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结构力学Structural mechanics,第5章 用力法计算超静定结构,水利工程仿真与安全国家重点实验室,5.1 超静定结构及其计算方法概述,超静定结构在任意荷载下，未知力仅由静力平衡 方程不能完全确定未知力数 独立静力平衡方程数 基本特性静力平衡方程解不唯一，有无限多组； 为确定内力，除平衡外，还须考虑几何及物理方面其他特性与静定结构相反 基本计算方法力法（本章）、位移法（第6章） 力法基本未知量为力，位移法基本未知量为位移，基本未知量是“突破口”，其余未知量可视为基本未知量的函数求得基本未知量，其余问题迎刃而解,未知力数独立静力平衡方程数 存在多余力 有多余约束（几何组成特征） 存在多余力 图5.1a，1个多余约束；3个平衡方程，4个未知力 多余力数=1,5.2 超静定次数的确定,,,多余力数称为超静定次数 图5.1a为1次超静定静定结构为0次超静定 超静定次数=多余力数=多余约束数 =转化为静定所需撤除的约束数 撤除（或截断）1根链杆=撤除1个约束 撤除1个单铰=撤除2个约束 撤除1个单刚结点=撤除3个约束 将1个单刚结点换成铰结点=撤除1个约束,5.2 超静定次数的确定,图5.2a、b、c，超静定 撤除多余约束 图5.3a、b、c，静定，X1、X2等为多余力（矩） 图5.2为2、3、10次超静定,5.2 超静定次数的确定,,,图5.2c 图5.4，有3个闭合无铰“框” 图5.3，1个闭合无铰“框”为3次超静定 图5.4为9次超静定 图5.2c为10次超 静定 图5.5a，36次；图5.5b，3次,5.2 超静定次数的确定,,,图5.6a，撤多余约束并保留多余力X1、X2及荷载 基本体系（图5.6b） 如果荷载相同并且X1=FRBx，X2=FRBy， 则两个刚架的受力状态完全相同 可通过计算基本体系的内力求得原结构的内力,5.3 力法的基本概念和解题步骤,,关键是求X1和X2力法的基本未知量 原结构和基本体系的变形及位移也完全相同 在荷载和多余力共同作用下，基本体系相应于X1和X2的位移都应=0（变形协调条件）。

由叠加原理,5.3 力法的基本概念和解题步骤,其中：11和12是单位荷载引起的与X1相应的位移 21和22是单位荷载引起的与X2相应的位移 1P和2P是实际荷载引起的与X1和X2相应的位移 （5.1）称为力法基本方程 ij和iP（i，j=1，2）称为系数和自由项 系数就是4.6中的位移影响系数（柔度系数） 系数和自由项下标的意义同4.6位移互等定理 用单位荷载法计算系数和自由项 解力法方程， 求得基本未知量 用叠加原理求内力：,5.3 力法的基本概念和解题步骤,,,在荷载作用下，n次超静定结构力法计算步骤： （1）建立基本体系撤除n个多余约束， 保留多余力X1、X2、、Xn 注意，基本结构必须几何不变 （2）写基本方程： 由位移互等定理 （5.3）又称力法典型方程,5.3 力法的基本概念和解题步骤,（3）计算系数和自由项 对梁和刚架，先做基本结构的单位弯矩图和MP图 对桁架，先计算基本结构的单位轴力和FNP,5.3 力法的基本概念和解题步骤,（4）解基本方程，求基本未知量X1、X2、、Xn （5）求内力 对梁和刚架： 对桁架： 用力法计算超静定结构在支座位移和温变作用下的内力，原理和步骤与上述大体相同，但各有特点，5.5,5.3 力法的基本概念和解题步骤,超静定梁和刚架 例5-1 图5.7a，作M图和FQ图。

