2022年数列知识点及常用结论.pdf

名师总结优秀知识点数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：1(1)naand（从第 1 项1a开始为等差）()nmaanm d（从第 m项ma开始为等差）()nmnmnmaandaanm daadnm②前n项和公式：11()(1)22nnn aan nSnad（2）证明等差数列的法方①定义法： 对任意的 n，都有1nnaad（d 为常数）{}na为等差数列②等差中项法：122nnnaaa（n*N）{}na为等差数列③通项公式法：na=pn+q (p ，q 为常数且p≠ 0) {}na为等差数列即： 通项公式位n 的一次函数，公差dp，首项1apq④前n项和公式法：2nSpnqn (p ， q 为常数 ) {}na为等差数列即： 关于 n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论①若数列{}na，{}nb为等差数列，则数列{}nak，{}nk a，{}nnab，{}nkab(k ， b 为非零常数 )均为等差数列. ②若 m+n=p+q (m，n，p，q*N) ，则nmaa=pqaa. 特别的，当n+m=2k时，得nmaa=2ka③在等差数列{}na中，每隔k(k*N) 项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d( 例如：1a，4a，7a，10a仍为公差为3d 的等差数列) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页名师总结优秀知识点④若数列{}na为等差数列， 则记12kkSaaa，2122kkkkkSSaaa，3221223kkkkkSSaaa，则kS，2kkSS，32kkSS仍成等差数列，且公差为2kd ⑤若nS为等差数列{}na的前 n 项和，则数列{}nSn也为等差数列 . ⑥11,(1),(2)nnnSnaSSn此性质对任何一种数列都适用⑦求nS最值的方法：I:若1a>0，公差 d<0，则当100kkaa时，则nS有最大值 ,且kS最大；若1a<0，公差 d>0，则当100kkaa时，则nS有最小值，且kS最小；II ：求前n项和2nSpnqn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k，当nk时，kS为最值，是最大或最小，通过nS的开口来判断。

二、等比数列（1）等比数列的基本公式①通项公式：11nnaa q（从第 1 项1a开始为等比）n mnmaa q（从第 m项ma开始为等差）②前n项和公式：1(1),(1)1nnaqS，1,(1)nSnaq（2）证明等比数列的法方①定义法： 对任意的 n，都有1(0)nnnaqaa1nnaqa(q0) {}na为等比数列②等比中项法：211nnnaaa（11nnaa0）{}na为等比数列③通项公式法：1( ,0nnaaqa q是不为的常数 ){}na为等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页名师总结优秀知识点（3）常用结论①若数列{}na，{}nb为等比数列，则数列1{}na，{}nk a，2{}na，21{}na，{}nna b{}nnab(k 为非零常数 ) 均为等比数列 . ②若 m+n=p+q (m， n， p， q*N)，则nma a=pqaa. 特别的，当n+m=2k 时，得nmaa=2ka③在等比数列{}na中，每隔k(k*N)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1kq(例如：1a，4a，7a，10a仍为公比3q的等比数列 ) ④若数列{}na为等差数列，则记12kkSaaa，2122kkkkkSSaaa，3221223kkkkkSSaaa，则kS，2kkSS，32kkSS仍成等比数列，且公差为kq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页名师总结优秀知识点三、求任意数列通项公式na的方法（1）累加法：若na满足 an+1=an+f(n) 利用累加法求：na12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa例题： 若11a，且12nnaan，求：na练习题： 若数列na满足1120nnnaa，且10a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页名师总结优秀知识点（2）累乘法：若na满足1( )nnaf na利用累乘法求：na32411231() () ()()nnnaaaaaaaaaa例题： 在数列 { an}中，1111,2nnnaaan，求：na. 练习题：在数列 {an} 中，11a且1nnana，求：na（提示：1 2 3 ......!nn）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页名师总结优秀知识点（3）递推公式中既有nS，又有na，用逐差法11nnnSaSS　　　 n=1　n2特别注意：该公式对一切数列都成立。

