近世代数期末试卷7.doc

近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆(一) 填空题1. 剩余类加群Z12有 4 个生成元.2. 设群G的元a的阶是n，则ak的阶是 .3. 6阶循环群有 2___个子群.4. 设群G中元素a的阶为m，如果a^e，那么m与n存在整除关 系为一ml n 5. 模8的剩余类环Zs的子环有 4 个.6. 整数环Z的理想有 _无穷多个 个.7. n次对称群Sn的阶是 n! 9-置换勺2 3 4 5 6 7 8 °〕分解为互不相交的循环之积是一Q43961827 丿9. 剩余类环Z6的子环S={ : 0] , : 2] , :4] }，则S的单位元是■10. Z24中的所有可逆元是：1、5、7、11、13、17、19、23 .11. 凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个 —变换群 同构12. 设G=(a)为循环群，那么(1 )若a的阶为无限，贝U G同构于 整数加群 , (2)若a的阶为n,则G同构于 _单位根群 13. 在整数环Z中，⑺+〈3） = ；14. n次对称群Sn的阶是 ・15. 设 2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件为 16. 除环的理想共有 2 个。

17. 剩余类环Z5的零因子个数等于 0 .18. 在整数环Z中，由｛ 2, 3｝生成的理想是 .19. 剩余类环Zy的可逆元有 6—个.20. 设Zu是整数模11的剩余类环，则Zu的特征是 11 21. 整环1=｛所有复数a+bi（a,b是整数）｝，贝U I的单位是■22. 剩余类环Zn是域二n是 素数 .23. 设Zy =｛0, 1, 2, 3, 4, 5, 6｝是整数模7的剩余类环，在Zy [x]中，（5x-4）（3x+2）= .24. 设 G 为群，，若 |a=12，则 |a8 = 3 25. 设群G= ｛e, a1, a?,…，a”1｝,运算为乘法，e为G的单 位元，则 a1n =__e_.26. 设A=｛a,b,c｝，贝U A到A的——映射共有 6 个.27. 整数环Z的商域是 .整数加群Z有 2 个生成元.29、 若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R |是一个域当且仅当I是 30. 已知“ 2 3 4 5为S5上的元素，则-1 = G 1 2 5 4 丿31. 每一个有限群都与一个 置换群 群同构32、 设I是唯一分解环，则I [X]与唯一分解环的关系是 二、基本概念的理解与掌握。

二）选择题1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A X B中含有（ ）个元素B.5A. 2C.7D.102.设A = B= R（实数集），如果A到B的映射:X— x+ 2, - x € R,则「是从A到B的（A. 满射而非单射B单射而非满射C.6 D.8C.6 D.8C.——映射D.既非单射也非满射3. 设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个B.42C.6 D.84、 G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是（）A 5 ; B 6 ; C 7 ; D 9.5、 下面的集合与运算构成群的是 （）A {0 , 1}，运算为普通的乘法；B {0，1}，运算为普通的加法；C {-1 ，1}，运算为普通的乘法；D {-1 ，1}，运算为普通的加法；6、 关于整环的叙述，下列正确的是 （）A左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立C每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元7、 关于理想的叙述，下列不正确的是 （）A 在环的同态满射下，理想的象是理想 ；B在环的同态满射下，理想的逆象是理想 ；C除环只有两个理想，即零理想和单位理想D环的最大理想就是该环本身.8、 整数环Z中，可逆元的个数是（ ）。

A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个9、 设M2（R）=「a打a,b,c,d€ R, R为实数域；按矩阵的加法和疋d丿 」乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是 （ ）A.有单位元的交换环 B无单位元的交换环C.无单位元的非交换环 D.有单位元的非交换环10.设Z是整数集，(T (a)=丿当a为偶数时2a+j当a为奇数时i 2,Z，贝V彷是R的().A.满射变换B.单射变换C.一一变换D.不是R的变换11、设A={所有实数x}, A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集 的同态满射的是( ).A、X— 10x B、x— 2xC、x— |x| D 、x— -x .12、 设•是正整数集Z上的二元运算，其中aGb^maxCab (即取a与b中的最大者)，那么•在Z中()A、不适合交换律 B、不适合结合律C、存在单位元 D、每个元都有逆元.13. 设S3 ={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }，则中与元(1 2 3)不能交换的元的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、4.14、设G,t为群，其中G是实数集，而乘法［；:a；)b二a • b • k，这 里k为G中固定的常数。

