∴∠EAH=∠B，　　∴AH//BC，　　∴EF⊥BC．方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：　　过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．　　∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，　　∴∠EAF=180°－2∠AFE．　　又∵AB=AC，∴∠B=∠1．　　又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，　　∴2∠1=180°－2∠AFE，　　∴∠1＋∠AFE=90°，　　∴∠2=∠AFE，　　∴DE//MC，　　∴EF⊥BC．方法四：小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：　　过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．　　∵AE=AF，　　∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．　　又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，　　∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，　　∴∠1=∠B，∴EN//BC，　　∴EF⊥BC．方法五：小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：　　过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．　　又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，　　∴∠1=∠2．　　又∵AB=AC，∴∠B=∠3，　　∴∠B=∠P，∴EB=EP，　　∴EF⊥BC．方法六：大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：　　∵AE=AF，　　∴∠1=∠E．　　又∵∠2=∠1＋∠E，　　∴∠2=2∠E．　　又∵AB=AC，∴∠B=∠C，　　∴∠2=180°－2∠B，　　∴2∠E=180°－2∠B，　　即∠E＋∠B=90°，　　∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．例7、如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD．求证：CD⊥AC．证明：　　取AB的中点E，连结DE．　　∵AD=BD，　　∴DE⊥AB，　　∴∠3=90°．　　又∵AB=2AC，AB=2AE，　　∴AE=AC．　　又∵∠1=∠2，AD=AD，　　∴△AED≌△ACD，　　∴∠3=∠ACD，∴∠ACD=90°，　　∴CD⊥AC．例8、△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F．求证：DF=EF．　　过E作EG//AB交BC的延长线于G，则∠G=∠B．　　又∵AB=AC，∴∠B=∠1．　　又∵∠1=∠ECG，　　∴∠G=∠ECG，∴CE=GE．　　又∵BD=CE，∴BD=GE．　　又∵∠BFD=∠GFE，　　∴△BDF≌△GEF，　　∴DF=EF．知识点二：直角三角形考点一：30°所对的直角边等于斜边的一半例1 （将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．点评：此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．例2.如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。

求证：CE = DE分析：这里要证明两次三角形全等例3.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长 例4.在△ABC中，AB=AC，，于A（1） 求的度数（2） 证明：DC=2BD变式训练如图4，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°．求证：AC＝AB．ABCD图4考点二：利用直角三角形的性质证明例5、如图所示，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF＝DF.分析：　　要证CF＝DF，可连接AC、AD后，证△ACF≌△ADF即可.证明：　　连结AC、AD.在△ABC和△AED中，　　　　所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.　。