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页名师总结优秀知识点（4）若na满足1,()nnapaqpq，则两边加：1qxp，在提公因式P，构造出一个等比数列，再出求：na例题：已知数列{}na，满足：121nnaa，且11a，求：na习题 1：已知数列na满足：131nnaa且11a，求：na习题 2：已知数列na满足：12a，且nnSan，求：na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页名师总结优秀知识点（5） 若na满足1n knnapap， 则两边同时除以：1np， 构造出一个等差数列，再求出：na例题：已知na满足：11a1122nnnaa，求：na解：111122222nnnnnnnaaaa，既有：11222nnnnaa所以：2nna是首项为：1122a，公差12d的等差数列11(1)2222nnann所以：1222nnnnan习题 1：已知1133nnnaa且11a，求：na习题 2：已知1123 2nnnaa且11a，求：na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页名师总结优秀知识点（六）待定系数法： 若na满足以下关系：1nnakafn都可用待定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示： 提 k，对( )f n待定系数例题 1：已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式 . 解：11152(5 )235nnnnnnnaxaxaax，与原式对应得，1x1111552(5 )25nnnnnnnnaaaa所以：5nna是首项1151a，公比2q的等比数列既有：115252nnnnnnaa例题 2：已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式 . 解：11123(2)322nnnnnnnaxyaxyaaxy，与原式对应得：5,2xy11115 225 223(5 22)35 22nnnnnnnnaaaa所以：5 22nna是首项为：115 2213a，公比3q的等比数列既有：115 2213 313 35 22nnnnnnaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页名师总结优秀知识点（七）颠倒法： 若na满足：1nnnC aaaC，用颠倒法；11111nnnnnnnnnnC aaCaCaaCaC aC aC aCa所以：1111nnaaC，所以：1{}na是以首项为：11a，公差1dC的等差数列例题 1：已知122nnnaaa，且12a，求：na例题 2：已知1133nnnnaaaa，且11a，求：na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页名师总结优秀知识点（ 八 ） 倒 数 换 元 法 ： 若 数 列na满 足 ：1nnnA aaB aC， 则 颠 倒 变 成111nnnnB aCCBaA aA aA然后再用两边加：1qp或者待定系数法既可求出1na，再颠倒就可得到：na例题：若数列na满足：123nnnaaa，且11a，求：na解：1121311322nnnnnaaaaa，两边加： 1 得：11313122nnaa111113131(1)1221nnnnaaaa，所以：11na是首项为：1112a，公比：32q的等比数列；既有：122121213132212 ( )2232nnnnnnnnnnaaa若用待定系数法：11121311131()3222nnnnnnnaaxxaaaaa1113 1313 112222nnnnxxxaaaa与原式子对应得1x，然后的方法同上；习题： 已知1132nnnnaaaa且11a，求：na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页名师总结优秀知识点四、求前 n 项和 Sn的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n 项和；或者是等差与等比的商的前 n 项和； （是商的时候， 适当转变一下就变成了乘积形式） 。

既：设na为等差数列，nb为等比数列，求：nnab或nnab的前 n 项和常用此方法（nnab都转变为乘积形式）例题 1：已知数列2nna，数列{}nb的前n项和22nSnn，求数列{}nnab的前n项和nT例题 2：求数列312nnna的{}nnab的前n项和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页名师总结优秀知识点习题 1：求：23124272...(32)2nnSn习题 2：设数列1(21)3nnna，求na的前 n 项和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页名师总结优秀知识点（2）裂项相消求和适用于1()nannk的形式，变形为：11 11()()nannkk nnk例题：求数列1(1)nan n的前 n 项和nS习题 1：求数列1(2)nan n的前 n 项和nS习题 2：求数列,11,,321,211nn的前 n 项和. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页名师总结优秀知识点（3） 、分组法求和 ：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减；例题：求321nnan的前n和nS？习题 1：已知{}na是一个递增的等差数列且241545,14aaaa，{}na前 n 项和为nS数列212nnb的前 n 项和为nS，求数列2nnncab的前 n 项和nT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页名师总结优秀知识点（3） 、倒序求和 ：若1( )knkaaf k，则na的前前 n 项和nS用倒序求和【角标之和为1n，( )f n可以为一个常数，能用倒序求和的，(1)(2).....( )fff n一定是可求的】例题 1：若数列12mmnmaa，求na的前前 n 项和nS习题 2：若数列13knkaka，求na的前前 n 项和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页。