高等复合材料力学-张量分析初步课件.ppt

高等复合材料力学高等复合材料力学 张量分析初步张量分析初步张量分析初步张量分析初步目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分Appendix A引 言u 广义相对论（1915）、理论物理u 连续介质力学（固体力学、流体力学）u 现代力学的大部分文献都采用张量表示主要参考书:W.Flugge,Tensor Analysis and Continuum Mechanics,Springer,1972.黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.张量基本概念标标 量量（零阶张量）（零阶张量）例如：质量，温度例如：质量，温度质量密度质量密度应变能密度应变能密度等等其值与坐标系选取无关其值与坐标系选取无关张量基本概念矢矢 量量（一阶张量）（一阶张量）例如：位移，速度，例如：位移，速度，加速度，力，加速度，力，法向矢量法向矢量,等等矢矢 量量（一阶张量）（一阶张量）矢量矢量u在笛卡尔坐标系中分解为在笛卡尔坐标系中分解为其中其中u1,u2,u3 是是u的三个分量，的三个分量，e1,e2,e3是单位基矢量。

是单位基矢量张量基本概念矢矢 量量（一阶张量）（一阶张量）n既有既有大小大小又有又有方向性方向性的物理量的物理量;n其分量与坐标系选取有关，满其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；足坐标转换关系；n 遵从相应的矢量运算规则遵从相应的矢量运算规则张量基本概念矢矢 量量(可推广至张量可推广至张量)的三种记法：的三种记法：实体记法实体记法：u 分解式记法分解式记法：分量记法分量记法：Appendix A.1张量基本概念Appendix A.1张量基本概念指标符号用法1.三维空间中任意点三维空间中任意点 P 的坐标（的坐标（x,y,z）可缩写成可缩写成 xi,其中其中x1=x,x2=y,x3=z2.两个矢量两个矢量 a 和和 b 的分量的的分量的点积点积(或称或称数量积数量积)为：为：爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和该重复的指标称为该重复的指标称为哑指标哑指标，简称，简称哑标哑标张量基本概念 由于由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。

例如换例如：只要指标只要指标 j 或或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围在同项内仅出现两次，且取值范围和和 i 相同张量基本概念约定：如果不标明取值范围，则拉丁指标如果不标明取值范围，则拉丁指标 i,j,k,表示三维指标，取值表示三维指标，取值1,2,3；希腊指标希腊指标,均为二维指标，取值均为二维指标，取值1,2张量基本概念 拉丁指标拉丁指标 希腊指标希腊指标张量基本概念二阶张量二阶张量应变应变，应力，速度梯度，变形梯度，等应力，速度梯度，变形梯度，等三阶张量三阶张量压电张量，等压电张量，等四阶张量四阶张量弹性张量，等弹性张量，等张量基本概念二阶（或高阶）张量的来源二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；低阶张量的梯度；低阶张量的梯度；低阶张量的并积；低阶张量的并积；更高阶张量的缩并，等更高阶张量的缩并，等张量基本概念应力张量应力张量张量基本概念张量的三种记法：张量的三种记法：实体记法实体记法：分解式记法分解式记法：分量记法分量记法：张量基本概念张量基本概念爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定采用指标符号后，线性变换表示为采用指标符号后，线性变换表示为利用爱因斯坦求和约定，写成：利用爱因斯坦求和约定，写成：其中其中 j 是哑指标，是哑指标，i 是自由指标。

是自由指标张量基本概念 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标例：若若i为自由指标为自由指标张量基本概念自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立关系式将始终成立例如：表达式例如：表达式 在自由指标在自由指标 i 取取1，2，3时该式始终成立，即有时该式始终成立，即有张量基本概念同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名标应防止重名自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字的同名自由指标全部改成同一个新名字i 换成换成k张量基本概念指标符号也适用于微分和导数表达式例如，三维空指标符号也适用于微分和导数表达式例如，三维空间中线元长度间中线元长度 ds 和其分量和其分量 dxi 之间的关系之间的关系可简写成：可简写成：场函数场函数 f(x1,x2,x3)的全微分：的全微分：张量基本概念24可用同项内出现两对可用同项内出现两对(或几对或几对)不同哑指标的方法来不同哑指标的方法来表示多重求和。

