A3237+常微分方程图解法及Matlab实现.doc

本科生毕业论文（设计）题目：常微分方程图解法及Matlab实现学院数学与统计学院学科门类理学专业数学与应用数学学号姓名指导教师2015年5月10日.................................................11摘要常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，在数学的应用中一直是一个活跃的分支，它常常被用来建立模型实际上，常微分方程的研究与应用已经深入到许多学科之中了根据一些资料记载我们可以知道常微分方程的发展历史：20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如海洋动力学、化学流体力学、动力气象学、电磁流体力学等等的产生和发展，也产生了很多新型的常微分方程因此，常微分方程的求解问题是科学研究与现代工程技术中经常遇到的问题我们学习过几种类型的常微分方程的解析求解方法，但是在更多情况下，无法求得解析解而在工程问题中，往往不需要求得解析解，只需求得数值解即可目前，常微分方程的求解方法也有很多，比如数值解法、图解法以及软件算法数值解法比较传统，本文主要从图解法与Matlab软件算法两方面进行论述，并结合具体实例进行分析关键词：常微分方程；图解法；MatlabAbstractOrdinarydifferentialequationisproducedbytheneedsofhumanproductionpractice,Mathematicshasbeenanactivebranchintheapplication,Itisoftenusedtoestablishmodels.Infact,theresearchandapplicationofordinarydifferentialequationshasbeendeepintomanydisciplines.Accordingtosomedata,wecanknowthedevelopmenthistoryofordinarydifferentialequations:Sincethe20thcentury,whenalargenumberofedgescience,suchasoceandynamics,chemicalfluidmechanics,dynamicmeteorology,theemergenceanddevelopmentofelectricMHD,andsoonalsogeneratesalotofnewtypeofdifferentialequation.Therefore,thesolutionofordinarydifferentialequationisascientificresearchandproblemsoftenencounteredinthemodernengineeringtechnology.Westudyseveraltypesofanalyticalsolutionmethodofordinarydifferentialequations,butinmorecases,unabletogetanalyticsolution.Intheengineeringproblem,oftendonotneedtoobtainanalyticalsolution,bynumericalsolutionobtained.Atpresent,thesolutionofthedifferentialequationmethod,therearealsomany,suchasnumericalsolutionmethod,graphicmethodandsoftwarealgorithms.Comparingthetraditionalnumericalmethods,thispapermainlyfromtwoaspectsofgraphicmethodwithMatlabsoftwarealgorithmisdiscussed,andcombinedwithconcreteexamplesareanalyzed.Keywords:ordinarydifferentialequation;graphicmethod;Matlab目录摘要 IAbstract II1引言 12常微分方程概述 22.1常微分方程的概念及特点 22.1.1常微分方程的概念 22.1.2常微分方程的特点 22.2常微分方程的应用 33图解法 43.1图解法介绍 44图解法的应用 54.1图解法应用举例 55 Matlab仿真 75.1Matlab仿真介绍 75.2Matlab仿真中的常用函数 76 Matlab仿真的应用 86.1Matlab仿真应用举例 87 结束语 10参考文献 111引言常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，对常微分方程的研究可分为几个阶段。

发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理，但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断，加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等当今时代，常微分方程应用非常广泛，工程、医学、物理、化学、生物、航空航天、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以用常微分方程建模，如牛顿的运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、遗传基因变异、生态种群竞争、疾病传染、人口发展规律、股票的涨伏趋势、市场均衡价格、利率的浮动的变化等数学建模一般是对社会、经济、生产、管理等领域中提出的原始问题进行解决的过程这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

 总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要因此本文对常微分方程的图解法与Matlab仿真算法实现进行了简要的分析,同时结合实例,展示了两种解法在解题过程中的应用2常微分方程概述2.1常微分方程的概念及特点2.1.1常微分方程的概念常微分方程定义含有未知函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程常微分方程阶数微分方程中出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，成为常微分方程额阶数微分方程的解使方程成为恒等式的函数通解一般地说，n阶微分方程的解含有n个任意常数也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解特解不含有任意常数的解微分方程的一般表示形式一阶微分方程G（x,y,）=0，=g（x,y）；n阶微分方程G(x,y,,...,)=0,=g(x,y,,...,) 2.1.2常微分方程的特点常微分方程的发展表明，能够求出通解的情况很少，在实际应用中所需要的大多是求满足某种指定条件的特解。

