华师大版九年级数学上册全册教案.pdf
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第 2 2 章一元二次方程2 2 . 1 一元二次方程: ' 敦 与 目 标【 知识与技能】i .知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式axz+bx+c=O (aW O).2 . 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型( 一元二次方程) 的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【 过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【 情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【 教学重点】判定一个数是否是方程的根.【 教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.: ' 教学国而呈 一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为9 0 0 平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多1 0 米，那么绿地的长和宽各为多少？【 分析】 设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程x ( x + 1 0 ) =9 0 0 , 整理可得 X2 + 1 0X- 9 0 0 =0 . ( 1 )问题2 学校图书馆去年年底有图书5 万册，预计到明年年底增加到7 . 2万册. 求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x , 我们知道，去年年底的图书数是5 万册，则今年年底的图书数是5 ( 1 + x ) 万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的( 1 + x ) 倍，即 5 ( 1 + x ) • ( 1 + x ) =5 ( 1 + x ) 2 万册. 可列得方程5 ( 1 + x )2 =7 . 2 , 整理可得 5 x 2 + 1 0 x - 2 . 2 =0 ( 2 )【 教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1 和问题2分别归结为解方程( 1 ) 和 ( 2 ) . 显然，这两个方程都不是一元二次方程. 那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：( 1 ) 都是整式方程( 2 ) 只含有一个未知数( 3 ) 未知数的最高次数是2【 归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 , 这样的方程叫做一元二次方程. 通常可写成如下的一般形式: a x2+ b x + c =O ( a、b、c是已知数，aWO). 其中a x '叫做二次项，a叫做二次项系数，b x叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：1 ) 1 - x2 = 0 ( 2 ) 2 (x1 - 1 ) =3 ,③ 2 ¥ - 3 x - 1 = 0 ( 3 ) — r — — = 0X X⑤ (X+ 3 )2 = (X- 3 )2 @9X2 = 5 -4 . v解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【 教学说明】( 1 ) 一元二次方程为整式方程；( 2 )类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2将方程( 8 - 2 x ) ( 5 - 2 x ) =1 8化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数. 一次项系数及常数项.j W ： 2 x2- 1 3 x + l l =0 ； 2 , - 1 3 , 1 1 .【 教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1 .将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.( 1 ) 5X2- 1 =4X( 2 ) 4 x =8 1( 3 ) 4 x ( x + 2 ) =2 5( 4 ) ( 3 x - 2 ) ( x + 1 ) =8 x - 3解 :( 1 ) 5 x - 4 x - l =0 ； 5 , - 4 , - 1 ；( 2 ) 4 x2- 8 1 =0 ； 4 , 0 , - 8 1 ( 3 ) 4 x + 8 x - 2 5 =0 ； 4 , 8 , - 2 5( 4 ) 3 x - 7 x + l =0 ； 3 , - 7 , 1 .2 . 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式 .( 1 ) 4 个完全相同的正方形的面积之和是2 5 , 求正方形的边长x ；( 2 ) 一个长方形的长比宽多2 , 面积是1 0 0 , 求长方形的长x ；( 3 ) 把长为1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x .解 :( 1 ) 4X2=2 5 ； 4X2 - 2 5 =0 ；( 2 ) x ( x - 2 ) =1 0 0 ； x - 2 x - 1 0 0 =0 ；( 3 ) x = ( 1 - x ) 2 ； x 2 - 3 x + l =0 .3 . 若 x =2 是方程axJ+ 4 x - 5 =0 的一个根，求 a 的值.解： V x =2 是方程ax 2 + 4 x - 5 =0 的一个根.4 a+ 8 - 5 =0 解得：a-— —.4四、师生互动，课堂小结1 . 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2 . 一元二次方程的一般形式为ax % b x + c =0 ( a W O ) , 一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的 .3 . 在实际问题转化为数学模型( 一元二次方程) 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性. 课 后 作 业1 . 布 置 作 业 ：从 教 材 相 应 练 习 和 “ 习 题22. 1”中选取.2 . 完 成 练 习 册 中 本 课 时 练 习 的 “ 课 时 作 业 ”部分.'瓠 与 反 思22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法y教 学 目 标【 知识 与 技 能 】1 . 会 用 直 接 开 平 方 法 解 形 如a(x-k)2=b (aW O,abNO)的方程.2 .灵活应用因式分解法解一元二次方程.3 . 使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【 过 程 与 方 法 】创 设 学 生 熟 悉 的 问 题 情 境 ，综 合 运 用 探 究 式 、启 发 式 、活动式等几种方法进行教学.【 情 感 态 度 】 鼓励学生积极主动的参与“ 教 ”与 “ 学”的整个过程，激发求知的欲望,体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【 教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【 教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.教学国睚一、情境导入，初步认识问：怎样解方程( X + 1 ) 2= 25 6 ?解：方 法1 ：直接开平方，得x + l= ±1 6所以原方程的解是x , = 1 5 . X2= - 1 7方 法2：原方程可变形为：( x + 1 ) 2- 25 6 = 0 ,方 程 左 边 分 解 因 式 , 得( x + 1 + 1 6 ) ( x + 1 - 1 6 ) = 0即( x + 1 7 ) ( x - 1 5 ) = 0所以 x + 1 7 = 0 或 x T5 = 0原方程的解x i = 1 5 , X2= - 1 7【 教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1用直接开平方法解下列方程( 1 ) ( 3x + l) J 7 ; ( 2) y2+ 2y + l= 24 ; ( 3) 9 n - 24 n + 1 6 = l 1 . 解： ( i )二 ［ 土( 2) - 1 ± 2 6；( 3) 4 ± 3 '"【 教学说明】运用开平方法解形如( x + m) 2= n ( n 2 0 ) 的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例 2用因式分解法解下列方程：( 1 ) 5 x - 4 x = 0( 2) 3x ( 2x + l) = 4 x + 2( 3) ( x + 5 ) = 3x + 1 5-4解 ： (1 )阳= 0 , X2 =y⑵ 町 = . 声2 = " y( 3) %| = -5 ,x2 = - 2【 教学说明】解这里的( 2) ( 3) 题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1 . 用直接开平方法解下列方程( 1 ) 3 ( x - 1 ) - 6 = 0( 2) X2- 4X+ 4 = 5( 3) ( x + 5 ) = 25( 4 ) X2+ 2X+ 1 = 4 解： ( 1 )町= 1 + J2,x2 = 1 - J2( 2)町= 2 + 5 / 2 =2 - 5( 3)町= 0 , %2 = - 1 0( 4 )阳 =1, 久2 = - 32 . 用因式分解法解下列方程：( 1 ) X2 + % = 0 ( 2 )欠2 — 2 8 、= 0( 3) 3. x2 -6 x= -3 ( 4 ) 4 . x2 - 1 21 = 0( 5 ) (久一4 ) 2 = ( 5 - 2%) 2解： ( 1 ) 0 = 0 , %2 = T( 2)町= 0,x2 = 2 B( 3) x , = x2 = 1/ . 、 1 1 1 1( 4 )阳 = 了 ， 久 2 = - V( 5 )阳= 3 ,x2 = 13 . 把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2“犬= ”( x + 5 ) ：解得修=5 + 5后， X z = 5 - 5血( 舍去) .答：小圆形场地的半径为( 5 + 5 7 2 ) m.【 教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1 .引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2 . 对于形如a ( x - k ) ( a W 0 , b 2 0 )的方程，只要把( x - k)看作一个整体，就可转化为x 2= n ( n 20 )的形式用直接开平方法解. 3. 当方程出现相同因式（ 单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.课后作业1 . 布置作业：从教材相应练习和“ 习题22. 2”中选取.2 . 完成练习册中本课时练习的“ 课时作业”部分.教学反思2 .配方法教与目标【 知识与技能】1 . 使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2 . 在配方法的应用过程中体会“ 转化”的思想，掌握一些转化的技能.【 过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【 情感态度】 学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【 教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【 教学难点】发现并理解配方的方法.教学亘睚一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为1 6 m之 ，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m ,则 长 为( x +6 ) m ,根据矩形面积为1 6 m ；得到方程工( x +6 ) = 1 6 ,整理得到 X2+6XT6=0.【 教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程X2+6X-16=0?问 题1通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【 教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即( x +m )之 』( n20 ),运用直接开平方法可求解.问题2你会用直接开平方法解下列方程吗？(1) (x+3) 2=25 ( 2 ) X2+6X+9= 2 5( 3 ) X2+6X= 1 6( 4 ) X2+6X-1 6 = 0【 教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x ? +6 x -1 6 = 0转化为( x +3 ) J 2 5的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x 2 +6 x = 1 6 ,两边都加上2即 ( ：)；使左边配成x ? +b x + ( b 2 ) 2的形式，得：x2+6 x +9= 1 6 +9,左边写成完全平方形式，得：( x +3 ) J 2 5 ,开平方， 得：x +3 = ±5 ,( 降次)即 x +3 = 5 或 x +3 = -5解一次方程得：x1= 2 , X2= -8 .