各向异性谐振子的能级简并.doc

1各向异性谐振子的能级简并刘永宏 指导教师：焦志莲（太原师范学院物理系，太原 030031）【摘 要】 给出了二维、三 维各向异性谐振子的能级及波函数，并讨论各种情况下二维、三维各向异性谐振子的能级简并问题关键词】各向异性谐振子，能级，波函数，能级简并0. 引 言各向同性谐振子的能级简并问题，很多量子力学教材都进行了讨论，譬如：曾谨言写的《量子力学导论》就对各向同性谐振子作了详细而深刻的分析但是对于各向异性谐振子的问题，则很少有教材中进行专门的讨论各向异性谐振子有其独特的能级简并和对称性，且在一定的近似条件下，可转变为各向同性谐振子来处理所以对于各向异性谐振子的能级简并研究，既能进一步加深对各向同性谐振子的理解和应用，同时又能为学习和探究更深层次的各向异性谐振子奠定基础本文先给出二维，三维各向异性谐振子的能级及波函数，然后讨论相应各向异性谐振子的能级简并度问题1. 各向异性谐振子的能级及波函数 1.1 二维各向异性谐振子的能量及波函数当各向异性谐振子为二维情况时，体系哈密顿量在 坐标系中可以表示为 oxy（1）222(,)1yxy xyPH令 （2）2222,yxx yH求解哈密顿本征值方程，可以得体系能量及波函数的表示为（3）,11()()22xynxxyyEnh（4）,xyxy其中，各维波函数为（5）21()ep()(;,0,12x xnxxxxNHnLh2（6）21()exp()();,0,12y ynyyyyNHnLh1.2 三维各向异性谐振子的能量及波函数在三维空间 中，三维谐振子的哈密顿量为oxz（7）2222(,) 11yzxyz xyzPH令 （8）22 22221, ,yx zx y zPHH由三维谐振子体系哈密顿量的本征值方程，可以求出的体系哈密顿量的本征值及相应的本征值函数为(9), 111()()()222xyznxxyyzzEnnhh（10）,,xyz xyz其中， 的具体表示与（5） 、 （6）式完全相同， 方向的波函数为()()xynn、 z(11)21()ep()(;,0,12z znzzzzNHnLh2 各向异性谐振子的能级简并一般情况下，各向异性谐振子的能级并不简并。

以下我们分别就二维、三维谐振子情况，对能级简并进行了讨论2．1 二维各向异性谐振子的能 级简并能级 所对应的量子状态只有一个，即 态，可以用（ ）表示这个能态由,xynE,()xyn,xyn（3）式可知，当 满足一定关系时，能级 有可能出现简并设存在另一组态（ ） ，,xy,xyE'',xyn其能量 与 相等，即',xyn,（12）' '()()0xxyynn令 ，下面对各种情况进行讨论xy2．1．1 为有理数的情形3当 为有理数时， 可以表示为 xy（13）xypq式中 为不可约正整数，将（13）式代入 （12）式得,pq（14）' '()()xyyxnnp由于（ ）的取值均可为 0，1，2 ， ，因此，要使（14）式成立有三种可能'',,yxnL情形：（1） ， 的情况x' yn'（15）,'kqxkpny'即 ， （16）n' '由于 ，可得 ，其中 表示 这个数的整数部分于是,0'ynkpy1,2.ypLynpy（ ）有 个可能的组态满足（12）式。

'',x（2） ， 的情况xn' y'(17),' kqnxkpny'即 ， （18）' '由于 ，可得 ， 表示 这个数的整数部分（下面,0'xnxkq1,2xnqLxxnq的类似表示也代表同样的意义） 于是（ ）还有 个可能的组态也满足（12）式'',yx（3） ， 的情况xn' y'这种情况下只有一组能态，即能级 所对应的量子状态只有一个，即 态xynE(,)xyn综合上述三种情况，当 为有理数时， （ ）的可能组态个数共有x'',yxn+ +1 （19 ）fypxq它们均满足（12）式和（14）式，它们的能量均为 ，所以此能级的简并度就是 ，由此可见，,xynEf二维各向异性谐振子的能级简并与参量 有关xy42．1．2 为无理数的情形当 为无理数时，要使（12）式成立，必然要求： 即 由此还可以得到,0'xn',xn这就说明，当 为无理数时，不可能存在另一组态（ ） ，使其能量也为 ，即'ynxy'',yyxE,能量是非简并的。

