探究规律题型方法总结和练习.doc

探究规律题型方法总结和练习探究规律题型方法总结和练习 一、教学内容：一、教学内容： 规律探究型问题规律探究型问题 1.1. 图案变化规律图案变化规律 2.2. 数列、代数式运算规律数列、代数式运算规律 3.3. 几何变化规律几何变化规律 4.4. 探索研究探索研究二、知识要点：二、知识要点： 近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察 分析及探索的能力分析及探索的能力. . 题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量 关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律 这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的 发现规律是中考的一个难点，越来越引起考生重视下面我们根据几种不同发现规律是中考的一个难点，越来越引起考生重视下面我们根据几种不同 类型的规律变化类型题进行分析。

类型的规律变化类型题进行分析规律探究型问题规律探究型问题””根据学生已有的知识基础和认知特点，分别从直观形象根据学生已有的知识基础和认知特点，分别从直观形象和抽象符号上进行规律探索，突出数学的生活化，给学生提供更多机会体验学和抽象符号上进行规律探索，突出数学的生活化，给学生提供更多机会体验学习和探索的习和探索的““过程过程””与与““经历经历””，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，调查的经验，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型现就规律探究的几个例子，来探讨一下这类专题：界的有效数学模型现就规律探究的几个例子，来探讨一下这类专题：一、规律探索型问题的分类：一、规律探索型问题的分类：1 1、数式规律、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式征，改写成要求的格式如：如：1 1、有一串单项式：、有一串单项式：a a，，2a2a2 2，，3a3a3 3，，4a4a4 4，，……，，19a19a1919，，20a20a2020，，……那么第那么第 n n个单项式是个单项式是 2 2、争当小高斯：高斯在、争当小高斯：高斯在 1010 岁的时候，曾计算出岁的时候，曾计算出1+2+3+4+······+100=_________1+2+3+4+······+100=_________；还有另外一种解法：设；还有另外一种解法：设 S=S= 1+2+3+······+99+1001+2+3+······+99+100，那么也可以写成，那么也可以写成S=100+99+98+97+······+2+1S=100+99+98+97+······+2+1，把这两个等式左右两边分别相加，可以得，把这两个等式左右两边分别相加，可以得到到 2S=2S= （（1+1001+100））+ +（（2+992+99））+ +（（3+973+97））+······+······ + +（（99+299+2）） + +（（100+1100+1），），2S=100×1012S=100×101，，S=S= 由此，猜想前由此，猜想前 n n 个自然数和：个自然数和：1+2+3+4+······+n=1+2+3+4+······+n=________________，前，前 n n 个偶数和：个偶数和：2+4+6+8+······+2n=________2+4+6+8+······+2n=________，前，前 n n 个奇数和：个奇数和：1+3+5+7+1+3+5+7+ 9+······+9+······+ (2n-1)(2n-1) =________.=________.猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律推测性想象，从而发现一般规律. .它是发现和认识规律的重要手段它是发现和认识规律的重要手段. .平时的教学平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律从而探索事物的内在规律. .2 2、图形规律、图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。

解决这根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律如：如：1 1、、下图是某同学在沙滩上用石下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第观察图形的变化规律，写出第 n n 个小房子用了个小房子用了__________________块石子2 2、下面是按照一定规律画出的一列、下面是按照一定规律画出的一列““树型树型””图：图： 经观察可以发现：图（经观察可以发现：图（2 2）比图（）比图（1 1）多出）多出 2 2 个个““树枝树枝””，图（，图（3 3）比图）比图（（2 2）多出）多出 5 5 个个““树枝树枝””，图（，图（4 4）比图（）比图（3 3）多出）多出 1010 个个““树枝树枝””，照此规律，，照此规律，图（图（7 7）比图（）比图（6 6）多出）多出 个个““树枝树枝””．．图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把题需要把““形形””转化为转化为““数数””，考查学生数形结合的数学思想。

考查学生数形结合的数学思想二、二、规律探索型问题规律探索型问题常用解法常用解法1 1、抓住条件中的变与不变、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量. .所谓找规律，多数所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律情况下，是指变量的变化规律. .所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键键. .而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号号. .如：如：一组按规律排列的式子：一组按规律排列的式子：，，，，，，，，……（（），其），其中第中第 7 7 个式子是个式子是 ，第，第个式子是个式子是 （（为正整数）．为正整数）．分子和分母的分子和分母的底数没变，变化的是符号及它们的指数，再把变量和序列号放在一起加以比较，底数没变，变化的是符号及它们的指数，再把变量和序列号放在一起加以比较，就很容易发现其中的奥秘就很容易发现其中的奥秘2 2、化繁为简，形转化为数、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多. .对题目对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. .如：将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第如：将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 1 1 个图形有个图形有 6 6 个小个小 圆，第圆，第 2 2 个图形有个图形有 1010 个小圆，第个小圆，第 3 3 个图形有个图形有 1616 个小圆，第个小圆，第 4 4 个图形有个图形有 2424 个小个小 圆，圆，…………，依次规律，第，依次规律，第 6 6 个图形有个图形有 个小圆．个小圆．通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律. .3 3、寻找事物的循环节、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解以迎刃而解. . 如：如：把一张纸片剪成把一张纸片剪成 4 4 块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成 4 4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。

那么块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止那么20072007，，20082008，，20092009，，20102010 这四个数中这四个数中____________________________可能是剪出的纸片数可能是剪出的纸片数有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变. .我们只要在观察我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律. .三、三、规律探索型问题规律探索型问题常见的结论：常见的结论：1 1、乘方型：、乘方型：如：一张白纸引发的规律：将一张长方形的纸对折，可得到两层继续如：一张白纸引发的规律：将一张长方形的纸对折，可得到两层继续 对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，1 1、连续对折、连续对折 n n 次后，可以得到次后，可以得到 几层几层?2?2、连续对折、连续对折 n n 次后，可以得到几条折痕次后，可以得到几条折痕?3?3、若这张白纸的面积为、若这张白纸的面积为 1 1，连，连 续对折续对折 n n 次后单层面积是多少？次后单层面积是多少？另如：拉面问题：将一团拉面拉一次，再捏合一次，再拉第二次，又捏另如：拉面问题：将一团拉面拉一次，再捏合一次，再拉第二次，又捏合一次，如此重复下去，第合一次，如此重复下去，第 n n 次捏合后，有多少根拉面？次捏合后，有多少根拉面？这类问题的关键在于观察数的特征：将这类问题的关键在于观察数的特征：将““数数””进行比较，一定会发现进行比较，一定会发现““数数”。