【 归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：( 1 ) X2+8X+1 6 = (X+4 ) 2( 2 ) x2-x +—= ( x - —)'4 2( 3 ) 4X2+4X+1 = ( 2X+1 ) 2例2列方程：( 1 ) X2+6X+5 = 0 ( 2 ) 2X2+6X+2 = 0 ( 3 ) ( 1 +x ) 2+2 ( 1 +x ) -4 = 0 解 ： （ 1 ） 町 = 一 1 , % 2 = -5C 5 3 5 3（ 2 ） .V, =T-T，A2=-T-T（ 3 ） 町 =5 - 2 , 3 2 = - 5- 2【 教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【 归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（ 1 ）把方程化为一般形式a x 、 b x +c = O ；（ 2 ）把常数项移到方程的右边；（ 3 ）方程两边同时除以二次项系数a ；（ 4 ）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（ 5 ）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1 .用配方法解下列方程：（ 1 ） 2X2-4X-8 = 0（ 2 ） x -4 x +2 = 0( 3 ) x2- — x -l = O22 .如果 x ' -4 x +y 2 +6 y +J z + 2 +1 3 = 0, 求 ( x y ) z 的值.【 答案】 1 .( 1 ) 町 =i + 5 , .叼 =1 一 5( 2 ) 町 = 2 + 晨2 = 2 - 2( 3 ) x ,1 V1 7 1~-------- +----------------- Z Z ----------------------------4 4 ' 2 4 42」 =2 , y = .3 C > . 【 教 学 说 明 】学 生 独 立 解 答 ，小组 内 交 流 ，上台展示并讲解思路.四、师 生 互 动 ，课堂小结1 . 用配方法解一元二次方程的步骤.2 . 用配方法解一元二次方程的注意事项.课 后 作 业1 . 布 置 作 业 ：从 教 材 相 应 练 习 和 “习 题22. 2”中选取.2 . 完 成 练 习 册 中 课 时 练 习 的 “ 课 时 作 业 ”部分.教 学 反 思3 .公式法教 与 目 标【 知识 与 技 能 】1 . 理 解 一 元 二 次 方 程 求 根 公 式 的 推 导 过 程 ， 了解公式法的概念.2 .会熟练应用公式法解一元二次方程.【 过 程 与 方 法 】 通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【 情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点 .【 教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【 教学难点】一元二次方程求根公式的推导.: ' 教 学 国ili呈一、情境导入，初步认识用配方法解方程： ( 1 )X2+ 3X+ 2 = 0 ( 2 ) 2 x-3 x+ 5 = 0解： ( 1 ) X i = -1 , X2= -2 ( 2 ) 无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式a x? + b x+ c = O ( a W O ) ,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 己知a x? + b x+ c = O ( a W O ) ,试推导它的两个根—I)+ -4"c - I)— — 4"cx\ - 5 ， x2 = 5 ,2 a2,(i【 分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a , b , c 也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究 一元二次方程a x' + b x+ c R ( a W O ) 的根由方程的系数a , b , c 而定，因此: ( 1 ) 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式a x? + b x+ c = O , 当b ? -4 a c 2 0 时，将 a , b , c 代入式子》 = 必主逝二皿就得到方程的根，当 b ? -4 a c V2a0 时, 方程没有实数根.( 2 ) % = 二 ^ —b — 4。
,叫做一元二次方程a x? + b x+ c = O ( a # 0 ) 的求根公2a式 .( 3 ) 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【 教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例 1 用公式法解下列方程：① 2X2-4XT=0 ② 5X+2=3X?③ ( x-2 ) ( 3 x-5 ) = 0 @ 4 x2-3 x+ l = 0解：0 X i = l + — , x2= l - -2 2②K = 2 , x2= -j( 3 ) X )=2 , X 2 = y④无解【 教学说明】 ( 1 ) 对②、③要先化成一般形式； ( 2 ) 强调确定a , b , c 的值，注意它们的符号； ( 3 ) 先计算b " 4 a c 的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1 . 用公式法解下列方程：( 1 ) X2+X-12=0 ( 2 ) x2-V 2 x--= 04( 3 ) X2+ 4X+ 8 = 2X+ 1 1( 4 ) x ( x-4 ) = 2 -8 x( 5 ) x2+ 2 x= 0( 6 ) x2+ 2 V 5 x+ 1 0 = 0解:( 1 ) x, = 3 , X2= -4 ;Z 9 \ _ V 2 + 5 / 3 _ V 2 — V 3( 2 ) XF- - - - - - , x2= - - - - - - -；2 2( 3 ) X i = l , X2=-3 ;( 4 ) x , = - 2 + - \/ 6， X2= _2 -y/ 6 ；( 5 ) x , = 0 , X2= - 2 ;( 6 )无解.【 教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1 .求根公式的概念及其推导过程.2 .公式法的概念.3 .应用公式法解一元二次方程.， ' 课 后 作 业1 . 布置作业：从教材相应练习和“ 习题2 2 . 2 ”中选取.2 . 完成练习册中本课时练习的“ 课时作业”部分. 教与反思4. 一元二次方程根的判别式敦与目标【 知识与技能】i .能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证;2 .会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【 过程与方法】1 .经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2 .向学生渗透分类讨论的数学思想；3 .培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【 情感态度】L体验数学的简洁美；2. 培养学生的探索、创新精神和协作精神.【 教学重点】根的判别式的正确理解与运用. 【 教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.了教孚国土一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程（ 1 ） X2+ 5X+ 6 = 0（ 2 ） 9 x - 6 x + l = 0（ 3 ） X2- 2X+ 3 = 0解： （ 1 ） X i = - 2 , X2= - 3（ 2 ） x 1 = x2= -3（ 3 ）无解【 教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现: 在把系数代入求根公式之前，需先确定a , b , c 的值，然后求出b ? - 4 a c 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 〈 4 a c 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“ △”来表示，即A = b 2 - 4 a c .我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：, I）， 2 / / — 4 a c（ “ 亢 ）【 归纳结论】 （ 1 ）当△＞（ ） 时，方程有两个不相等的实数根：-b + ylh2 -4ac —h-ylh2 -4acx\ = Z ，X2 = Z ；2a 2a （ 2 ）当A = 0 时，方程有两个相等的实数根, XI=X2=3；2a（ 3 ）当△ VO时，方程没有实数根.例 1 利用根的判别式判定下列方程的根的情况：（ l ） 2 x2- 3 . v - y = O ；（ 2 ） 1 6 . r2 - 2 4 工+ 9=0；（ 3 ） . x2 - 4 ]2+9 = 0 ；（ 4 ） 3 x2 + l O . v = 2 . v2 + 8 x .解： （ 1 ）有两个不相等的实数根；（ 2 ）有两个相等的实数根；（ 3 ）无实数根；（ 4 ）有两个不相等的实数根.例 2 当 m 为何值时，方 程 （ m + 1 ） x2- （ 2 m - 3 ） x + m + l = 0 ,（ 1 ）有两个不相等的实数根？（ 2 ）有两个相等的实数根？（ 3 ）没有实数根？解： （ 1 ） 且 m W T ;4（ 2 ） m = —;4⑶ m >- .4【 教学说明】注 意 （ 1 ）中的m + l W O 这一条件. 三、运用新知，深化理解1 .方程x ?- 4 x +4 =0的根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C.有一个实数根D .没有实数根2 .已知x 2 +2 x =m T 没有实数根，求证：x 2 +m x =l - 2 m 必有两个不相等的实数根 .【 答案】L B2 .证明：•••x 2 +2 x - m +l =0 没有实数根，...4 - 4 ( 1- m ) VO, VO. 对于方程x ~ +m x =l - 2 m ,即 x2+m x +2 m - l =0, A =m ' - 8 m +4 , / . A >0, .,.x2+m x =l - 2 m两个不相等的实数根.【 教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1 .用判别式判定一元二次方程根的情况( 1) △>( ) 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；( 2 ) △=( ) 时，一元二次方程有两个相等的实数根.( 3 ) AV0 时，一元二次方程无实数根.2 .运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0 这一隐含条件 .【 教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.， ' 课后作业 1 .布置作业：从教材相应练习和“ 习题22. 2”中选取.2 .完成练习册中本课时练习的“ 课时作业”部分.教与反思*5. 一元二次方程的根与系数的关系敦与目标【 知识与技能】i .引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.2 .通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.【 过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.【 情感态度】在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【 教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 【 教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.教孚国土一、情境导入，初步认识1 .完成下列表格方程%]■«2> +工2x2 - 5汇 + 6 = 02356A：2 + 3% - 10 =()2— 5-3-10问题你发现了什么规律？①用语言叙述你发现的规律： （ 两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）②设方程f +p x +q R的两根为X i , X 2 ,用式子表示你发现的规律.（ x l +x 2 =-p , x l • x 2 =q ）2 .完成下列表格问题上面发现的结论在这里成立吗？ （ 不成立）方程町町+% 25. %22x - 3%-2 =0213—13久? -4% + 1 =0171£T1~3请完善规律:①用语言叙述发现的规律： （ 两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比） ②设方程a x ' +b x +c R 的两根为由,如用式子表示你发现的规律. (X i +X 2 =-二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程a x 2 +b x +c =0 (a W0 ) 这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.a x2+b x +c =0 的两根％ = + 々=- b- 'b- , xl +x 2 =" - ,2a 2a acX i • x2= - .a【 教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例 1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1 ) X2-6X-1 5 =0;(2 ) 3X2+7X-9=0;(3 ) 5 x -l =4 x2.解： (1 ) x l +x 2 =6 , x l - x 2 =-1 5 ;、 7(2 ) x l +x 2 =~ —, x l • x 2 =-3 ；3(3 ) x l +x 2 = —, x l • x 2 = —.4 4【 教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.例 2 已知方程2 x2+k x -9=0的一个根是-3 , 求另一根及k的值.解：另一根为:，k =3 .2 【 教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3已知a , B是 方 程x 2 -3 x -5 =0的两根，不解方程，求下列代数式的值.(1 )- + ^ (2 ) a2 +(32 (3 )aa p-B解 :⑴ -春 ;(2 )1 9； ⑶回 或 -质.三、运用新知，深化理解1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1 ) x -3 x =1 5(2 ) 5 x -l =4 x2(3 ) x -3 x +2 =1 0(4 ) 4 x2-1 4 4 =0(5 ) 3 x (x -1 ) =2 (x -1 )(6 ) (2 x -l ) = (3 -x ) 22 .两根均为负数的一元二次方程是( )A . 7x -1 2 x +5 =0B . 6 x2-1 3 x -5 =0C . 4X2+2 1X+5 =0D . X2+1 5X-8=0［ 教学说明］两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数. 【 答案】1 . (1 ) XI+X2=3, XIX2=-15(2 ) x1+x2=0, X ] X2=-1(3 ) XI+X2=3, XIX2=-8(4 ) X i +x2=0, XIX2=-36/ 匚 、, _ 5 _ 2(5 ) X1+X2—, X1X2—3 3(6 )x t +x2=-|3，X1X2= -832 .C【 教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1 . 一元二次方程的根与系数的关系.2 .一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.课后作业1 .布置作业：从教材相应练习和' ' 习题2 2 . 2 ”中选取.2 .完成练习册中本课时练习的“ 课时作业”部分.教学反思 2 2 . 3实践与探索了教与目标【 知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.【 过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系.【 情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【 教学重点】列一元二次方程解决实际问题.【 教学难点】寻找实际问题中的等量关系.教学国程 一、情境导入，初步认识问 题1学校生物小组有一块长3 2 m ,宽2 0 m的矩形试验田，为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为5 4 0 m2,小道的宽应是多少？问题2某药品经过两次降价，每瓶零售价由5 6元降为3 1 . 5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.二、思考探究，获取新知问 题1【 分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为5 4 0 m ②来列方程，设小道的宽为x m ,如何来表示种植面积？方法一：如图，由题意得，32X20-32X-20X+X2=540方法二：如图，采用平移的方法更简便.- - x l --20I----------- 32由题意可得：( 2 0 - x ) ( 3 2 - x ) = 5 4 0解得 x , = 5 0 , X2=2由题意可得x V 2 0 , ； . x = 2【 教学说明】引导学生学会一题多解， 同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义. 问题2【 分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价5 6元经过两次降价降为3 1 . 5 元，设每次降价的百分率为x , 由题意得5 6 ( 1 - x ) 2= 3 1 . 5解得 x , = 0 . 2 5 ,X2= 1 . 7 5 ( 舍去)三、运用新知，深化理解1 . 青山村种的水稻2 0 1 1 年平均每公顷产量为7 2 0 0 k g , 2 0 1 3 年平均每公顷产量为8 4 5 0 k g , 求水稻每公顷产量的年平均增长率.2 . 用一根长4 0 c m 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为7 5 c m 2 .( 1 ) 求此长方形的宽.( 2 ) 能围成一个面积为1 0 1 c m ? 的长方形吗？如能，说明围法.( 3 ) 若设围成一个长方形的面积为S ( c m2)， 长方形的宽为x ( c m ) ,求S与 x 的函数关系式，并求出当x 为何值时，S的值最大，最大面积为多少.【 答案】1 . 解：设年平均增长率为X ,则有 7 2 0 0 ( 1 + x ) 2 = 8 4 5 0 ,解得小= - ! - 仁0 . 0 8 ,1 29 4x2= - — ^ - 2 . 0 8 ( 舍去) .1 2即年平均增长率为8 % .答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8 % .2 . 解： ( 1 ) 设此长方形的宽为x c m , 则长为( 2 0 - x ) c m .根据题意，得 x ( 2 0 - x ) = 7 5解得：x l = 5 , x 2 = 1 5 ( 舍去) . 答：此长方形的宽是5 c m .( 2 ) 不能. 由 x ( 2 0 - x ) = 1 0 1 , 即 x - 2 0 x + 1 0 1 = 0 , ,知△ = 2 0 " 4 X 1 0 1 = - 4 V 0 ,方程无解，故不能围成一个面积为1 0 1 c m 2 的长方形.( 3 ) S = x ( 2 0 - x ) = -X2+ 2 0X.由S = - / + 2 0 x = - ( x TO) 2 + 1 0 0 可知，当x = 1 0 时，S的值最大，最大面积为1 0 0 c m " .【 教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2 题 第 ( 2 ) 、( 3 ) 问中的应用.四、师生互动，课堂小结1 .列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、歹 k 解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2 .用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.3 .若平均增长( 降低) 率为x , 增长( 或降低) 前的基数是a , 增长( 或降低 ) n 次后的量是b , 则有：a ( l ±x ) n= b ( 常见n = 2 ) .课后作业1 .布置作业：从教材相应练习和“ 习题2 2 . 3 ”中选取.2 .完成练习册中本课时练习的“ 课时作业”部分.教与反思 本章复习:'敢与目标【 知识与技能】掌握一元二次方程的基本概念及其解法；灵活运用一元二次方程知识解决一些实际问题.【 过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及到的化归思想、建模思想的过程，加深对本章知识的理解.【 情感态度】在运用一元二次方程的有关知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学来源于生活又应用于生活，增强数学的应用意识，感受数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.【 教学重点】一元二次方程的解法及应用.【 教学难点】一元二次方程的应用.?教与国睚一、知识框图，整体把握 实际问题一元二次方程「直接开平方法1MHi -因式分解法陶圻-配方法」公式法「根的判别式-根与系数的关系解法二、释疑解惑,加深理解1. 一元二次方程的解法方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义x2 = p 或（mx +二P（P，0）配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个等于0一边是0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程【教学说明】一般考虑选择方法的顺序：直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法.2. 一元二次方程根的判别式△ =b2-4ac(1)当A >0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△=()时，方程有两个相等的实数根；(3)当AV0时，方程无实数根.在应用时，要根据根的情况限定△的取值，同时应注意二次项系数不为0这一条件. 3.一元二次方程y=ax?+bx+c ( a # 0 ) 的根与系数的关系，在应用时要注意变形.同时要明确根与系数的关系成立的两个条件：(1) a70, (2) A 204.应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意.三、典例精析，复习新知例 1用适当的方法解下列方程(1) X2-7X=0(2) X2+12X+27=0(3) x (x-2) +x_2=0(4) X2+X-2=4(5) 4 (x+2) 2=9 (2x-l) 2解： (1) Xi=0, X2=7 ;(2) x,=-3, X2=-9;(3) Xi=2, x2= -l;(4) x,=2, X2=-3;心 7 1(5) Xi=—, x2=-- .4 8【 教学说明】依据各种不同方法所对应方程的特点来解.例 2关于x 的方程ax?- (3a+l) x+2 (a+1) = 0 ,有两个不相等的实数根Xi, X2,且有 xi-xix2+x2= l- a ,则 a 的值是( ).A . 1 B.-1 C. 1 或-1 D . 2 ［ 分 析 ］由 一 元 二 次 方 程 中 根 与 系 数 的 关系 所 求 得 字 母 系 数 的 值 ，一 定 要 代 入a # 0A = h2 - 4 a c > 0中检验. 修- X1X2 4- X2 =—( I , 则3 〃 + 1 2 ( a + 1) . 々力〜 i ［-- -=1 一〃， 解付 a} = 1 , 做 =- 1, 4a----- a=1时A = 0 ,方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 , 与 题 意不符,J. a 二 一 1, 选 B .例3 ( 2 012 •江苏徐州) 为了倡导节能低碳生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为2 0元；若超过a千瓦时，则除交2 0元外，超过部分每千瓦时要交2元，100某宿舍3月份用电8 0千瓦时，交电费3 5元；4月份用电4 5千瓦时，交电费2 0元.( 1)求a的值；( 2 )若该宿舍5月份交电费4 5元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？解：( 1)由题意得 2 0+ ( 8 0- a ) X— = 3 5 ,解得 a 产 3 0, a 2 = 5 0, •. 飞＞4 5 ,100a = 5 0.( 2 )设5月份用电x千瓦时，依题意得2 0+ ( x - 5 0) X^=45,解得x = 100,则该宿舍当月用电量为100千瓦时.【 教学说明】现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识来解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上构建方程模型.四、复习训练，巩固提高.1.方 程x - 3 x = 0的 解 为 ()A . x = 0 B . x = 3C . X i = O , X2= - 3D . X i = O , X2= 32 . （ 2 012 •河北）用配方法解方程X2 + 4X+ 1= 0, 配方后的方程是（ ）A . （ x + 2 ） = 3 B . （ x - 2 ） J3 C . （ x - 2 ） = 5 D . （ x + 2 ） = 53 . （ 2 012 •辽宁本溪）已知一元二次方程x2- 8 x + 15 = 0的两个根恰好分别是等腰A A B C 的底边长和腰长，则A A B C 的周长为（ ）A . 13 B . 11 或 13 C . 11 D . 124 . （ 2 012 • 山东日照）已知关于x的一元二次方程（ k - 2 ） 2X2 + （ 2 k + l ）x + l = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）4A . k V —且 k W 234B . k 2 上且 k W 23C . k > ±且 k W 243D.k"且 吐 245 . 