EI=常数 解（1）建基本体系，“串联”简支梁 （2）写基本方程 意义：在荷载和多余力共同作用下，基本结构在支座A转角为零，在支座B、C左右截面相对转角为零5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,（3）计算系数和自由项先作单位弯矩图和MP图5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,（4）解基本方程，得 X1=-ql2/16，X2=-ql2/8，X3=-ql2/16 （5）作M图基本未知量为支座截面弯矩，M图可用分段叠加法直接作出 如基本体系为其他形式，要先按（5.6a）求杆端弯矩由M图作FQ图5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,讨论：基本体系不是唯一的，只要几何不变，都可作为基本结构但是，基本体系不同，计算有繁简之分串联简支梁”的优点：1）系数和自由项计算简便且有规律；2）解基本方程可直接得出各杆端弯矩 比较：图5.8a、5.8b 对连续梁采用“串联简支梁”作基本体系，基本方程为“三弯矩方程”,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,例5-2 图5.9a，作M图 解（1）建基本体系，图5.9b借鉴上例 （2）写基本方程,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,（3）计算系数和自由项。

先作单位M图和MP图 （4）解基本方程，得 （5）作M图,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,讨论：本例及上例内力计算结果均不含EI，但本例结果包含柱梁抗弯刚度之比k 荷载作用下，超静定结构的内力与各杆刚度比值有关，而与刚度的实际大小无关重要特性！） 例5-1各杆刚度比为1，改变刚度比，内力也随之改变 本例中柱弯矩和梁左端弯矩的绝对值随k增大而增大，梁下部弯矩随k增大而减小当k ，柱下端和上端（梁左端）弯矩的绝对值分别 ql2/16和ql2/8，梁 左端固定右端简支；当k 0，柱端和梁端弯矩 0，柱对梁端弯曲变形几乎无约束，梁简支梁 在其他外因（温变、支座位移等）作用下，超静定结构的内力不仅与各杆刚度的比值有关，而且与刚度的实际大小有关5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,,,,,,超静定桁架 基本结构的两种方案： 1）截断多余杆件，基本方程与（5.3）相同 2）撤除多余杆件，基本方程与（5.3）有别 “截断”二力杆，仅撤除与轴力相应的约束，“截断”后两部分可沿轴线相 对移动，但不能相对错 动或转动，图5.10b 图5.10a=图5.10b5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,,(3)计算系数和自由项。

表5.1（表中刚度为相对值） 注意：求和时要将被截断的杆件也计算在内 由表5.1的最后一行，得 （4）解基本方程，得 X1=X2=-7FPa/9 （5）计算轴力：（图5.11c）,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,超静定组合结构 例5-4 图5.12a，求二力杆的轴力并作梁式杆的弯矩图 解：（1）建基本体系，图5.12b （2）写基本方程,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,（3）作梁式杆单位弯矩图，并计算二力杆的相应轴力，图5.12c； 作荷载下梁式杆的弯矩图，二力杆相应轴力为零，图5.12d 系数和自由项,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,（4）解基本方程，得 （5）求内力 梁式杆（图5.12e）： 二力杆,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,例5-5 排架如图5.13a所示，作弯矩图 工业厂房中常用屋面结构简化为链杆，不考虑屋面竖向荷载时，该杆为二力杆 解（1）截断杆CD，建基本体系，图5.13b （2）写基本方程：11X1+1P=0,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,（3）作单位多余力和荷载下的弯矩图，图5.13c、d。

FNCD分别为1和0 CD杆EA=， 计算系数和自由项不必考虑CD杆5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,（4）解基本方程，得 （5）作弯矩图（5.13e）,5.4 超静定结构在荷载作用下的内力计算,原理和步骤与荷载问题相同，但自由项的含义及其计算不同 在支座位移情况下，基本方程的形式也与荷载问题有所不同 内力完全由多余力引起 温度变化问题 基本方程为 其中ij (i，j=1，2，，n)的意义和计算方法同前； it (i=1,2,,n)的下标“t”表明位移的原因是温变5.5 温变和支座位移下的内力计算,温变在基本结构中不引起内力， 结构的内力（以弯矩为例）为：,5.5 温变和支座位移下的内力计算,例5-6 刚架温变如图5.14a杆截面为矩形，b=20cm，h=50cm，E=3107kN/m2，=10-5，作弯矩图 解： （1）建基本体系，图5.14b （2）写基本方程：11X1+1t=0,5.5 温变和支座位移下的内力计算,（3）作单位弯矩图和单位轴力图，图5.14c、d 注意：计算系数可忽略轴变的影响， 计算自由项一般必须考虑轴变的影响5.5 温变和支座位移下的内力计算,（4）解基本方程，得 （5） ，图5.14e。

