如何打好函数概念这张牌.doc

如何打好函数概念这张牌 北京市第八十中学 索云旺 王贵军 张启华 魏静 （邮编：100102） 山西长治第二中学 张锐军 （邮编：046000） 摘要：函数概念课堂教学，确定从实际情境中“鉴别”出变量并“推断”两个变量之间的依赖关系为课堂教学起点目标；“判断”对应关系在刻画函数概念中的作用并引入符号为课堂教学使能目标；形成函数的一般概念，获得为课堂教学终点目标.构建以“知识”为载体，“引导学生自主发展数学概括能力”为主线的概念课堂教学基本模式，落实培养能力和提高素养的目标. 关键词：课堂教学目标；数学概括能力；教学模式；课堂教学实录1 问题的提出随着高中新课改的深入推进，函数作为整个高中数学课程的一条主线，并贯彻于高中数学教学的始终，老师们的认识越来越清晰和深刻.函数概念是中学数学的核心概念之一，如何打好函数概念这张牌，自然也引起了广大教师的高度重视和广泛关注．我们课题组（成员：廖爽、魏静、田丽、陈国栋、王海霞、李丁、宋群霞、郭豫、周开炎、王坤）在认真研读数学课程标准、教材以及学习有关函数概念历史演变的基础上，进行了广泛调研，发现老师们对函数概念的认识仍需提高，课堂教学仍有许多需要改进的地方.以下仅就函数概念课堂教学目标的确定与构建以“知识”为载体，“引导学生自主发展数学概括能力”为主线的课堂教学基本模式谈点浅见，教学过程部分给出课堂教学实录，供同仁参考. 2 课堂教学目标的确定众所周知，《普通高中数学课程标准（实验）》是国家管理和评价课程的基础，也是教材编写、教学、评估和考试命题的依据．因此，教学活动应该而且必须按《课标》展开．而《课标》并未明确给出具体的课堂教学目标，这就要求我们教师根据《课标》“前言”、“单元目标”、“说明与建议”、“参考案例”、教材、教学内容在教材所处的地位与作用，学情分析的基础上，确定课堂教学目标．《高中数学课程标准》对函数概念课堂教学提出的要求与建议为：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；构建函数的一般概念.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.[1] 那么，在课堂教学中，如何落实以上两个“体会”？又如何构建函数的一般概念呢？显然，前两个“体会”是构建函数一般概念的基础，如果真正“体会”到了，那么构建出函数一般概念自然是水到渠成的事了．2.1 如何进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型（Ⅰ）初中定义函数实例解读实例高中定义普通高中课程标准数学实验教材人教版A、B版、北师大版、苏教版、鄂教 版在引入高中函数概念时，均是通过如下4个步骤来实现：（1）回顾初中函数概念；（2）列举3~4个函数实例；（3）用集合与对应的观点对实例中的函数进行解读；（4）陈述高中函数概念．即教材的呈现方式为：我们课题组外出调研、听课中发现老师们的课堂教学内容也基本上通过选用本呈现方式实现《课标》要求的．课堂教学中师生活动为：师生共同回忆初中函数定义，教师提问每个实例中有几个变量？变量之间又怎样的关系？然后，学生回答一个又一个问题后，教师给出高中定义，并反复解释引入函数符号的意义，完成高中定义地学习．这样的教学过程，首先，表面上看学生积极主动地参与了函数概念的形成过程，但是学生只是各项指令的机械执行者，并不知道整个活动的目的，学习处于被动的接受状态，尤其是对引入符号感到困惑不解，因而很难形成深刻的思维活动.我们认为这样的教材呈现方式与教学方式很难达成《课标》要求.其次，这样的呈现方式（Ⅰ）还极易给人造成“高中定义”比“初中定义”更高级、更严格的误解，从而被多数教师认为“初中定义”是“高中定义”教学的恰当起点．众所周知，两个定义本质是一致的，如果说两个定义不同的话，那就是把“初中定义”中与对应的数通过引入“对应关系”符号，换成，就演变为“高中定义”，其它什么都不能说．