当然，通解有助于研究解的属性，但是大家已经把常微分方程求解的研究重点转移到特定解问题上来了   一个常微分方程是不是有特解，以及有几个特解，这是研究常微分方程的过程中的一个基本问题，数学家把它归纳成了基本定理，称之为存在和唯一性定理因为倘若根本就无解，而我们却仍然要去求解，是没有任何意义的；倘若有解但却不是唯一解，那么仍然不好确定因此，存在和唯一性定理对于常微分方程的求解是十分重要的   在研究常微分方程求解时，发现大部分常微分方程的解都不会很精确，而只能得到近似解不过，常微分方程的近似解精确程度还是比较高的还应该指出的是，微分方程在描述物理过程的时候，由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以验证和解决   常微分方程在几乎每个学科领域内都有着重要的应用，飞机和导弹飞行的稳定性的研究、自动控制系统的设计、化学反应过程稳定性研究、电子装置的设计、弹道的研究计算等这些问题都可以通过常微分方程建模，转化为求常微分方程的解，或者转化为研究解的性质的问题应该说，常微分方程理论在各大学科中的应用已经取得了很大的成就，但是，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论才会更加完善。

2.2常微分方程的应用常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，在数学的应用中一直是一个活跃的分支，它常常被用来建立模型在人类探求自然界中物质运动规律的过程中，完全靠实验来观测和认识清楚运动规律特别困难，因为人类不太可能观察到物质运动的整体过程然而，随着人类不断对自然界科学规律的探索，发现运动的物体与该物体的瞬时变化率之间，通常按照某种特定规律存在着联系，我们通过捕捉这种联系来更加深刻地认识大自然，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程只要求出这个方程的解，该物质的运动规律就一目了然了如图2-1所示，当今时代，常微分方程的研究与应用已经深入到许多学科之中了，比如在工程、医学、物理、化学、生物、航空航天、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以用常微分方程建模，如牛顿的运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、遗传基因变异、生态种群竞争、疾病传染、人口发展规律、股票的涨伏趋势、市场均衡价格、利率的浮动的变化等图2-1常微分方程部分应用领域图3图解法3.1图解法介绍向量场设g(x,y)为常微分方程的右端函数，在xy平面的一个区域A中的每一点(x,y)处，都画上一个以g(x,y)的值为斜率中心在(x,y)点的线段，就得到一个方向场，该方向场称为由常微分方程确定的向量场。

图解法就是不用求出常微分方程的具体表达式，根据右端函数和向量场做出积分曲线的大致图形向量场对于常微分方程求解与研究该方程的几何特性特别重要，常微分方程的求解时基于向量场的，可以根据向量场的走势近似求出积分曲线的大致图形，同时也可以根据向量场本身的性质来研究常微分方程解的性质图解法的思想非常重要，虽然该方法只能定性的反映积分曲线的部分主要特征，但是能够用初等方法求解的常微分方程特别少，用图解法来分析积分曲线的变化状态对了解该方程所反映的现实现象的变化规律具有特别重要的意义图解法的途径有很多种，比较常用的有Matlab、Maple等方法4图解法的应用4.1图解法应用举例例题1森林里有老虎和羚羊，当羚羊的数量增多时，老虎捕食羚羊导致老虎数量增长；大量羚羊被捕食使得老虎进入饥饿状态，导致其数量下降；老虎数量下降导致羚羊被捕食的机会减少，羚羊的数量回升微分方程模型如下=m-0.015mn,m(0)=100=-n+0.01mn,n(0)=20计算m(r),y(r)在r∈[0,20]时的数据，绘图并分析老虎与羚羊的数量变化规律解可以用计算各点斜率的方法在网格点上手工画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘制误差特别大，因此我们采用Matlab来完成。

本例题的Matlab实现的曲线如图4-1所示----羚羊数量----老虎数量图4-1老虎与羚羊数量变化图例题2在区域F={(y,x)||x|≤2,|y|≤2}内画出方程=-y的向量场和几条积分曲线。