设a , 8是一元二次方程X2+ 3X- 7 = 0的两个根，则a 2+ 4 a + 0 =.6 . （ 2 012 •内蒙古包头）关于x的两个方程x 2 - x - 2 = 0与一二 = 」有一x +1 x+a个解相同，则 a=.7 . （ 2 012 •湖北鄂州）设 X i , X 2 是一元二次方程x 2 + 5 x - 3 = 0的两个根，且2 x ） （X22+ 6X2- 3 ） + a = 4 , 贝 I ] a = . 8. (2012 •山东济宁) 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0 .5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元. 该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？【 答案】1.D 2. A 3.B 4. C 5.4 6.4 7. 108. 解：•.•60 棵树苗的售价为 120X60=7200 ( 元 ) ,而 7200V8800, . . . 该校购买的树苗超过60棵. 设该校共购买了 x棵树苗，由题意得x [120-0.5 (x-60) ] = 8800,解得 xl=220, x2= 8 0 ,当 xl=220 时，120-0. 5X (220-60) =40<100, .•.x=220 不合题意，舍去；当 x=80 时 ,120-0. 5X (80-60) =110>100,.,.x= 80,即该校共购买了 80棵树苗.五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关一元二次方程的知识吗？你还有哪些困惑与疑问？, ‘课后作业1 . 布置作业：从教材本章“ 复习题”中选取.2 . 完成练习册中“ 本章热点专题训练” .「教学反思 第 23章 图形的相似2 3 .1 成比例线段1.成比例线段教与目标【 知识与技能】1 . 了解成比例线段的意义， 会判断四条线段是否成比例.2 . 会利用比例的性质， 求出未知线段的长.【 过程与方法】培养学生灵活解题及合作探究的能力.【 情感态度】感受数学逻辑推理的魅力.【 教学重点】成比例线段的定义; 比例的基本性质及直接运用.【 教学难点】比例的基本性质的灵活运用， 探索比例的其他性质. 教 学 国 程一、情境导入， 初步认识挂上两张照片， 问 ：1 . 这两个图形有什么联系？它们都是平面图形， 它们的形状相同， 大小不相同， 是相似图形.2 . 这两个图形是相似图形， 为什么有些图形是相似的， 而有的图形看起来相像又不会相似呢？ 相似的两个图形有什么主要特征呢？ 为了探究相似图形的特 征 ， 本节课先学习线段的成比例.二、思考探究， 获取新知1 . 两条线段的比( 1 ) 回忆什么叫两个数的比， 怎样度量线段的长度， 怎样比较两线段的大小 .如果选用同一个长度单位量得两条线段A B 、C D 的长度分别是m 、n , 那么就说这两条线段的比A B : C D =m : n , 或写成A B C D =% , 其中， 线段A B 、C D 分别n叫做这两个线段比的前项和后项.如果把生表示成比值k , 则 普 =k 或 A B =k - C D .n CD注意： 在量线段时要选用同一个长度单位.( 2 ) 做7 故 量出数学书的长和宽（ 精确到0 . 1 c m ）, 并求出长和宽的比.改用m 作单位， 则长为0 . 2 1 1 m , 宽为0 . 1 4 8 m , 长与宽的比为0 . 2 1 1 :0 . 1 4 8 =2 1 1 : 1 4 8 .只要是选用同一单位测量线段， 不管采用什么单位， 它们的比值不变.（ 3 ） 求两条线段的比时要注意的问题①两条线段的长度必须用同一长度单位表示， 如果单位长度不同， 应先化成同一单位， 再求它们的比；②两条线段的比没有长度单位， 它与所采用的长度单位无关；③两条线段的长度都是正数， 所以两条线段的比值总是正数.问 ： 两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（ 学生讨论）（ 答 ： 线段的长度比与所采用的长度单位无关） .2 . 成比例线段的定义四条线段a 、b 、c 、d 中 ， 如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比， 如: ， 那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做b a成比例线段， 简称比例线段.3 . 比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比. 如果a 、b 、c 、d四个数满足。
三 ， 那么a d =b c 吗 ? 反过来， 如果说a d =b c ， 那么f = 三吗？ 与b a b a同伴交流.如果?, 那么a d =b c .b d 若 a d =b c （ a 、b 、c 、d 都不等于0 ）, 那么£ .b a例 1 在某市城区地图（ 比例尺1 ： 9 0 0 0 ） ± , 新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是1 6 c m . 1 0 c m .（ 1 ） 新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（ 2） 新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？ 它们的实际长度之比呢？解 ：（ 1 ） 1 4 4 0 米 ， 9 0 0 米. （ 2 ） 8 : 5 , 8 : 5 .例 2 如图， 已知：= ；=3 , 求学和邛；b a b a例 3 如 果 ？ = [ =4 •《 为 常 数 ） ， 那么I） （L2 成立吗？为什么？b （I解 ： 成 立 ， 因 为a - bk, c = dk,所以"=I）r + k . . c +（1 dk + d . ,- - =1 + k, — — = — — = 1 +I） a a三、运用新知， 深化理解 L已知： = 5=3 ,求L/和三 村 —=I) (I I) (L I)一 成 立 吗 ？(I2 .已 知 ?= 5 = ? = 2 (〃 + " + 尸0 )， 求:I) d J〃+ c + e .) ”…J ㈠ ) ” — 2c+3e.' 〃 +:+/， ( f b - d + f ^ ) b -2 d + 3 f(4 )高.b - 5 f［口 菜' b 、d b ~ d成 立 .2. (1)2 (2)2 (3)2 (4)2【 教学说明】分组讨论完成并展示.四、师生互动， 课堂小结1 . 注意点：（ 1 ） 两线段的比值总是正数；（2 ）讨论线段的比时， 不指明长度单位；（3 ） 对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.2 . 比例尺： 图上长度与实际长度的比.3 .熟记成比例线段的定义.4 . 掌握比例的基本性质， 并能灵活运用.课后作业1 . 布置作业： 从教材相应练习和" 习题23.1"中选取.2 .完成练习册中本课时练习的" 课时作业”部分 教与反思2 . 平行线分线段成比例教与目标【 知识与技能】了解平行线分线段成比例定理的证明， 掌握定理的内容. 能应用定理证明线段成比例等问题， 并会进行有关的计算.【 过程与方法】通过定理的推导证明与应用， 培养学生探索新知识、提高分析问题和解决问题的能力， 提高学生的识图能力和发散思维能力， 以及现有知识向新知识迁移的能力.【 情感态度】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般， 并能欣赏数学表达式的对称美. 【 教 学 重 点 】定理的应用.【 教 学 难 点 】定理的推导证明.教 学 国 程一 、情 境 导 入 ， 初步认识问 题1 翻 开 我 们 的 作 业 本 ， 每 一 页 都 是由一些间距相等的平行线组成的 ， 如 图 在 作 业 本 上 任 意 画 一 条 直 线m与 相 邻 的 三 条 平 行 线 交 于A、B、C三 点 ，得 到 两 条 线 段A B、B C ,量 一 量 ， 你 发 现 这 两 条 线 段 的 长 度 有 什 么 关 系 ？相 等 即A B =B C （由 学 生 回 答 ）. 思 考 ： 再 任 意 画 一 条 直 线n与 这 组 平 行 线 相 交 ， 得 到 两 条 线 段D E和E F ,你 发 现D E与E F的 长 度 存 在 什 么 关 系 ？由 此，我 们 可 以 得 到 空BCDF~EF问 题2选 择 作 业 本 上 不 相 邻 的 三 条 平 行 线 ， 任 意 画m、n与 它 们 相 交 ， 如果m、n这 两 条 直 线 平 行 ， 观 察 并 思 考 这 时 所 得 的A D、D B、F E、E C这四条线段 的长度有什么关系. 如果m 、n 这两条直线不平行， 你再观察一下， 量 一 量 ， 算一 算 ， 看看它们是否存在类似关系.AD FE归 纳 ： ——= —DB EC两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例. （ 简 称 “ 平行线分线段 成 比 例 " ）二、思考探究， 获取新知思 考 ：（1 ） 如 图 ， 当 图 （ 3 ） 中的点A与 点 F重合时就形成一个三角形的特殊情况， 此 时 ， AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系？（ 2 ） 如 图 ， 当 图 （ 3 ） 中的直线m 、n 相交于第二条平行上某点时， 是否也有类似的成比例线段呢？BC 归纳： 平行于三角形一边的直线截其他两边（ 或两边的延长线）， 所得的对应线段成比例.例 1 如图， L l l L l l L .（ 1 ） 已知 A B =3 , D E =2 , E F =4 , 求 B C ；（ 2 ） 已知 A C =8 , D E =2 , E F =3 , 求 A B .【 分 析 】根据题目中的已知和所求线段,寻求有关的比例式， 注意选择合理简捷的方法.如第（2） 问， 有以下两种解法： ① 若 选 羔 = 丝 ， 则BC Er设43 = x,BC = 8 - 久, 可得Q =2;②若 选 学 =些则列出也一 2 得4B - -D F' " 8 一2 + 3 '仔 5,三、运用新知， 深化理解1 . 如图，已知U I 1 2 H l 3 , 下列比例式中错误的是（） 、AC BD ,, AC BD' CE~ DF ' AE ~ BF2 . 如图， 已知U I L I I 1 ：5 , 下列比例式中成立的是（）、ADCEB.ADBCA.—- - - ， ■ ,DFBEAF「 CE1)AFBE( . —DF=BCDF=CE【 答案】l . D 2 . D【 教学说明】可由学生独立完成抢答， 教师最后点拨.四、师生互动， 课堂小结L平行线分线段成比例定理及其推论， 注意" 对应" 的含义.2 . 研究问题的方法： 从特殊到一般， 类比联想.， ' 课后作业1 . 布置作业： 从教材相应练习和" 习题2 3 . 1 " 中选取.2 . 完 成 《 创优作业》中本课时练习的" 课时作业”部分 教与反思2 3 .2相似图形’教与目标【 知 识 与 技 能 】知 道 相 似 图 形 的 两 个 特 征 ： 对 应 边 成 比 例 ， 对应角相等. 识别两个多边形是否相似的方法.【 过 程 与 方 法 】在 推 出 相 似 多 边 形 性 质 时 ， 让 学 生 用 量 角 器 、刻 度 尺 来 测 量 ， 锻炼动手能力.【 情 感 态 度 】让 学 生 感 受 数 学 知 识 源 于 生 活 、用于生活.【 教 学 重 点 】 相似图形的定义和性质.【 教学难点】相似图形的性质.: ' 教 学 国 ili呈一、情境导入， 初步认识复 习：1 .若线段 a =6 c m , b =4 c m , c =3 . 6 c m , d =2 . 4 c m ,那么线段 a , b , c , d 会成比例吗?2 .两张相似的地图中的对应线段有什么关系？（ 都成比例）二、思考探究， 获取新知相似的两张地图中的对应线段都会成比例， 对于一般的相似多边形， 这个结论是否成立呢？同学们动手量一量， 算 一 算 ， 用刻度尺和量角器量一量课本第5 8页两个相似四边形的边长， 量一量它们的内角， 由一位同学把量得的结果写在黑板上， 其他同学把量得的结果与同伴交流.同学们会发现有什么关系呢？ 经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例， 对应角会相等， 再观察课本中两个相似的五边形， 是否也具有一样的结果？ 反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？同学们用格点图画相似的两个三角形， 也观察、度 量 ， 它们是否也具有这种关系（ 对应边成比例 ， 对应角相等）？由此可以得到两个相似多边形的特征: （ 由同学回答， 教师板书） 对应边成比例， 对应角相等.实际上这两个特征， 也是我们识别两个多边形是否相似的方法. 即如果两个多边形的对应边成比例， 对应角相等， 那么这两个多边形相似.识别两个多边形是否相似的标准有：（ 边数相同）, 对应边要（ 成比例）,对应角要（ 都相等） .（ 括号内要求同学填）填一填：（1） 两个三角形一定是相似形吗？ 两个等腰三角形呢？ 两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？（ 2 ）所有的菱形都相似吗？ 所有矩形呢？ 正方形呢？例 1 矢 巨 形 A B C D 与 矢 巨 形 A ' B ' C ' D '中 ,A B =1 . 5 c m , B C =4 . 5 c m , A ' B ' =O . 8 c m , B ' C '=2 . 4 c m , 这两个矩形相似吗？ 为什么？D 力 Z ）A'C1-----------'B J解•相 似 闪 为 坐 = 至 = 包 = 生 = 总昨 । ‘ JA'B' B'C A'D' D'C 8例2如图所示, 四边形A B C D与四边形A ' B ' C ' D '相似5 \学区-------- \ B' C求NA的度数与x的值: 解： 由相似图形的性质知乙4 =乙4' =107。