表示多重求和例如：例如：若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号如：一般应加求和号如：张量基本概念25一般说不能由等式一般说不能由等式两边消去两边消去ai导得导得但若但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立殊值使得上式成立张量基本概念26小结通过通过哑指标哑指标可把许多可把许多项项缩写成一项，通过缩写成一项，通过自自由指标由指标又把许多又把许多方程方程缩写成一个方程缩写成一个方程一般说，在一个用指标符号写出的方程中，一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有若有 k 个独立的自由指标，其取值范围是个独立的自由指标，其取值范围是1n，则这个方程代表了则这个方程代表了n k 个分量方程在方程的某项个分量方程在方程的某项中若同时出现中若同时出现 m 对取值范围为对取值范围为1n 的哑指标，则的哑指标，则此项含相互迭加的此项含相互迭加的 n m 个项张量基本概念27目 录Appendix A 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分28符号ij 与erstij 符号(Kronecker delta)定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)(i,j=1,2,n)特性特性1.对称性，由定义可知指标对称性，由定义可知指标 i 和和 j 是对称的，即是对称的，即293.换标符号，具有换标作用。

例如：换标符号，具有换标作用例如：2.ij 的分量集合对应于的分量集合对应于单位矩阵单位矩阵例如在三维空间例如在三维空间即：如果符号即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而的另一个指标，而 自动消失自动消失符号ij 与erst30 类似地有类似地有符号ij 与erst31 erst 符号(排列符号或置换符号，Eddington)定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)当当r,s,t为正序排列时为正序排列时当当r,s,t为逆序排列时为逆序排列时当当r,s,t中两个指标值相同时中两个指标值相同时(1,2,3)及其轮流换位得到的及其轮流换位得到的(2,3,1)和和(3,1,2)称为称为正序排列正序排列3,2,1)及其轮流换位得到的及其轮流换位得到的(2,1,3)和和(1,3,2)称为称为逆序排列逆序排列或或符号ij 与erst32 特性特性1.共有共有27个元素，其中三个元素为个元素，其中三个元素为1，三个元素为，三个元素为-1，其余的元素都是，其余的元素都是02.对其任何两个指标都是对其任何两个指标都是反对称反对称的，即的，即3.当三个指标轮流换位时当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次相当于指标连续对换两次)，erst的值不变的值不变4.4.符号ij 与erst33 常用实例常用实例1.三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。

三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基它具有如下重要性质：它具有如下重要性质：每个基矢量的模为每个基矢量的模为1，即，即ei ej1(当当ij时时)不同基矢量互相正交，即不同基矢量互相正交，即ei ej0(当当ij时时)上述两个性质可以用上述两个性质可以用ij 表示统一形式：表示统一形式：ei ej ij符号ij 与erst34 当三个基矢量当三个基矢量ei,ej,ek 构成右手系时，有构成右手系时，有 而对于左手系，有：而对于左手系，有：符号ij 与erst352.矢量的矢量的点积点积：3.矢量的矢量的叉积叉积(或称矢量积或称矢量积)：n 如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系符号ij 与erst36叉积的几何意义是叉积的几何意义是“面元面元矢量矢量”，其大小等于由矢，其大小等于由矢量量 a 和和 b 构成的平行四边构成的平行四边形面积，方向沿该面元的形面积，方向沿该面元的法线方向法线方向符号ij 与erst37符号ij 与erst38三个矢量三个矢量a,b,c的的混合积混合积是一个标量，其定义为：是一个标量，其定义为：符号ij 与erst若若交交换换混混合合积积中中相相邻邻两两个个矢矢量量的顺序，混合积的值反号。

的顺序，混合积的值反号当当a,b,c构构成成右右手手系系时时，混混合合积积表表示示这这三三个个矢矢量量所所构构成成的的平平行行六六面面体体体体积积若若构构成成左左手手系系，则为体积的负值则为体积的负值39由此可见符号由此可见符号ij 和和 erst 分别与矢量代数中的点积和叉分别与矢量代数中的点积和叉积有关利用利用(1)和和(2)式有式有符号ij 与erst404.三阶行列式的值三阶行列式的值符号ij 与erst41符号ij 与erst4.三阶行列式的值三阶行列式的值42符号ij 与erst4.三阶行列式的值三阶行列式的值435.e-恒等式，其一般形式为：恒等式，其一般形式为：即即退化形式为：退化形式为：符号ij 与erst441.平衡方程平衡方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？45xyz2.几何方程几何方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？463.本构方程（各向同性材料）本构方程（各向同性材料）：如何用张量改写弹性力学基本方程？提示：可以用到 kk 和 ij ij=2 ij G=E/2(1+)474.变形协调方程（平面应变）变形协调方程（平面应变）：如何用张量改写弹性力学基本方程？提示：二维指标为希腊字母,，取值1,2。

48目 录Appendix A 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分49坐标与坐标转换笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系(单位直角坐标系单位直角坐标系)50 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系(单位直角坐标系单位直角坐标系)坐标变化时，矢径的变化为坐标变化时，矢径的变化为 坐标与坐标转换51 任意坐标系任意坐标系坐标变化时，矢径的变化为坐标变化时，矢径的变化为 坐标与坐标转换52 概念概念 坐标线坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹。