方波的傅里叶分解与合成 - 图文.docx

方波的傅里叶分解与合成 - 图文 方波的傅里叶分解与合成教 学 目 的 1、用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波 3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法重 难 点 1、了解串联谐振电路的根本特性及在选频电路中的应用； 了解方波的傅立叶合成的物理意义2、选频电路将方波转换成奇数倍频正弦波的物理意义教 学 方 法 讲授与试验演示相结合 学 时 3学时 一、试验仪器 FD-FLY-I傅立叶分解合成仪，DF4320示波器，标准电感，电容箱 二、原理任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：?1f(t)?a0??(ancosn?t?bnsinn?t)2n?1a02?其中：T为周期，?为角频率＝T；第一项2为直流重量f(t)h-T-h0Tt-Th0-htf(t)图1 方波图2 三角波 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数绽开成直流重量、基波和全部ｎ阶谐波的迭加如图1所示的方法可以写成：T h (0≤t＜2)f(t)=T -h (-2≤t＜0)1 此方波为奇函数，它没有常数项。

数学上可以证明此方波可表示为：4h111f(t)?(sin?t?sin3?t?sin5?t?sin7?t???)?3574h ??(n?1?1)sin[(2n?1)?t]2n?1同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为：TT4ht T (-4≤t≤4)f(t)=2tT3T 2h(1-T) (4≤t≤4)f(t)?8h?28h(sin?t??111sin3?t?sin5?t?sin7?t???)2223572??(?1)n?1n?11sin(2n?1)?t(2n?1)2〔a〕周期性波形傅里叶分解的选频电路我们用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进展频谱分解在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系本仪器具有1KHｚ的方波和三角波供做傅里叶分解试验，方波和三角波的输出阻抗低，可以保证顺当地完成分解试验试验线路图如图3所示这是一个简洁的RLC电路，其中R、C是可变的。

L一般取0.1H~1H范围当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应谐振频率?0为：1?0=LC这个响应的频带宽度以Q值来表示：?0LQ＝R当Q值较大时，在?0旁边的频带宽度较狭窄，所以试验中我们应当选择Q值足够大，大到足够将基波与各次谐波分别出来假如我们调整可变电容C，在n?0频率谐振，我们将从此周期性波形中选择出这个单元它的值为：V(t)?bnsinn?0t 图3 波形分解的RLC串联电路2 这时电阻R两端电压为：VR(t)?I0Rsin(n?0t??)此式中??tg?1XR，X为串联电路感抗和容抗之和 I0?bnZ， Z为串联电路的总阻抗在谐振状态X＝0此时，阻抗Z＝ｒ＋R＋RL＋RC＝ｒ＋R＋RL其中，ｒ方波〔或三角波〕电源的内阻；R为取样电阻；RL为电感的损耗电阻；RC为标准电容的损耗电阻 (RC值常因较小而忽视〕由于电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，RL的数个将随频率的增加而增加试验证明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz~7KHz范围内，阻值不随频率改变b) 傅里叶级数的合成本仪器供应振幅和相位连续可调的1KHz，3KHz，5KHz，7KHz四组正弦波。

假如将这四组正弦波的初相位和振幅按必须要求调整好以后，输入到加法器，叠加后，就可以分别合成出方波、三角波等波形 三、试验内容和运用方法A、方波的傅里叶分解 1KHzsin?t 3KHzsin?t3 5KHzsin?t1、 求RLC串联电路对1KHz，3KHz，5KHz正弦波谐振时的电容值C1、C3、C5，并与理论值进展比拟试验中，要求学生视察在谐振状态时，电源总电压与电阻两端电压的关系学生可从李萨如图为始终线，说明此时电路显示电阻性表1 谐振频率fi 试验值 理论值 1010Hz 0.253?f 0.253?f 3000Hz 0.0280?f 0.0280?f 5000Hz 0.0101?f 0.0101?f 测量以上数据时所用电感电感：L=0.1H00(标准电感) 电容为：R×7/0 型十进式电容箱 理论值Ci?1?i2L表1为1KHz、3KHz、5KHz正弦波谐振时测得电容值，仅供参考2、将1KHz方波进展频谱分解，测量基波和n阶谐波的相对振幅和相对相位将1KHz方波输入到RLC串联电路如图3所示然后调整电容值至C1，C3，C5值旁边，可以从示波器上读出只有可变电容调在C1，C3，C5时产生谐振，且可测得振幅分别为b1，b3，b5；而调整到其它电容值时，却没有谐振出现。