, 土 = 1 ~ .、 =短.x 2 5三、运用新知， 深化理解1 .矢 巨 形 ABCD 与 矢 巨 形 A'B'C'D'中 ， 已 矢 口 AB=16cm, AD=10cm, A'D'=6cm,矢 巨 形 A'B'C'D'的面积为54cm2 , 这两个矩形相似吗？ 为什么? 2 .如图， 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是相似的, 且CD_LBC , 根据图中的条件, 求出未知的边x、y及角【 答案】1 ,这两个矩形不相似， 由矩形A'B'C'D'的面积为5 4知A'B'=54+6=9A B 16 AD 10 5 A B AD(cm ) , ArB7 = ~ 9'ArL j '=T = T ' ArB ' ^ ArLj''2 . x=14, y=18, a=85°【 教学说明】教师引导学生独立完成， 让学生演示并讲解， 师生共同点评.四、师生互动， 课堂小结1 .相似多边形的性质： 对应边成比例； 对应角相等.2 .相似多边形的判定.. ‘课后作业1 .布置作业： 从教材相应练习和" 习题23. 2 "中选取. 2. 完成练习册中本课时练习的" 课时作业”部分‘教学反思2 3 .3相似三角形1.相似三角形教与目标【 知识与技能】1 .知道相似三角形的概念；2 .能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；3 .会根据概念判断两个三角形相似， 能说出相似三角形的相似比， 由相似比求出未知的边长；4 .掌握利用" 平行于三角形一边的直线， 和其它两边（ 或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似. 【 过程与方法】在探索活动中， 发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.【 情感态度】培养学生严谨的数学思维习惯.【 教学重点】掌握相似三角形的定义、表 示 法 ， 并能根据定义判断两个三角形是否相似.【 教学难点】熟练找出对应元素， 在此基础上根据定义求线段长或角的度数.「瓠学不程一、情境导入， 初步认识复 习 ： 什么是相似形？ 识别两个多边形是否相似的标准是什么？二、思考探究， 获取新知1.相似三角形的有关概念：由复习中引入， 如果两个多边形的对应边成比例， 对应角都相等， 那么这两个多边形相似.三角形是最简单的多边形. 由此可以说什么样的两个三角形相似？ 如果两个三角形的三条边都成比例， 三个角对应相等， 那么这两个三角形相 似 , 如在A A B C 与AABC'中 ,NA=A',NB=NB',NC=NC ', 噜=焉=煞， 那A D D C A C么A A B C 与A A B C ' 相似， 记作AABCSAA B C ." 一是表示相似的符号， 读作" 相似 于 " ， 这样两个三角形相似就读作" A A B C 相似于A A B C ” '.由于N A =N A 1 Z B =Z B ; N C =N C 1 所以A与 A ，是对应顶点， B与 B ，是对应顶点,C 与 C ' 是对应顶点， 书写相似时， 通常把对应顶点写在对应位置上， 以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对 应 边 . 如 果 记 黑 = 第 = 条 = 1 < , 那么A B B C A C这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比. 相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系. 如AABCSAA BC', 它的相似比为k , g p m —=k , 那么A A B C 与A B△A B C 的 相 似 比 应 是 黑 ， 就不是k 了 ， 应为多少呢? 同学们想一想.A D如果M B C i A ' B ' C ' , 相似比k =l , 你会发现什么呢？黑=焉=黑=1 ,A B B C A C所以可得八1 3 =人 3 , 1 ^ =8 9 ”©=人 。
， 因此这两个三角形不仅形状相同， 而且大小也相同， 这样的三角形称之为全等三角形， 全等三角形是相似三角形的特例. 试问 ： ①全等的两个三角形一定相似吗？ ②相似的两个三角形会全等吗？2 . AABC中 ， D 是 A B 上任意一点， 过 D 作 D E I I B C , 交 A C 边于E , 那么" D E与" B C 是否相似？【 分析】判断它们是否相似， 由①对应角是否相等， ②对应边是否成比例去考虑. 能否得对应角相等？ 根据平行线性质与一个公共角可以推出①， 而对应 边是否成比例呢？ 可根据平行线分线段成比例的基本事实， 推 得 婴 =罢 ， 通AC DC过 度 量 发 现 段 = 当 ， 所以可以判断出" D E与" B C相似.BC ABB思考（1 ） 你能否通过演绎推理证明你的猜想？（ 2 ）若 是D E I I B C , D E与B A、C A延长线交于E、D ,那么" D E与M B C还会相 似 吗 ？ 试 试 看 ， 如果相似写出它们对应边的比例式.【 归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（ 或两边的延长线） 相交所构成的三角形与原三角形相似.例1如 图，在A A B C中 ， 点D是 边A B的三等分点，D E I I B C , D E =5 ,求B C的长. 解 ： , ••D E I I B C ,. " . △ A D E ' - 'AABC ,. , . D E B C =A D A B =1 3 ,. , . B C =3 D E =1 5 .三、运用新知， 深化理解1 . 如图所示, D E I I B C .( 1 ) 如果 A D =2 , D B =3 ， 求 D E : B C 的值;( 2 ) 如果 A D =8 , D B =1 2 , A C =1 5 , D E =7 ， 求 A E 和 B C 的长.2 . 如图， 梯形A B C D 中 ， A D I I B C , 点 E 是边A D 的中点， 连接B E 交 A C 于点F ,B E 的延长线交C D 的延长线于点G .( 2 ) 若 G E =2 , B F =3 , 求线段E F 的长. G【 答案】1 . ( 1 ) D E : B C =2 : 53 5( 2 ) A E =6 , B C = y .GF FD2 . ( 1 ) 证 明 ： •••A D I I B C , . . . △G E D s ^ G B C , . X ' . - E D =A E ,GB BC,GE AE( 2 ) 设 E F 的长为x , 则由( 1 ) 知| | =缘 ,GD BC又 . . 任 = 里 2 = 空 即BC GB GB BF丁 J = ' 解得 x , =- 6 ( 舍去) ， X 2 =l ,2 + x + 3 3. - . E F =1 .【 教学说明】第 2 题教师适当点拨， 小组讨论后独立完成四、师生互动， 课堂小结你这节课学到了哪些知识？ 还有哪些疑问？课后作业1 . 布置作业： 从教材相应练习和" 习题2 3 . 3 " 中选取. 2. 完 成 练 习 册 中 本 课 时 练 习 的 " 课 时 作 业 ”部 分‘教学反思第 2 课时 相似三角形的判定（ 2 ）：＞敦与目标【 知 识 与 技 能 】L掌 握 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理2: 有 两 边 对 应 成 比 例 ， 且夹角相等的两个三 角 形 相 似 ；2 .掌 握 相似三角形的判定定理3 : 三 条 边 对 应 成 比 例 的 两 个 三 角 形 相 似 .3 .能 依 据 条 件 ， 灵 活 应用相似三角 形 的 判 定 定 理 ， 正确判断两个三角形相似.【 过 程 与 方 法 】在推理过程中学会灵活使用数学方法.【 情 感 态 度 】 培养学生严谨的数学证明习惯和对数学的兴趣.【 教学重点】相似三角形的判定定理2、3的推导过程， 掌握相似三角形的判定定理2、3并能灵活应用.【 教学难点】相似三角形的判定定理的推导及应用.教孚国程一、情境导入， 初步认识复 习 ：1. 现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？ 有两种方法：（ 1 ）根据定 义 ；（ 2 ） 有两个角对应相等的两个三角形相似.2 .如图A A B C中 ，D、E是A B、A C上三等分点（ 即 AD=1AB, A E=|AC）, 那么△A D E与" B C相似吗？ 你用的是哪一种方法？由于没有两个角对应相等， 同学们可以动手量一量， 量什么后可以判断它们是否相似？ 【 教学说明】可能有一部分同学用量角器量角， 有一部分同学量线段， 看看能否成比例， 无论哪一种， 都应肯定他们是正确的， 要求同学说出是应用哪一种方法判断出的.二、思考探究， 获取新知同学们通过量角或量线段计算之后， 得 出 ：A A D E-A A B C.从已知条件看， △A D E与M B C有一对对应角相等， 即N A =N A （ 是公共角）， 而一个条件是A D =；A B , A E =LAC ,即 是 些 =，， —, 因 此 竺= 9.△ A D E的两条边A D、 A E与43 AB 3 AC 3 AB ACA B C的两条边A B、A C会对应成比例， 它们的夹角又相等， 符合这样条件的两个三角形也会相似吗？ 我们再做一次实验. 观察教材图2 3 . 3 . 1 0 , 如果有一点E在边A C上 ， 那么点E应该在什么位置才能使" D E与" B C相 似 呢 ？图中两个三角形的一组对应边A D与A B的长度的比值为1 ,将 点E由点A开始在A C上 移 动 ， 可以发现当A E =1 A C时 ,A A D E与AA B C相 似 ， 此时AD AE~AB~~AC'猜 想 ： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等， 那么这两个三角形相似.你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？【 教学说明】引导学生证明上述猜想.【 归纳结论】 相似三角形的判定定理2 :两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角， 如果不是夹角， 它们不一定会相似. 你能画出有两边对应成比例， 有一个角相等， 但它们不相似的两个三角形吗？（ 画顶角与底角相等的两个等腰三角形） Z B =Z B ' , 空 ； = 煞.A D A C例 1 （ 课本中例4 ） 判断图中M E B 与" E C 是否相似.例 2 如图A A B C 中 ， D 、E 是 A B 、A C 上的点, A B =7 . 8 , A D =3 , A C =6 ,C E =2 . 1 , 试判断M D E 与M B C 是否会相似， 小张同学的判断理由是这样的:AH AJ7解 ： 因为 A C =A E + C E , 而 A C =6 , C E =2 . 1 , 故 A E =6 - 2 . 1 =3 . 9 . 由 于 " 工 2 上 ,AB AC所以“D E 与M B C 不相似.你同意小张同学的判断吗？ 请你说说理由.解 ： 小张同学的判断是错误的.hAD 3 AE 3 . 9 1匚 匚 、 1 A D AE 工, 日八什金 . . 匚 匚因为F = = = , 而N A 是公共角， N A =N A , 所AC 6 AB 7 . 8 2 AC AB以 AADE-AA C B .请同学再做一次实验， 看看如果两个三角形的三边都成比例， 那么这两个三角形是否相似？看课本6 9 页" 做T 故”. 通过实验得出： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比 例 ， 那么这两个三角形相似. 简单地说就是， 三边成比例的两个三角形相似.例 3 4 B C 和 AA'B'C'中 ,A B =6 c m , B C =8 c m , A C =1 0 c m , A ' B ' =1 8 c m , B ' C ' =2 4 c m , A ' C '=3 0 c m , 试判定它们是否相似， 并说明理由.解四一旦_ _ L' A'B'~ A'C ~ li'C ~ 3 ,三、运用新知， 深化理解I. 如 图 ，A A D E与AABC相似 吗 ？ 请说明理由.笫 1题图2. 如 图 , 已知票嚏嚏，N B A D =2。
求N C A E的大小.【 答 案 】1 . 解 ：AADE与"ABC相似.AD 2 1 AE 2.5 1AJ3 2 +4 3 'AC 2.5+5 3 'AD AE / .■-AB=ACy 2 =AA,:. AADE— /\ABC.,助 AB BC AC- AL) D E AE'^ A B C ^ / \AD E.乙 BAC= A D AE.乂 A D A C是公共角，乙 C A E =乙8420°. 【 教学说明】引导学生自主完成， 学生代表在黑板上展示， 教师点评.四、师生互动， 课堂小结1 . 相似三角形的判定定理2 ： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2 .相似三角形的判定定理3 : 三边成比例的两个三角形相似.3 .根据题目的具体情况， 选择适当的方法证明三角形相似.课后作业1 .布置作业： 从教材相应练习和" 习题23. 3 "中选取.2 . 完成练习册中本课时练习的" 课时作业”部分教学反思2 .相似三角形的判定第1课时 相似三角形的判定（ 1 ）敦与目标 【 知识与技能】会说判定两个三角形相似的方法： 两个角分别相等的两个三角形相似. 会用这种方法判断两个三角形是否相似.【 过程与方法】培养学生动手操作能力.【 情感态度】在动手推演中感受几何的趣味性.【 教学重点】相似三角形的判定定理1 以及推导过程， 并会用判定定理1 来证明和计算.【 教学难点】相似三角形的判定定理1 的运用.教学国睚一、情境导入， 初步认识1 . 两个矩形一定会相似吗？ 为什么？2 . 如何判断两个三角形是否相似？ 根 据 定 义 ： 对应角相等， 对应边成比例.3 . 如图"B C 与" B C 会相似吗？ 为什么？ 是否存在判定两个三角形相似的简便方法？ 本节就是探索识别两个三角形相似的方法. 二、思考探究， 获取新知同学们观察你与你的同伴用的三角尺， 及老师用的三角板， 如有一个角是30。