2（2 三维各向异性谐振子的能级简并三维各向异性谐振子能级 ，所对应的量子状态只有一个，即 态，可以用,xyznE,(,)xyzn（ ）表示这个能态根据（9）式，当 满足一定关系时，能级 有可能出现,xyzn ,xyz,xyznE简并，设存在另一组态（ ） ，其能量 与 相等，即''',xyz'',xyzn,xyznE（20）' ' '111111()()()()()()222222xxyyzz yzznnnhhh即 （21）' ' ' 0xxyyzz令 ， ，下面对各种情形下的能级简并进行讨论xyyz2．2．1 的情况0z当 时， （21）式简化为：z（22）' '()()0xxyynn对于这种情形，体系能级简并度与二维谐振子能级简并讨论完全相同，在这里面就不再累述但是，需要注意 时，三维谐振子体系并非转化为二维谐振子，此时只是三维谐振子体系哈密顿0z量转化为（23）222(,) 1yxzxyz xyPH与二维各向异性谐振子哈密顿量（1）式比较，相差一项 ，即此时三维谐振子体系在 轴方向2zPz只有动能部分，不存在势能作用。

2．2．2 的情形0z5当 时， ， （21）式变为：0zxy（24）'' '()()()0xyxyzznnn（1） 当（ ）-（ ）=0 时， 得''yx .,,''' zyxn这种情况下只有一组能态，即能级 所对应的量子状态只有一个，即 态znyxE, ),(zyxn（2） 当（ ）-（ ） 0 时， （24）化简为 ''yxnyx（25）'''()()yzxyxyzn下面就 的各种取值情形下的能级简并进行讨论（一） 为有理数的情形当 为有理数时， 可以表示为yz（26）mn式中 为不可约正整数，将（26）式代入（25）式得：,mn（27）'''()()yzxyxyznnn由于（ ）的取值均可为 0，1，2 ， ，因此，要使（27）式成立有两种''',,xyz L可能的情形如下：（1（ 的情形'zn在此情况下， （27）式为（28）'' '()()zxynlmn由于 ，可得到'zn（29）'znl（30）' '()()xyn由（29）式可以得到6（31）'znlm由于 ，由（31）式得：'0zn（32）zl又由于 ，所以对于（30）式的讨论又有以下三种情况：l（ ） ， 情况axn' 'y令： ，则由（30）式可得'()（33）'ynln由于 ，可得： ，即'0yn0l（34）nl所以由（32）与（34）式联立得： ，于是（ ）有 个可zlnm'',xyzn1znfm能的组态满足（28）式。

） ， 情况b'xn'yn令： ，则由（30）式可得'()x（35）'ynln由于 本身大于零所以 可取任意正整数，由（32 ）式可知（ ）有'ynln '',xyzn个可能的组态满足（28）式zm（ ） ， 情况cxn' 'y令： ，则由（30）式可得'()（36）'ynln由于 ，可得：'0yn7，即 （37）0lnnl又由 ，得：'0yn，即 （38）' 0yynlnynl所以 的取值为从 到 的正整数，于是（ ）同时还有lymi,z'',xyzn个可能的组态满足（28）式min, 1yznf 综合上面三种情况，当 为有理数且 时， （ ）的可能组态数共yz'zn'',xyzn个2in, 2yz znf m（2）当 的情形z'当 ，由 zn'（39）'' '()()zxynlmn从上式可以得到（40）'znl（41）' '()()0xyln由（40）式可知， 可取任意正整数，但此时对（41）式也同样有以下三种情况讨论。

l（ ） ， 情况axn' y'令： ，由（41）式得到)('（42）'ynln由 ， 得到'0yn8（43）nl又由 ，得到' 0ynln（44）nly所以，由（43） ， （44）得 的取值为从 到 的正整数，于是（ ）有ly'',xyzn个可能的组态满足（39）式1ynf（ ） ， 情况bx' yn'令： ，由（41）式得到'()（45）'ynln因此 ， 得到' 0ynln（46）ynl所以 取值为 ，于是（ ）也有 个可能的组态满足（39）l1,2yln'',xyzynf式 ） ， 情况cxn' 'y令： ，由（41）式得到n)('（47）' 0ynl因此得到（48）ln由（47）式可知， 可得' 0ynl9（49）ynl所以， 取值为 的正整数，于是（ ）在这种情况下有 个可能的组l1,2ln'',xyznnf态满足（39）式。

综合上面三种情况，当 为有理数且 时， （ ）的可能组态个数有： yzzn' '',xyzn1yynnf（二） 为无理数的情形当 为无理数时，要使（24）式成立，必然要求： ， yxyxnn'' z'即： =0 （50）yxn'')(所以，在这种情况下三维各向异性谐振子的能级简并情况讨论，同二维各向异性谐振子的能级简并相同即 为无理数时，当 为有理数时，可能的简并度为 + +1；xyfynpxq当 为无理数时，此时能级是非简并的 xy3 各向异性谐振子的能级简并运动学特征3.1 二维各向异性谐振子运动学特征由经典动力学考虑，求解其经典动力学方程可得， ， （51）2xdktcos()xxAt， ， （52）2ydt ()yyt式中 ， ，由以上两式消去 可得二维各向异性谐振子的运动轨迹，显然它是xkykt两个互相垂直且频。