这样，我们的教学内容是否可以这样呈现（框图（II）：实际问题用字母表示变量，是的函数（初中定义）引入，（高中定义）关系说（大学定义）两个变量间的对应关系两个变量间的依赖关系(II) 由框图（II）可以看出：“高中定义”教学的起点：或者是两个变量间的对应关系，或者是两个变量间的依赖关系（包括变量概念），甚至是对现实世界中运动事物或变化现象中变量的分析.对此，我们课题组设计了2012年秋季9月1号开学的新高一和新高三调研题（附后）各100份，进行了教学前的测试和统计，发现面对实际情境能“鉴别”出其中的变量并用字母表示，高一占10%，高三占20%；能自觉分析哪些变量之间存在依赖关系，并用一个变量表示另一个变量者，高一占4%，高三占11%．可见，给出实际问题，让学生自觉运用数学的眼光，观察并发现运动事物或变化现象中哪是变量（呈现方式（II）），在此基础上形成“一个量依赖于另一个量的变化而变化．”这样的表述，根据我们的调查是困难的. 史宁中教授指出这是抽象的第一层次，即“直观描述”，直观能力的存在是先天的，但一个好的直观能力是养成的，养成却是依赖于经验的，如果把能力应用于对事物的抽象，就构成了抽象能力，因此抽象能力的养成也是依赖经验的.[2]史教授反复强调：“应教会学生养成从头想问题的习惯，以后就能发现问题了．问题要有一个转换过程，学会先把现实中的问题通过语言抽象，抽象成一个科学的东西，这个过程对小孩子是非常重要的.”[3] 弗赖登塔尔也认为：数学化应从“原始的现实开始”，而非接近数学的现实. [4] 在这个过程中，真实与数学之间的翻译转换是主要的数学活动.（参考Freudenthal,1983,vomHofe,1998）我国数学教育学家刘亦珩20世纪30年代就指出：教师在数学教学过程中一定要做到：“不是学生暗记定义，不应该使学生机械的应答所发生的问题；必须使学生注意一量与他量的关系，或一量为其他数个量所决定的实例；且随时使学生考察其间的关系，及其相互作用．”[5]王尚志教授建议教师从三个角度帮助学生不断地加深对函数概念的认识.其中第一个角度是变量与变量的依赖关系.他指出：“思考问题时，什么是不变的，什么是变的，发生变化的量之间有没有关系，如何来描述这些变量以变量之间的依赖关系，这些思考，不仅在高中数学学习中、大学数学学习中以及在数学的应用中，都是非常重要的.对变量之间的依赖关系的认识，有人把它当做认识函数的低级阶段，这种看法是值得商榷的.”[6] 著名数学家克莱恩说过：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考．”基于以上分析，我们课题组认为：“高中定义”与“初中定义”有着共同的教学起点：“鉴别”出现实世界中运动事物或变化现象中的变量（对变量概念的再认识）以及推断两个变量之间的依赖关系，这样更本源，更原始问题的讨论．事实上，呈现方式（II）是将呈现方式（I）中对数学模型的认识，变为建立数学模型，因此对学生的认知能力、思维能力更高，也更能激发学生学习兴趣和积极性.这样，学生地学习，不仅从机械的接受学习变为有意义的建构性学习，而且在经历“再创造与再发现的过程”中，学生的灵性得以释放、数学体验得以生成、创新意识得到发展.[7]其实，呈现方式（II）是符合认知科学和认知心理学原理的.在布鲁姆教育目标分类学修订版中，将知识分为事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识，认知过程水平从低到高分为记忆、理解、应用、分析、评价、创造六个层次.关于新授课的教学通则是：知识类别与认知过程存在着对应关系，即事实性知识常被记忆（回忆）、概念性知识常被理解、程序性知识常被应用.布鲁姆指出：“我们教学时，想要学生学有所得，我们想要学生学习习得的东西作为我们的教学结果，就是我们的教学目标．”