的直角三角尺， 它们的大小不一样. 这些三角形是相似的， 我们就从平常所用的三角尺入手探索.(1 ) 45 角的三角尺是等腰直角三角形， 它们是相似的.(2 ) 30 的三角尺， 那么另一个锐角为60° , 有一个直角， 因此它们的三个角都相等， 同学们量一量它们的对应边， 是否成比例呢？这 样 ， 从直观上看， 一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相 等 ， 它们好像就会" 相似" . 是这样吗? 请同学们动手试一试：1 . 画两个三角形， 使它们的三个角分别相等.画MBC与ADEF， 使NA=ND , ZB=ZE, ZC=ZF,在实际画图过程中， 同学们画几个角相等？ 为什么？实际画图中， 只画NA=ND, NB=NE,则第三个角NC与NF 一定会相等， 这是根据三角形内角和为180 所确定的.2 . 用刻度尺量一量各边长， 它们的对应边是否会成比例？ 与同伴交流， 是否有相同结果. 3 .发现什么现象： 发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等， 那么这两个三角形相似.4 .两个矩形的四个角也都分别相等， 它们为什么不会相似呢？这是由于三角形具有它特殊的性质. 三角形有稳定性， 而四边形有不稳定性.于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法： 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等， 那么这两个三角形相似， 简单地 说 ， 两角对应相等， 两三角形相似.同学们思考， 能否再简便一些， 仅有一对角对应相等的两个三角形， 是否一定会相似呢？例1如 图，在两个直角三角形" B C和AABC'中 ,Z C =Z C =9 O ° , Z A =Z A ' ,判断这两个三角形是否相似.C R解 ： 相 似 ， 因为N C =N C , N A =N A "根据相似三角形的判定定理1可知C - M B C .例 2 在 M B C 与 AABC'中 ，Z A =Z A ' =5 O ° , Z B =7 O ° , Z B =6 O ° , 这两个三角形相似吗? 解 ： 由三角形的内角和定理知N C ， =1 8 0 0 _ N A ， _ N B ， =1 8 0 0 _ 5 0 0 _ 6 0 °=7 0 。
, / . zC ^Z B , 又•.・NA=NA' , .•.△ABCSAA'C'B'.【 教学说明】教师注意引导学生分析N B 不一定与N B ' 对应.例 3 如图, 4 B C 中 , D E I I B C , E F I I A B , 试说明“D E i E F C .证 明 ： •••D E I I B C , . , . Z A E D =Z C . X ' / E F I I A B , . - . Z C E F =Z A . . - . △ A D E - △ E F C三、运用新知， 深化理解1 . S B C 中 ， Z A C B =9 O ° , C D L A B 于 D , 找出图中所有的相似三角形.2 . S B C 中 ， D 是 A B 的边上一点， 过点D 作一直线与A C 相交于E , 要使△A D E 与M B C 会相似， 你怎样画这条直线? 说明理由. 和你的同伴交流作法是否一样 .【 答案】1 . A A C D - A C B D - M B C2 . 有两种不同的画法①过D 点作D E I I B C , D E 交 A C 于点E ② 以 AD为一边在" B C 内部作NADE=NC,另一边DE交 AC于 点 E.【 教学说明】第 2 题注意分类讨论.四、师生互动， 课堂小结这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？ 还有什么疑惑？ 说说看.课后作业1 . 布置作业： 从教材相应练习和" 习题23. 3 " 中选取.2 . 完成练习册中本课时练习的" 课时作业”部分.教学反思3.相似三角形的性质教与目标【 知识与技能】会说出相似三角形的性质： 对应角相等， 对应边成比例， 对应中线、角平分线、高的比等于相似比， 周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方. 【 过程与方法】培养学生演绎推理的能力.【 情感态度】感受数学来源于生活， 来源于实践.【 教学重点】1 . 相似三角形中的对应线段比值的推导；2 . 相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；3 . 运用相似三角形的性质解决实际问题.【 教学难点】相似三角形性质的灵活运用， 相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用.教学国睚一、情境导入， 初步认识复 习 ： 1 . 判定两个三角形相似的简便方法有哪些？2 . 在- A B C 与- A B C ' 中 , A B =1 0 c m , A C =6 c m , B C =8 c m , A ' B ' =5 c m , A ' C ' =3 c m , B ' C=4 c m , 这两个三角形相似吗？ 说明理由. 如果相似， 它们的相似比是多少？二、思考探究， 获取新知 上述两个三角形是相似的， 它们对应边的比就是相似比，AA B CSA A B C ,相似 比 为 黑=2 .A C相似的两个三角形， 它们的对应角相等， 对应边会成比例， 除此之外， 还会得出什么结果呢？一个三角形内有三条主要线段——高线、中线、角平分线， 如果两个三角形 相 似 ， 那么这些对应的线段有什么关系呢？ 我们先探索一下它们的对应高之间的关系.同学画出上述的两个三角形， 作对应边B C和B C边上的高， 用刻度尺量一量A D与A D的 长 ,ADA'D7等于多少呢？ 与它们的相似比相等吗？ 得 出 结 论 ： 相似三角形对应高的比等于相似比. 我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？△A B D和" ' B ' D '都是直角三角形， 且NB =NB ' .A n AR••. △A B D f B ' D ' , . • . * = * =kArDr ArBf思 考 ： 相似三角形面积的比与相似比有什么关系?【 教学说明】引导学生通过演绎推理来证明.CS AABC_ AD BCyA'D '-B'C A D 归 纳 ： 相似三角形面积的比等于相似比的平方.同学们用上面类似的方法得出： 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 ； 相似三角形对应角平分线的比等于相似比； 相似三角形的周长之比等于相似比.例1如梯形ABCD的对角线交于点0，节 ■ =：， 已知, 求S-皿【 分析】•.-D CI I A B.. - .AD OC-A BO A , 由相似三角形的性质可求出SMOB、解 ：,••DCIIAB， ,AD OC-ABOA ,. /）△ 0 0。
•而二而=了…屋AOD =汨 _ 亍・ s• • c RAOD.c 4D0CDCAB三、运用新知， 深化理解1.如 图 ， 这是圆桌正上方的灯泡（ 看作一个点） 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（ 图 形 ） 的示意图. 已知桌面的直径为1. 2m ,桌面距离地面为1m ,若灯泡距离地面3m ,则 地 面 上 阴 影 部 分 的 面 积 为 . 【 教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键.2 .如图，A A BC中 ,BC=2 4c m , 高A D =12 c m , 矩 形E F G H的两个顶点E、F在BC上 ， 另两个顶点G、H分别在A C、上 上 ， 且E F : E H =4 : 3 ,求E F、E H的长.【 答案】1. 0. 81TTD122 . H G =9 . 6c m ; E H =7. 2 c m【 教学说明】充分运用矩形边长的比来建立方程， 可使问题得到解决.四、师生互动， 课堂小结1 .相似三角形对应角相等， 对应边成比例.2 .相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比， 周长比等于相似比 ， 面积比等于相似比的平方.课后作业1 .布置作业： 从教材相应练习和" 习题2 3. 3 "中选取.2 .完成练习册中本课时练习的" 课时作业”部分 教与反思4 .相似三角形的应用: ？敦与目标【 知识与技能】会应用相似三角形的有关性质， 测量简单的物体的高度或宽度. 自己设计方案测量高度, 体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.【 过程与方法】通过利用相似解决实际问题， 进一步提高学习应用数学知识的能力.【 情感态度】让学生体会数学来源于生活， 应用于生活， 体验数学的功用.【 教学重点】构建相似三角形解决实际问题.【 教学难点】 把实际问题抽象为数学问题， 利用相似三角形来解决.教学同睚一、情境导入， 初步认识复习1 .相似三角形有哪些性质？2 . 如 图 ,B、C、E、F 是在同一直线上,A B±BF , D E ±BF , A CI I D F .(1 ) AD E F与" B C相似吗?为什么?(2 )若 D E =1 , E F =2 , BC=10 ,那么 A B 等于多少?((1 ) AD E X A BC. ( 2 ) A B=5 )二、思考探究， 获取新知第二题我们根据两个三角形相似， 对应边成比例， 列出比例式计算出A B的长. 人们从很早开始， 就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.例1古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 为了测量金字塔的高度0B ,先竖一根已知长度的木棒O'B',比较木棒的影长A B与金字塔的影 长AB ,即可近似算出金字塔的高度0B , 如果O'B'=1米A'B'=2米 ，AB=274米 ,求金字塔的高度0B.【 分析】因为太阳光是互相平行的， 易得AAO B JAA OB ,从而求得0B的长度 .解 ： 二•太阳光是平行光线即O'A'IIOA,...N0AB=N0'A'B'.又. • .NA B0=NA 'B'0'=9 0° ,...△ OA BSAOA B.- .( )B - 274 * 1 - 137( X )答 ： 金字塔的高度0B为137米 .例2如图， 为了估算河的宽度， 我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ,再在河的这一这一边上选定点B和C , 使AB±BC , 然后选定点E , 使EC_LBC ,用视线确定BC和AE的交点D , 此时如果测得BD=120米 ,DC=60米 ，EC=50米 ，求两岸间的大致距离AB.ACBDE 解 ： •••Z A D B=Z E D C, Z A BC=Z E CD =9 O°, . “A BDS AE CD （ 两角分别相等的两个三角形相似）， ， A BE C=BD CD ,解得A B=空事=吗 笆 =100 （ 米 ） .CD 60答 ： 两岸间的大致距离为100米 .这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.例 3如图, 已知D 、E 是" B C 的边A B、A C上的点， f i z A D E =z C.求证：A D -A B=A E -A C.【 分析】把等积式化为比例式差=令 , 猜 想 " D E 与" B C 相似， 从而找AE AB条件加以证明.证 明 ： •: N A D E =N C, Z A =Z A ,.,.△ A D E -AA CB （ 两角分别相等的两个三角形相似） .,AD AE一衣 一 布 ’.-.A D -A B=A E -A C.三、运用新知， 深化理解1.如图， 一条河的两岸有一段是平行的， 两岸岸边各有一排树， 每排树相邻两棵的间隔都是10m ,在这岸离开岸边16n l 处看对岸， 看到对岸的两棵树的 树干恰好被这岸两棵树的树干遮住， 这岸的两棵树之间有一棵树， 但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树， 这段河的河宽是多少米？【 教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型， 可先证得M BE s A A CD ,再根据对应线段成比例可求出河宽， 即线段BC的长.2. 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼， 两人用测量影子的方法测算其楼高， 但恰逢阴天， 于是两人商定改用下面方法： 如 图 ， 亮亮蹲在地上， 颖颖站在亮亮和楼之间， 两人适当调整自己的位置， 当楼的顶部M， 颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时， 两人分别标定自己的位置C、D , 然后测出两人之间的距离CD =1.2 5 m ,颖颖与楼之间的距离D N =30m （ C、D、N在一条直线上），颖颖的身高BD =1. 6m ,亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离A C=O. 8m， 你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？