试验数据如下：(供用户参考) (一)取方波频率f=1010Hz，取样电阻R=22? ，信号源内阻测量得r=6.0?电感L=0.101H表2 试验数据一 谐振时电容值Ci(?f) 谐振频率(KHz) 相对振幅(cm) 李萨如图 与参考正弦波位相差 4 0.253 1 6.00 C1和C3之间 无谐振 ---- 0.028 3 1.80 C3和C5之间 无谐振 ---- 0.010 5 0.090 ? ? ? (二) 取方波频率f=1010Hz，取样电阻R=500?，测得信号源内阻r=6.0?，L=1.00H从上述数据中可以看出：(1) 方波傅里叶分解时，只能得到1KHz、3KHz、5KHz 正弦波，而2KHz、4KHz、6KHz等正弦波是不存在的 (2)电感用铜线缠绕，由于存在趋肤效应，其损耗电阻随频率提升而增加，因此使3KHz、5KHz谐波振幅数值比理论值偏小，此系统误差应进展校正表3 试验数据二 谐振时电容值Ci(?f) 谐振频率(KHz) 相对振幅(cm) 李萨如图 与参考正弦波位相差 0.253 1 6.00 C1和C3之间 无谐振 ---- 0.028 3 1.60 C3和C5之间 无谐振 ---- 0.010 5 0.50 ? ? ? (3)基波和各次谐波与同一参数正弦波(1KHz)初相位关系均为?，说明方波分解为基波和各次谐波初相位一样。

3、不同频率电流通过电感损耗电阻的测定对1H空心电感可采纳Q5型品质因素测量仪(低频Q表)测量 如：我们测得某电感(1H)损耗电阻和运用频率关系： 运用频率f(KHz) 1.00 3.00 5.00 损耗电阻RL 307? 362? 602? 图4 对于0.1H空心电感可用下述方法测定损耗电阻R 自己接一个如图4的串联谐振电路测量在谐振状态时，信号源输出电压VAB 和取样电阻R两端的电压VR，可计算出RL=RL+RC的值RC为标准电容的损耗电阻，一般较小可忽视L=0.1H电感的损耗电阻和运用频率关系 运用频率f(KHz) 1.00 3.00 5.00 损耗电阻RL 26? 34? 53? 测量VAB、VR电压可用示波器，也可用其它沟通伏特表5 4、相对振幅测量时，系统误差的校正 可用分压原理校正假设：b3为3KHZ谐波校正后振幅 b’3为3KHz谐波未被校正时振幅 RL1为1KHz运用频率时损耗电阻 RL3为3KHz运用频率时损耗电阻 'b3:b3?那么：RR:RL1?R?rRL3?R?rRL3?R?rRL1?R?r'b3?b3?对5KHz，谐波也可作类似的校正。

例：基波1KHz, b1=6.00cm34.0?22.0?6.0?2.07cm谐波3KHz， b1=1.8026.0?22.0?6.0?53.0?22.0?6.0?1.3cm谐波5KHz， b5=0.90 × 26.0?22.0?6.0 11经校正后，基波和谐波的振幅为1:3:5，与理论值符合较好B、傅里叶级数合成： 1、方波的合成111(sin?t?sin3?t?sin5?t?sin7?t??)?357以上式中可知，方波由一系列正弦波(奇函数)合成f(x)?4h111这一系列正弦波振幅比为1:3:5:7，它们的初相位为同相a b6 ca、1KHz正弦波； b、1KHz、3KHz正弦波迭加；c、1KHz、3KHz、5KHz、正弦波迭加试验步骤如下：(1) 用李萨如图形反复调整各组移相器1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波同位相调整方法是示波器X轴输入1KHz正弦波：而Y轴输入1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波在示波器上显示如下波形时： 图5此时，基波和各阶谐波初相位一样也可以用双踪示波器调整1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波初相位同相。

111(2)调整1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波振幅比为1:3:5:73)将1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次输入加法器，视察合成波形改变，最终可看到近似方波图形方波合成过程如图6所示 从傅里叶级数迭加过程可以得出：4(1) 合成的方波的振幅与它的基波振幅比为1:?；(2) 基波上迭加谐波越多，越趋近于方波3) 学生可视察迭加谐波越多，合成方波前沿、后沿越陡直 2、三角波的合成〔选做〕三角波傅里叶级数表示式：8hsin?tsin3?tsin5?tsin7?tf(t)?2(2??????)?13252737 图 6四、试验数据及处理 1、分解方波f=1010HZ ;取样电阻R= Ω;信号源内阻r=6.0Ω; L=0.10H 表 1谐振频率f i 试验值μf 理论值μf表 2 谐振时电容值C1〔μf〕 谐振频率〔KHZ〕 相对振幅〔cm〕 李萨如图 与参考正弦波位相差2、合成〔1〕画出１KHz、３KHz、５KHz、７KHz各谐波初相位的图 〔2〕登记１KHz、３KHz、５KHz、７KHz各正旋波的振幅 〔3〕画出合成后的近似方波的波形图〔画二个周期〕 1010HZ 0.253 3000HZ 0.0280 5000HZ 0.0101 1 C1和C3之间 无谐振 3 C3和C5之间 无谐振 5 π π π 8本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10。