赋值法解答抽象函数地赋值.doc

实用标准文档赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略函数是高中数学的重要内容， 也是高考的热点 . 对于没有明确给出具体表达式的函数， 称之为抽象函数 . 解答抽象函数问题的方法较多， 其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法. 赋值主要从以下方面考虑：①令 x= 、﹣ 2、﹣ 1、 0、1、2 等特殊值求抽象函数的函数值；②令 x=x ， y=x或 y=，且 x 0、y>0 时，恒有 f(xy)=f(x)+f(y).1(1) 求证：当 x>0 时， f( x)= ﹣f(x) ；(2) 若 x>1 时恒有 f(x)<0 ，求证： f(x)必有反函数；解析：(1) 在 f(xy)=f(x)+f(y)111中，令 x=y=1，得 f(1)=0 ，又令 y= ，得 f(x)+f()=f(x · )=xxxf(1)=0 ，文案大全实用标准文档1∴当 x>0 时， f( x)= ﹣ f(x) ；x2x21(2) 设 x1>0、x2>0 且 x11，∴f(x1)<0 ，又在 f(xy)=f(x)+f(y)中，令 x= x2，y=x1，111x2∴ f(x 2 · x1)=f(x2)+f( x1). 由 (1) 得 ， f(x1)= ﹣ f(x1) ，∴ f( x1)=f(x 2) ﹣ f(x 1) <0 ， ∴f(x 2)0 时， f(x)>0.试判断 f(x)的奇偶性和单调性 .解：在 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 x=y=0，得 f(0)+f(0)=0 ，∴ f(0)=0，又令 y=﹣x， f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0，即 f(-x)=-f(x)，∴ f(x)是奇函数，再设 x1、x2 ∈R，且 x1 0，∴ f(x2-x )>0 ，从而 f(x2)>f(x) ，∴ f(x)在(- ∞.+ ∞) 上是增函数 .21111例 5设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线x=1 对称，对任意 x,y ∈[0, 2],都11有 f(x+y)=f(x)·f(y)，且 f(1)=a>0 ，(1)求 f(2) 、f( 4) ；(2)证明： f(x) 是周期函数； (3)1 lim记 an= f(2n+ 2n) ，求 n→∞ (lna n).xx xxx2 x解析：：(1)在 f(x+y)=f(x) ·f(y)中，将 x、y 均换为 2， f( 2+2)=f(2) ·f(2)=f( 2) ≥0，2x11 11121即 f(x)=f( 2) ≥ 0，x∈[0,1] ，又 x、y 均换为 2，∴ f(2+2)=f(2) ·f( 2)=f(2)，1111122 ，同理 f(由已知 f ()=f(1)=a ，所以， f()=a)=a 4 .224(2) 由于函数 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称，∴ f(1－ x)=f(x+1)，∵ f(x) 是定义在 R上的偶函数，∴ f(x－1)=f(x+1)，将 x 换为 x+1 得， f(x)=f(x+2)，∴ f(x) 是以 2 为周期的周期函数；(3) 略.抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一本文就抽象函数常见题型及解法评析如文案大全实用标准文档下：一、定义域问题例 1. 已知函数 f ( x2 ) 的定义域是［ 1， 2］，求 f （ x）的定义域解： f ( x2 ) 的定义域是［ 1， 2］，是指 1 x 2 ，所以 f ( x2 ) 中的 x2 满足 1 x 2 4从而函数 f （ x）的定义域是［ 1， 4］评析： 一般地，已知函数 f ( ( x)) 的定义域是 A，求 f （ x）的定义域问题，相当于已知 f ( (x)) 中 x的取值范围为 A，据此求 ( x) 的值域问题例 2.已知函数 f (x) 的定义域是 [1，2] ，求函数f [log 1(3x)] 的定义域2解 ： f (x) 的 定 义 域 是 [1，2] ， 意 思 是 凡 被 f作用的对象都在[1，2]中，由此可得1 log 1(3 x) 2 ( 1) 23 x(1) 11x112224所以函数f[log(3x)] 的定义域是11，1[1]24评析： 这类问题的一般形式是：已知函数f （ x）的定义域是 A，求函数 f (( x)) 的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键这类问题实质上相当于已知( x) 的值域 B，且 BA ，据此求 x 的取值范围例 2 和例 1 形式上正相反二、求值问题例 3.已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f （ x ）， 同 时 满 足 下 列 条 件 ： ① f (2)1， f (6)1； ②5f (x y)f ( x) f ( y) ，求 f （ 3）， f （ 9）的值解： 取 x 2， y 3，得 f ( 6) f (2) f (3)因为 f ( 2)141， f (6)，所以 f (3)55文案大全实用标准文档又取 xy 3得 f (9)f (3)8f (3)5评 析 ： 通 过 观 察 已 知 与 未 知 的 联 系 ， 巧 妙 地 赋 值 ， 取 x2， y 3 ， 这 样 便 把 已 知 条 件1与欲求的 f （ 3）沟通了起来赋值法是解此类问题的常用技巧f (2) 1， f (6)5三、值域问题例 4.设函数 f（ x）定义于实数集上， 对于任意实数x、y，f (x y)f ( x) f ( y) 总成立，且存在 x1x2 ，使得 f ( x1 )f ( x2 ) ，求函数 f (x) 的值域。

解： 令 xy0 ，得 f (0)[ f (0)] 2 ，即有 f (0)0 或 f (0)1 若 f (0)0 ，则 f (x)。