【 答案】1 . 2 4m 2 . 2 0. 8m【 教学说明】过 点A作M N的垂线段， 构造相似三角形.四、师生互动， 课堂小结 这节课你学习了哪些知识， 有哪些收获？ 还有哪些疑问？【 教学说明】学生小组讨论， 分小组陈述演示， 教师归纳板书., ' 课 后 作 业1 . 布置作业： 从教材相应练习和" 习题23. 3 " 中选取.2 . 完成练习册中本课时练习的" 课时作业”部分.管教学反思2 3 . 4中位线敦与目标【 知识与技能】1 . 经历三角形中位线的性质定理形成过程.2 . 掌握三角形中位线的性质定理， 并能利用它解决简单的问题.3 . 通过命题的教学了解常用的辅助线的作法， 并能灵活运用它们解题， 进一步训练说理的能力. 【 过程与方法】通过学习， 进一步培养自主探究和合作交流的学习习隈【 情感态度】进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点、转化的思想.【 教学重点】三角形中位线的性质定理.【 教学难点】三角形中位线的性质定理的应用.教学国程一、情境导入， 初步认识在前面2 3. 3节 中 , 我们曾解决过如下的问题： 如 图 ，A A BC中 ,D E I I BC,则△A D E ， "BC.由此可以进一步推知， 当 点D是A B的中点时， 点E也 是A C的中点.现在换一个角度考虑， 如果点D、E原来就是A B与A C的 中 点 ， 那么是否可以推出D E I I BC呢 ？ D E与BC之间存在什么样的数量关系呢?C二、思考探究， 获取新知 1 . 猜想： 从画出的图形看， 可以猜想：DEIIBC,且 DE='BC.22 .证明： 如图,M BC中 ， 点D、E分别是AB与AC的中点， 二空 =空 =《...•NA=NA, .-.AADE-AABC （ 如果一个三角形的两条边与另一个三角AB AC 2形的两条边对应成比例， 并且夹角相等， 那么这两个三角形相似） ，.-.ZADE=ZABC,爱 = ＜相似三角形的对应角相等， 对应边成比例），BC 22思 考： 本题还有其他的解法吗？已知： 如图所示，在"B C 中 ，AD=DB , AE=EC.求证：DEllBC, DE=-BC.2AR C【 分析】要证DE IIBC, DE=|BC,可延长DE到F , 使EF=DE ,于是本题就转化为证明DF=BC , DE IIBC,故只要证明四边形BCFD为平行四边形.还可以作如下的辅助线. 【 归纳结论】我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线， 并且有三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.【 教学说明】介绍中位线时， 强调它与中线的区别.例1求 证 ： 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已 知 ： 如 图 ， 在AA BC 中 ,A D =D B , BE =E C , A F =F C.求 证 ：A E、D F互相平分.E【 分析】要 证A E、D F互相平分， 即要证四边形A D E F为平行四边形.证 明 : 连 结 D E、E F . .••A D =D B, BE =E C,.,.D E II A C ,同理可得 E F II BA .二•四边形A D E F是平行四边形.・• . A E、D F互相平分.例2如 图 , 在U B C中 ，D、E分别是边BC、A B的 中 点 ,A D、CE相交于点。
・求证垓嚼］【 分析】有两边中点易想到连接两边中点构造三角形的中位线. A证 明 ： 连 结El).■ ： D、E分别是边BC、AB的中点,△ A CCs △〃£（ ； ,. GE_GL）_D E _\_"GC = GA"AC = T'. GE_GD_\_"TIE" AD " S '思 考 ： 在例2 的图中取A C的中点F， 假设BF 与 A D 相交于点G ', 如图， 那么我们同理可得察= 1 ,即两图中的G 与 G '是重合的， 由此我们可以得出什AD 3么结论？归纳： 三角形三条边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心， 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的y .三、运用新知， 深化理解 1 . 如图， 在 ABCD中 ， 有E、F分别是AD、BC上的点， 且DE=CF , BE和AF的交点为M , CE和DF的交点为N.求证：MNllAD, MN=12AD.A D第 1 题图 第 2 题图2 .如图， 在四边形ABCD中 ， 对角线AC、BD交于点0 , E、F分别是AB、CD的中点， 且AC=BD.求证：OM=ON.【 答案】1. 解 ： 连结EF ,证四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形，得 FM=AM , FN=DN , .".MNII AD, MN=yAD.2 . 解 ： 取BC的中点G , 连接EG , FG ,••,BG=CG , BE=AE , .,.GE=-AC , EG II AC2.1.ZONM=ZGEF ,同理 GF二 ，BD ,2ZOMN=ZGFE , •」AC=BD ,.-.GE=GF, .,.ZGEF=ZGFE ,.,.ZONM=ZOMN ,.,.OM=ON.【 教学说明】引导学生取BC的中点， 构造中位线. 四 、 师 生 互 动 ， 课堂小结1 .三 角 形 中 位 线 定 理 ： 三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边 ， 并且等于第三边的2 .三角形中位线定理的应用.3 .三角形重心的性质., '课 后 作 业1 .布 置 作 业 ： 从 教 材 相 应 练 习 和 " 习 题23. 4 "中选取.2 . 完 成 练 习 册 中 本 课 时 练 习 的 " 课 时 作 业 ”部分.?教 学 反 思2 3 .5 位似图形敦 与 目 标【 知 识 与 技 能 】 1 .会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小.2 . 理解位似法画相似图形的原理， 能正确选择位似中心画相似图形.【 过程与方法】培养学生动手作图能力.【 情感态度】培养学生良好的数学习惯和严谨科学的学习态度.【 教学重点】位似的概念以及利用位似将一个图形放大或缩小.【 教学难点】比较放大或缩小后的图形与原图形， 归纳位似放大或缩小图形的规律.教学国睚一、情境导入， 初步认识相似与轴对称、平移、旋转一样， 是图形的一个基本变换. 要把一个图形放大或缩小， 又要保持其形状不变. 就是要画相似图形， 现在我们先从画相似多边形开始.现在要把五边形A BCD E放大到1. 5倍 ， 即是要画一个五边形A 'B'C'D E ,要与五边形A BCD E相似且相似比为1. 5 .现在我们来动手做一做， 同学们按以下步骤画出所需的多边形: : 土 日 ./ZxTK •1 . 任取一点0.2 . 以0为端点作射线0A、OB、0C、0D、0E .3 . 在射线 0A、OB、0C、0D、0E 上分别取点 A '、B'、C'、D '、F使 0A ':0A =0B' : 0B=0C : 06=00* : 0D =0E , : 0E =l . 5 .4 .连结A 'B', B'C', C D ； D 'E ', A 'E ',即得到所要画的多边形.二、思考探究， 获取新知思考： 用刻度尺和量角器量一量， 看看上面的两个多边形是否相似？上面的两个多边形相似（ 学生回答）你能否用演绎推理说明其中的理由？A'B' B'C CD' D'E' A ' E ' ,
角所对的直角边等于斜边的一半.三、运用新知， 深化理解1 . 如图，CD是R f ABC斜边上的中线，CD=4 , 贝 ！］AB=2 . 三角形三个角度度数比为1 : 2 : 3 ,它的最大边长是4cm ,那么它的最小边长为cm.3 . 如图， 在M BC中 ，AD是 高，CE是中线，DC=BE , DG_LCE,G为垂足.求证：（1 ） G是CE的中点；(2 ) zB=2zBCE. 4. 如图,△ABC 中 , AB=AC , zC=30° , AB±AD , AD=2cm,求 BC 的长.【 答案】1.82.23. 证 明 : (1 ) 连接 DE.•. 在 RbADB 中 , DE=；AB , 又■ . BE=；AB,DC=BE,.•.DC=DE. /DG±CE,.-.G 为 CE 的中点.(2 ) ■. BE=ED=DCr-.zB=zEDB,zEDB=2zBCE,/.zB=2zBCE.4.6cm【 教学说明】可由学生小组讨论完成， 教师归纳.四、师生互动， 课堂小结1 . 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2 . 直角三角形中， 30 角所对的直角边等于斜边的一半.3 . 有斜边上的中点， 要考虑构造斜边上的中线或中位线.课后作业 1 . 布置作业： 从教材相应练习和" 习题24.2"中选取.2 . 完成练习册中本课时练习.申敦与反思24.3锐角三角函数L锐角三角函数第1课时锐角三角函数J敦学目标【 知识与技能】L 使学生掌握锐角的四种三角函数的定义.2 . 使学生掌握锐角三角函数的取值范围.【 过程与方法】1. 使学生会利用三角函数的定义， 表示出直角三角形中某个锐角的三角函数值. 2 . 使学生会利用锐角三角函数的定义求三角函数值.3 . 使学生学会运用参数法求三角函数值.【 情感态度】培养学生的数形结合的思想和探索的精神.【 教学重点】三角函数的定义及三角函数值的求法.【 教学难点】引入参数三角函数值.: ' 教 与 国 睚一、情境导入， 初步认识1 . 含30。
角的直角三角形， 有什么性质?答 ： 30 角的直角三角形中， 30 角所对的直角边与斜边的比值为1 .2 . 上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗?答 ： 无关.3 . 含45 角的直角三角形中， 45 角所对的直角边与斜边的比值为多少？这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？ 答： —, 无关.24. 一般地， 在RfABC中 ，z A为其一个锐角， 当NA取一个固定的值时，zA所对的直角边和斜边的比值固定吗？答 ： 固定不变. 如下图在 R t A A ^ C,,R t /\AB2C2, R t /\AB.C｝中，乙A的对边和斜边的比值分别为:BlCl 82 c 2 B3c3ABi ' AB, ' AB}'82 c 2 〃B3 c 3R t A A B1C 1 R t △ A B,C2^R t^A B3C3.. - 4 的对边 _ B] G _ B2c2 _ B3G 里一,, — MS―= 诟 f = 7B7= 葩-尼一定值.我们把这个固定的比值， 称为NA的 正 弦 ， 记 作sinA,当NA看作变量时,sinA常称为NA的正弦函数， 正弦函数是三角函数的一种， 今天我们就来研究锐角三角函数.二、思考探究， 获取新知( - ) 锐角三角函数的定义如图， 在 RbABC 中 ,zC=90°A, 乙帕勺对边 BC a" 的正弦" & = ^ NA 的余弦： cosA乙如勺邻边_ AC '斜边 ABNA 的正切： tanA乙帕勺对边 BC _ a" 廓 边 一 就 一 g【 教学说明】这三个三角函数的书写和含义， 特别是不能看成是乘法的关系 ， 另外角的符号也常常省略.提 问 ： 你能按定义写出NB的三个三角函数来吗？（ 二 ） 锐角三角函数的取值范围在 RNABC 中 ，NA 为其一锐角, 有 0
为原点， 0P与 x 轴的夹角为a , 贝 ！］ sina=2. 在 Rt^ABC 中 , NC=9(r,ac=K^!J cosA=.3. 在 RbABC 中 , zC=90° , tanA=1 , 则 sinA=,,cosA=4. 如图, 在^ABC 中 ， zABC=60°,AB : BC=2 : 5,求 tanC 的值.RAC 【 答案】 15 2. J| 3. 零京加4 , f【 教学说明】第 4 题教师适当点拨: 过A点作AD±BC构造直角三角形.四、师生互动， 课堂小结L 锐角三角函数的定义：Na的正弦： sina=Na的对边斜边Na的余弦: cosa=Na的邻边斜边za的正切: tana=Na的对边Na的邻边2 . 锐角三角函数的取值范围：当Na为锐角时， 0
、45 、60 角的三角函数值推导过程， 从而掌握特殊角的三角函数的运用方法.【 过程与方法】学生经历30 、45 、60 角的三角函数值推导过程， 发展学生的推理能力和计算能力.【 情感态度】通过本节课的学习了让学生体会锐角三角函数的数学美， 从而培养学生的数学应用意识.【 教学重点】熟 记30 、45 、60 角的三角函数值.【 教学难点】根据函数值说出对应的锐角度数. y教字国引一、情境导入， 初步认识上节课我们学习了锐角三角函数的定义.复习如图所示RbDEC , NE=9(T,DE=6,CD=10,求ND的三个三角函数值.(sinD=4/5,cosD=3/5,tanD=4/3)二、思考探究， 获取新知你能否根据锐角三角函数的定义求出30 角的三个三角函数值？1. 探究如图， 在 Ri A.45C中， 乙C =90°,4 4 =30°.(2 )由勾股定理可得AC1 =AB- -BC2,AC= ^JAB2 - BC2 = y.4BBC sin30°ECABIfAB12旦AB/ AC 2 "COS 3° = 而 = =ta n 3办BC° =4C问： 如何求60 角的三角函数值?s i n 60 °y ,c o s 600 =BCABx2t a n 60° = 母 =gI Jc *2.做一做在 R t A /1BC,乙 C = 9 0° ,乙4 =45。