变量概念与函数概念（初中定义）属数学事实与概念性知识，所以在初中学生的学习结果（教学目标）：变量概念与函数概念被记忆与理解是恰当的，这也是初中义务教育课程标准（2011版）的教学要求.但学生经过初三中考复习，认知能力得到提高，所以我们采用了布鲁姆的学习问题通则是“用复杂的认知过程去帮助实现较简单的目标.”[8]即用“鉴别”（同“区别”，是认知过程“分析”的第一亚类）、“推断”（理解的第五亚类）和“应用”的认知过程来实现对变量概念（“鉴别”出现实世界中运动事物或现象中的变量）以及函数概念（“推断”出两个变量之间的依赖关系并“应用”方程式表达这种关系）的回忆、理解.也就是说相同的教学内容，不同的认知要求所采用的教学策略、教学测评等是不一样的.换句话说，在初中函数概念新授课中需要学生达到理解水平，那么在教学策略使用中多考虑精加工策略、组织策略等，以促进学生通过主动建构概括和理解概念；在高中定义学习阶段，需要学生达到应用水平，那么在教学策略使用中更多利用独立练习、过渡练习、变式练习等，以促进学生在新情境中迁移水平的提高．美国“QUASAR”计划的研究者在观察中发现：“高认知水平数学教学任务为学生提供了运用高水平的思维和推理的机会，日复一日，学生对数学本质的认识得到潜在的发展，创新精神和创造能力得到提高.”[9]需要特别说明的是，在上述讨论中，我们对《课标》中描述过程目标的行为动词“体会”一词进行了“认知化”处理，将其转化为《课标》中描述结果目标的行为动词“理解”．根据我校学生的学习水平以及函数概念在本单元、模块1，乃至在高中数学中的典范作用，又对布鲁姆教育目标分类学修订版中认知过程程度“理解”的七个亚类——解释、举例、分类、总结、推断、比较、说明，选取了第五个亚类“推断”（这一过程实际上是将“理解”这一内隐的心理活动动词，转换成了相应的外显性行为动词“推断”）并进行了扩展，组成了“鉴别”、“推断”和“应用”的复杂认知过程来实现《课标》目标：进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型．2.2 如何体会对应关系在刻画函数概念中的作用“体会”某事物的作用，实际上是对某事物进行“评价”，（“评价”是布鲁姆教育目标分类学修订版中认知过程类别中的第五个认知水平），而“评价”有两个亚类——检查、评论（判断），在这里是“判断”，即能正确“判断”（评论）对应关系在刻画函数概念中的作用.根据学生的学习水平，我们仍用“用复杂的认知过程去帮助实现较简单的目标.”即用“分析”、“判断”与“创造”这样的认知过程类别实现《课标》目标：体会对应关系在刻画函数概念中的作用.具体说就是通过“分析”将两个变量之间的“依赖关系”换一种等价说法：即两个变量之间的“对应关系”.在唤醒学生对“初中的定义”回忆的同时，借用“初中定义”判断所给几个实例（其中包括可求出解析式，图象、表格）中的“对应关系”是否是“函数关系”的机会，让学生“判断”（评论）两数集中两个变量之间的“对应关系”是“初中定义”中的变量是变量函数的关键要素，与是否在“对应关系”下用变量表示出变量无关.但在有些“对应关系”下的两个变量确实可以用变量表示出变量.（一定要通过实际问题让学生亲自动手练习用表示出）那么，在用图象、表格表示的“对应关系”下的两个变量是否也能做到“用变量表示出变量”的问题油然而生.教师因势利导地提出：两个数集中两个变量之间在三种类型（解析式、图象、表格）的“对应关系”下，又怎样一般地用变量表示出变量呢？通过运用复杂的认知过程与上述元认知提问，学生自然产生一种用符号表示“对应关系”的心理需求，创造性地引入符号表示“对应关系”不仅成为可能而且水到渠成.综上所述，为较好地实现《课标》目标，根据知识的内在规律，顺应学生的认知规律，我们确定函数概念课堂教学目标如下：从实际情境中“鉴别”出变量及“推断”两个变量。