6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系.pdf

北京邮电大学电子工程学院 6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、 z变换之间的关系 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 2 页页 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系 傅氏变换、拉氏变换、傅氏变换、拉氏变换、z 变换变换之间之间的联系和区别的联系和区别 主要内容主要内容 重点：重点：序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系 难点：难点：傅氏变换、拉氏变换、傅氏变换、拉氏变换、z 变换变换之间之间的联系的联系 和区别和区别 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 3 页页 一．序列的傅里叶变换（一．序列的傅里叶变换（DTFT)DTFT) OTT2T3tT        ttx T   O123n1     nx                                    n nΩ n T nTx nTtδnTxF tδtxF Tj e)( )()( )()( ωΩTnxnTx ),()(令令 (Discrete-time Fourier transform) 研究抽样信号的傅里叶变换研究抽样信号的傅里叶变换      ω n nω T XnxFnxtδtxF jj ee)()()(          ＝＝ 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 4 页页与与z变换的关系变换的关系      ω z ω zXX j e j e                     n n znxzX 变换变换即单位圆上的令即单位圆上的令zzz ω , 1,e j   2 周期为周期为 Re[ ] s jIm[ ] s O )j(  s虚轴虚轴 Re[ ] z jIm[ ] z O  1  )e( j   z 单位圆单位圆 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 5 页页 逆变换         1 1 1 1 d 2 1 d 2 1 d 2 1 d 2 n z jjnjj z jjnjj jjn x nX z zz j X eeee j X eeeje j X ee                                                                  DTFT 1 IDTFTd 2 jjn n jjjn x nX ex n e X ex nX ee                                    表示表示 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 6 页页 在在数字信号处理数字信号处理课程中将要介绍周期性序列的傅课程中将要介绍周期性序列的傅 里叶级数和有限长序列的傅里叶变换里叶级数和有限长序列的傅里叶变换，，并引出并引出““离散离散 傅里叶变换傅里叶变换（（DFTDFT））””的定义的定义。

必须注意，“序列的傅里叶变换（必须注意，“序列的傅里叶变换（DTFTDTFT）”与）”与 “离散傅里叶变换（“离散傅里叶变换（DFTDFT）”具有完全不同的含义具有完全不同的含义 由“离散傅里叶变换（由“离散傅里叶变换（DFTDFT）”引出“快速傅里）”引出“快速傅里 叶变换（叶变换（FFTFFT）”是数字信号处理研究与应用中最有）”是数字信号处理研究与应用中最有 力的计算工具力的计算工具 一．序列的傅里叶变换（一．序列的傅里叶变换（DTFT)DTFT) 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 7 页页 二二．．z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系 ( )( )( )( )txtxtxtx N ˆ++ˆ+ˆ=ˆ 21        11 eˆ i N p t i N i ii xtAu t        其拉式变换为其拉式变换为     1 ˆ N i i i A L x t sp                 ˆ x t 设连续时间信号设连续时间信号由由N 项指数信号相加组合而成项指数信号相加组合而成                    ? , zXsX zXnxZsXtxLnxtx 写出能否借助 ， 写出能否借助 ， 均匀抽样均匀抽样  北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 8 页页   12 ˆˆˆˆ N x nTxnTxnTxnT   11 ˆe i NN p nT ii ii xnTAu nT       1 11 1 ˆ ee ii NN ii p Tp T ii A zA Z x nT zz              借助模拟滤借助模拟滤 波器设计数波器设计数 字滤波器字滤波器     1 ˆ N i i i A L x t sp             二二．．z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系 对对进行理想抽样，得到的离散时间序列进行理想抽样，得到的离散时间序列也也 由由N 项指数序列相加组合而成。

项指数序列相加组合而成 ˆ( )x nT ˆ( ) x t 则其则其z变换为变换为 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 9 页页     变换的 ，求抽样序列的拉式变换为已知指数函数 的 ，求抽样序列的拉式变换为已知指数函数 znTu as tu anT at       e 1 e     tutx at    e 解：解： 例例6 6- -1010- -1 1   e anT u nT   只有一个一阶极点只有一个一阶极点，可直接求出，可直接求出 的的z变换 ( )X s 1 pa       as sX     1     aT z zX      e1 1 1 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 10 页页         变换的序列变换的序列 ，求抽样的拉式变换为已知正弦信号，求抽样的拉式变换为已知正弦信号 znTunTω ωs ω tutω 0 2 0 2 0 0 sin sin        tutωtx 0 sin 解：解： 例例6 6- -1010- -2 2 两个一阶极点分别为两个一阶极点分别为。

1020 jjpωpω ， ， 0 0 1j 0 j |, j2 sω ω K sω      * 21 j 2 KK   12 00 jj KK sωsω         2 0 2 0 ωs ω sX         00 j 2 j j 2 j ωsωs sX           北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 11 页页    变换为的可以得到变换为的可以得到znTunTω 0 sin     TωTω zz zX 00 j1j1 e1 2 j e1 2 j                   2 0 1 0 1 cos21 sin         zTωz Tωz     00 j 2 j j 2 j ωsωs sX           北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 12 页页              n snT s nTxsXe 拉氏变换拉氏变换        nnT z sT ,e                n n znxzX z变换变换        nnT T js , ,                  n nωω nxX jj ee 傅氏变换傅氏变换 3.1 3.1 傅氏变换、拉氏变换、傅氏变换、拉氏变换、 z变换之间的联系变换之间的联系 三．傅氏变换、拉氏变换、三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系变换的关系   j e ω z     j j n T s n Xx nT e           = =    x t抽样抽样     北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 13 页页     x t    x n j  sj   sT ze  变换名称变换名称 傅里叶变换傅里叶变换 拉普拉斯拉普拉斯 变换变换 z 变换变换 信号类型信号类型 变量变量      x tx n、 连续、离散信号 、 连续、离散信号 频率类型频率类型 及单位及单位 模拟：模拟： 数字：数字： 弧度弧度/ /秒秒 弧度弧度 模拟：模拟：弧度弧度/ /秒秒数字：数字：弧度弧度   T   j e   3.2 3.2 三种变换的比较三种变换的比较 三．傅氏变换、拉氏变换、三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系变换的关系 离散信号离散信号连续信号连续信号 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 X 第第 14 页页 3.3 3.3 s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 Ωsσj, 0     Ωs sHΩH j j     3.4 3.4 z平面单位圆上的平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换变换即为序列的傅氏变换 （（DTFT）） ω zz j e, 1     ω z zXωX j e j     三．傅氏变换、拉氏变换、三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系变换的关系 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 。