讨论：基本方程中系数与杆件刚 度成反比 ，而自由项与刚度无关 多余力与刚度成正比 温变在超静定结构中引起的内力，不仅与各杆刚度的比值有关，而且与刚度的实际大小成正比 与荷载作用下的情况不同！,5.5 温变和支座位移下的内力计算,支座位移问题 基本方程为 第i个方程：在支座位移和多余力共同作用下，基本体系与Xi相应的位移与原结构相同i是原结构相应于Xi的位移 ij（i，j，，n）的意义和计算同前 ic是基本体系的支座位移引起的与Xi相应的位移： 其中 是 引起的与基本体系的第j个支座位移cj相应的反力5.5 温变和支座位移下的内力计算,ic和i对应同一个Xi，但ic是基本结构的位移 而i是原结构的位移 基本体系的支座位移原结构的支座位移，是撤除多余约束后保留在基本体系中的支座位移 如果原结构的支座位移数超静定次数，并且建立基本体系时已将发生支座位移的所有约束全部撤掉，结果基本体系将不含有任何支座位移所有的ic=0 在荷载或温变情况下，基本方程的右边也可写成i，不过在这两种情况下，所有的i（i=1，2，，n）=0 支座位移在基本结构中不引起内力，因此，在解出基本未知量以后，内力计算公式与式（5.10）相同：,5.5 温变和支座位移下的内力计算,例5-7 图5.15a，作弯矩图。

解：3次超静定，但由于不涉及轴力且轴力不影响弯矩，可作为2次超静定求解 （1）建基本体系，图5.15b保留原结构右端与竖向位移相应的约束，撤除左端与转角相应的约束5.5 温变和支座位移下的内力计算,（2）原结构与X1和X2相应的位移为1=A，2=0， 基本方程为 （3）作单位弯矩图并画出相应反力，图5.14c、d5.5 温变和支座位移下的内力计算,（4）解基本方程，得 （5） ，图5.15e 讨论：系数与刚度成反比，而 自由项与刚度无关， 多余力与刚度成正比 支座位移在超静定结构中引 起的内力不仅与各杆件刚度比 有关，而且与刚度的实际大小成正比与温变情况相同，与荷载情况不同5.5 温变和支座位移下的内力计算,对称性：图5.16a，结构的轴线形状、支撑方式、截面几何特征(I、A)、材料性质(E、G)对称于同一轴线 例5-5（图5.13a）、例5-7（图5.15a）均为对称结构 例5-3（图5.11a）、例5-4（图5.12a），除左边水平支杆都对称，竖向荷载，水平反力为零，受力对称，可视为对称结构5.6 对称性的利用,利用对称性的方法（之一）采用对称基本结构 图5.16a图5.16b，基本未知量：X1、X2、X3 轴力X1、弯矩X2是对称多余力 剪力X3是反对称多余力 对称多余力的单位弯矩图也对称，图5.16c、d； 反对称多余力的单位弯矩图也反对称，图5.16e。

5.6 对称性的利用,易知：13= 31= 23= 32=0 三元联立方程组被“解耦”、降阶为： 荷载对称，MP图也对称，图5.17a 3P=0X3=0 ，对称！ 荷载反对称，MP图也反对称，图5.17b 1P= 2P=0X1=X2=0 ，反对称！,5.6 对称。