那么群 G,C中的单位元e和元x的逆 兀分别是( )A、0 和- x ； B、1 和 0; C、k 和 x-2k ； D、-k 和-(x 2k)15、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类 HaH,bH,cHl如果h|=6,那么G的阶g =（）A、 6 B、 24 C、 10 D、 1216. 整数环Z中，可逆元的个数是（）.A、1个 B、2个 C、4个 D、无限个17、 设f：Ri > R2是环同态满射，f（a）=b，那么下列错误的结论 为（）A、 若a是零元，则b是零元B、 若a是单位元，则b是单位元C、 若a不是零因子，则b不是零因子D、 若R2是不交换的，则R1不交换18. 下列正确的命题是（ ）A、 欧氏环一定是唯一分解环B、 主理想环必是欧氏环C、 唯一分解环必是主理想环D、 唯一分解环必是欧氏环19. 下列法则，哪个是集A的代数运算（ ）.A. A=N, a b=a+b-2 B. A=Z,a b=-bC. A=Q, a b= ab D. A=R, a b=a+b+ab20. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下B. xf映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是（ ）.A. x f -x1x1C. x f D. x f 5xx21.在3次对称群S3中，阶为3的元有（ ）.A. 0个 B. 1个C. 2个 D. 3个22 .剩余类环Z6的子环有（ ）.A. 3个 B 4个C. 5个 D. 6个23、 设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a = bxc」,acx = xac ,那么x =（）A. bc」a‘ ； B. c'a，； C. a'be' ； D. b'ca。

24、 设f：G「G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）A. f的同态核是G的不变子群；B. G的不变子群的象是G2的不变子群C. G的子群的象是G2的子群；D. G2的不变子群的逆象是 G的不变子群；25、 设H是群G的子群，且G有左陪集分类「H,aH,bH,cH?如果H=6，那么G的阶G =（）A.6 ； B.24 ； C.10 ； D.12 三）判断题（每小题2分，共12分）1、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算2、 除环中的每一个元都有逆元非零元）3、 如果循环群G二a中生成元a的阶是无限的，则G与整数 加群同构T）4、 如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群5、 域是交换的除环T）6、 唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子7、 设f: G >g是群g到群g的同态满射，a€ G ,则a与f （a） 的阶相同8、 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群 （F ）9、 循环群的子群也是循环群T ）10、 整环I中的两个元素a, b满足a整除b且b整除a, 则 a= bo （）11、 一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子 （F ）12、 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f，。

（T ）13、 如果环R的阶-2，那么R的单位元 仃014、 指数为2的子群不是不变子群F ）15、 在整数环Z中，只有土 1才是单位，因此在整数环 Z中 两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号 （）16、 两个单位；和「的乘积；「也是一个单位17、 环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积， 所以零元 和单位都不能唯一分解19、 整环必是唯一分解环20、 在唯一分解环K中，p是K中的素元当且仅当p是K中的 不可约元21、 设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴 （）22、 整数环Z和环QLx 1都是主理想环23、 K是主理想环当且仅当K是唯一分解环24、 整数环Z、数域P上的一元多项式环P〔x 1和Gauss整环Z 1都是欧氏环25、 欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环反之亦然26、 欧氏环 主理想环 唯一分解环 有单位元的整环27、 设环::R, •的加法群是循环群，那么环R必是交换环.（T）28、 对于环R,若a是R的左零因子，则a必同时是R的右零因子• （ F）29、 剩余类Zm是无零因子环的充分必要条件是 m为素数.（T）30、整数环是无零因子环，但它不是除环。

（T）31、 S2=」 于■是M 2 (C )的子域.()2 0 J32、 在环同态下，零因子的象可能不是零因子 ()33、 理想必是子环，但子环未必是理想.()34、群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个 数相等.()35、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶T)二、基本方法与技能掌握四) 计算题1 .设 ■ 为整数加群，'：；—-］求［Z : H ］ = ?解二在Z中的陪集有：0 + ff={5z|zEZ} 1 十{1 十5纠占€7} 2 十{2 十5纠 £W2}) ) )3十77={3十5纠上€込},4十丹={4十5名|£€込},所以，［Z : H ］ = 5.2、找出S的所有子群解：S3显然有以下子群：本身；((D) ={ (1) }； ((12)) ={ (12), (1) };((13)) ={ (13), (1) }; ((23)) ={ (23), (1) };((123)) ={ (123), (132), (1) }若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有(12), (13)这两个2-循环置换，那么 H含有(12) (13) = (123), (123) (12) = (23),因而H=S3。

同理，若是S3的一个子群含 有两个循环置换(21), (23)或(。