， 根据锐角三角函数的定义求出乙4的三角函数值思考： (1)4C = 8C.(2 )由勾股定理可知AB = JAC2 + BE =RAC.归纳：s i n 45 = 《 ,c o s 45 ° =?,t a n 45 1.2 2 ―3. 填表思 考 ：(l)sina随着a的增大而增大;asinacosatana30°1T45°160°1(2 ) cosa随着a的增大而减小; (3 ) tana随着a的增大而增大.例求值:Sin300 tan30°+cos600 tan60°解:原式=；x里 +院 也 =季2 3 2 3三、运用新知， 深化理解1 .计 算 ： (1 ) 1 3 -夜 | + ( - ^ ) ° +2+五c o s2300 -4s i n 60° ；( 2 ) 2 (2 c o s 45s i n 60 ) + 詈；(3)(s i n 30°)-1 -2 014° + | -4 -t a n 60°.2 . 直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为:， 则k的值为.3 .求下列锐角a的大小：(1 )4COS2Q! - 3 J § s i n 45 ° = 0 ；(2 )t a n2a - ( 8 + 1)t a n a + 8 = 0. .4 . 已知， 如图, 在M BC 中 ，zB=45° , NC=60°,AB=6,求 / \13 CBC的长. ( 结果保留根号)【 教师点拨】第1题的计算， 注意理清运算顺序； 第2题可构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决， 注意两种情况； 第3题先求出a的三角函数值， 再根据其值求角的度数.【 答案】1.(1)-5 (2 )2 (3)1+3 82. ±2 3. (1 )30° (2 )60°或45。
4.3 厄+ £四、师生互动， 课堂小结 本 节 课 你 学 到 了 哪 些 知 识 ？有 哪 些 收 获 ？课 后 作 业1 . 布 置 作 业 ： 从 教 材 相 应 练 习 和 " 习 题24.3"中选取.2 . 完成练习册中本课时练习.1教 字 反 思2 , 用计算器求锐角三角函数值: ' 敦 与 目 标【 知 识 与 技 能 】经 历 用 计 算 器 由 已 知 锐 角 求 它 的 三 角 函 数 值 ， 及 由 已知的三角函数值求锐角 的 过 程 ， 进 一 步 体 会 三 角 函 数 的 意 义 ， 学会应用方法.【 过 程 与 方 法 】能用计算器进行有关三角函数值的计算.【 情 感 态 度 】 培养学生良好的操作能力， 以及实际应用思维， 体会三角函数在生产、生活中的应用价值.【 教学重点】用计算器求任意角的三角函数值.【 教学难点】用计算器求锐角三角函数值时要注意按键顺序.寻敦孚国睚一、情境导入， 初步认识同学们， 前面我们学习了特殊角30 、45 、60 的三角函数值， 但一些非特殊角（ 如 17°、56 、89 等 ） 的三角函数值又怎么求呢?这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.二、思考探究， 获取新知拿出计算器， 熟悉计算器的用法.下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.（ 1 ） 求已知锐角的三角函数值.例 1 求 sin63°52'41"的值.（ 精确到 0.0001）解 ： 先用如下方法将角度单位状态设定为" 度" S H I F T M O D E［（S E T UP） 3 , 显示回再按下列顺序依次按键：| 嗣同用问冈目四⑷川四日|显示结果为0.897859012.所以 sin63°524r£0.8979.注意： SETUP是键瓯目的第二功能， 启用第二功能， 需先按〔SHIFT健.例 2求 tanl9。
”， 的值. （ 精确到0.0001）解 ： 在角度单位状态为" 度" 的情况下（ 屏幕显示©）, 按下列顺序依次按键：||tai徘 回 严 同 已 "显示结果为0.349215633.所以 tanl9°15£0.3492.（ 2 ） 由锐角三角函数值求锐角.例 3 已知tanx=0.7410 , 求锐角x .（ 精确到1,）解 ： 在角度单位状态为" 度" 的情况下（ 屏幕显示目）， 按下列顺序依次按键：|S H【 印 画 （ ta」 ） 回口团团" 叵三］ 司示结果为36,53844577.再按键忖， 显示结果为36°32'18.4". 所以 x*36°32,.三、运用新知， 深化理解1 . 用计算器求sin28 、cos27 、tan26 的值， 它 们 的 大 小 关 系 为 .2 . 已知 tanA=0.3249,则 NA 约为.3 . 升国旗时， 某同学站在离国旗20m处行注目礼， 当国旗升至顶端时， 该同学视线的仰角为42 , 若双眼离地面1.6m , 求旗杆AB的高度.（ 精确到0.01m）A第 3题图 第 4 题图4 . 如图， 一名患者体内某器官后面有一肿瘤， 在接受放射性治疗时， 为了最大限度地保证疗效， 并且防止伤害器官， 射线必须从侧面照射肿瘤， 已知肿瘤在皮下6.3cm的 A 处 ， 射线从肿瘤右侧9.8cm的 B处进入身体， 求NCBA的度数.【 答案】I.sin280 的 方 向 ， 在 炮 台 B处测得敌舰C在它的正南方 ， 试求敌舰与两炮台的距离（ 精 确 到 1米 ） .解 : 在 RNABC中 ,1.zCAB=90°-zDAC=50°,BCAB=tanzCAB,.,.BC=ABtanzCAB=2000xtan50°~2384 （ 米 ） .. AB rn o—=cos50AC• .AC=ABco.v50°2000co.v50°v3111 （米 ） .答 ： 敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米 和 2384米.问 ： AC还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法， 分 析 比 较 ， 得 出 ： 使用题目中原有的条件， 可使结果更精确. 问 ： 通过对上面两个例题的学习， 如果让你设计一个关于解直角三角形的题目， 你会给题目几个条件？ 如果只给两个角， 可以吗？（ 几个学生展示）学生讨论分析， 得出结论.问 ： 通过上面两个例子的学习， 你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳： 解直角三角形， 只有下面两种情况：（1） 已知两条边；（2 ） 已知一条边和一个锐角.【 教学说明】使学生体会到" 在直角三角形中， 除直角外， 只要知道其中2个元素（ 至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素三、运用新知， 深化理解1 . 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳， 问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2 . 海船以32 .6海里/ 时的速度向正北方向航行， 在A处看灯塔Q在海船的北偏东30。 处 ， 半小时后航行到B处 ， 发现此时灯塔Q与海船的距离最短， 求灯塔Q到B处的距离. （ 画出图形后计算， 精确到0.1海里）【 答案】L 6米2 9 4海里四、师生互动， 课堂小结 1 . " 解 直 角 三 角 形 ”是求出直角三角形的所有元素.2 . 解 直 角 三 角 形 的 条 件 是 除 直 角 外 的 两 个 元 素 ， 且 至 少 需 要 一 边 ， 即已知两边或已知一边和一锐角.3 . 解直角三角形的方法.【 教 学 说 明 】让 学 生 自 己 小 结 这 节 课 的 收 获 ， 教 师 补 充 、纠正.课 后 作 业1 . 布 置 作 业 ： 从 教 材 相 应 练 习 和 " 习 题24.4"中选取.2 . 完成练习册中本课时练习.1教 字 反 思第 2 课时俯角和仰角的问题穹敦 与 目 标【 知 识 与 技 能 】1. 理解仰角、俯 角 的 含 义 ， 准确运用这些概念来解决一些实际问题. 2. 培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.【 过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【 情感态度】在探究学习过程中， 注重培养学生的合作交流意识， 体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想， 激发学生学习数学的兴趣.【 教学重点】理解仰角和俯角的概念.【 教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.F瓠字Eili呈一、情境导入， 初步认识如 图 ， 为了测量旗杆的高度BC ,小明站在离旗杆10米的A处 ， 用 高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角a /=52。 然后他很快就算出旗杆BC的高度了. （ 精 确 到0.1米 ） / 1悒- - - - - -1E你知道小明是怎样算出的吗？ A B二、思考探究， 获取新知想要解决刚才的问题， 我们先来了解仰角、俯角的概念. 视线铅垂线仰角聊 角水平线视线【 教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【 分析】在 RfCD E中 ， 已知一角和一边， 利用解直角三角形的知识即可求出CE的长, 从而求出CB的长.解 ： 在 RMCDE 中 ， .. CE=DE-tana=AB-tana=10xtan52°ul2.80 ,.1.BC=BE+CE=DA+CE~12.80+1.50=14.3 .答 ： 旗杆的高度约为14.3米 . ，A例 如 图 ， 两建筑物的水平距离为32.6m , 从点A 测得点 ' 、:、 、D 的俯角a为 35 12） 测得点C 的俯角0为 43 24 , 求 这 两 个 建 - - - - - - -%筑物的高.（ 精确至U 0.1m ）解: 过点 D 作 DELAB 于点 E , 贝 ［UACB邛 =43°24'/ADE=35°12',DE=BC=32.6m.在 RNABC 中 ， • . tanNACB=C2,BC/.AB=BC-tanzACB=32.6xtan43°24,«30.83 （ m ） .在 RfADE 中 z vtanzADE= —zDE .-.AE=DE tanzADE=32.6xtan35o12,«23.00 ( m )..-.DC=BE=AB-AE=30.83-23.00~7.8 （ m ）答 ： 两个建筑物的高分别约为30.8m , 7.8m.【 教学说明】关键是构造直角三角形， 分清楚角所在的直角三角形， 然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知， 深化理解1.如图， 一只运载火箭从地面L 处发射， 当卫星达到A 点时，A4、从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km， 仰角为43。 ， 3km「弋、1s后火箭到达B点 ， 此时测得BR的距离是6.13km， 仰角为 周 ? 哂 泣 .45.54° , 这个火箭从A 到 B的平均速度是多少?（ 精确至！］ 0.01km/s ）2.如图所示， 当小华站在镜子EF前 A 处时， 他看自己的脚在镜中的像的俯角为45 ； 如果小华向后退0.5米到B处 ， 这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30 . 求小华的眼睛到地面的距离.（ 结果精确到0.1米 ， 参考数据： 3y1.73 ）R A F. A, R,【 答案】1.0.28km/s 2.1.4米四、师生互动， 课堂小结 L这 节 课 你 学 到 了 什 么 ?你 有 何 体 会 ?2.这 节 课 你 还 存 在 什 么 问 题 ？导课 后 作 业1 .布 置 作 业 ： 从 教 材 相 应 练 习 和 " 习 题24.4"中选取.2 .完成练习册中本课时练习.申敦 与 反 思第 3 课时坡度问题敦 与 目 标【 知 识 与 技 能 】1 .使学生掌握测量中坡角、坡 度 的 概 念 ；2 .掌 握 坡 度 与 坡 角 的 关 系 ， 能 利 用 解 直 角 三 角 形 的 知 识 ， 解与坡度有关的实际问题.【 过 程 与 方 法 】 经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程， 进一步培养分析问题、解决问题的能力.【 情感态度】渗透数形结合的思想方法， 进一步培养学生应用数学的意识.【 教学重点】解决有关坡度的实际问题.【 教学难点】解决有关坡度的实际问题.教与亘ili呈一、情境导入， 初步认识读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时， 设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图， 坡面的铅垂高度（ h ）和水平长度（ I ）的比叫做坡面坡度（ 或坡比 ）， 记作i , 即 i=］ 坡度通常写成1： m 的形式， 如 i= l: 6.坡面与水平面的夹角叫做坡角， 记作a , 有 i=y =tana.显然， 坡度越大， 坡角a就越大， 坡面就越陡. 二、思考探究， 获取新知例 1 如图, 一段路基的横断面是梯形， 身为4.2米 ， 上底宽为12.51米 ，路基的坡面与地面的倾角分别是32。 和 28°,求路基下底的宽. （ 精确到0.1米 ）4.2.米~ A12.51米「- --4Ic、、28 ZF B解： 作D E ± AB. CF ± A B .垂足分别为点E、F.知 D E 二 CF = 4. 2,EF = CD = 12 . 5 1,天在 .nRt M八 A4DnEl7 r中H ， : yr =4 _.72 7 = t a n”3 2 AE AE-4^ 2^ 6. 7 2 .t a n3 2在Rt ZXB C T中. 同理可得：4 2t a nzo/ . AB = A E + E F + 8/ 七2 7 . 1 （米）例 2 学校校园内有一小山坡AB,经测量， 坡角/ABC=30 , 斜坡AB长为12米 ， 为方便学生行走, 决定开挖小山坡， 使斜坡BD的坡比是1 : 3 （ 即 CD与 BC的长度之比） A D两点处于同一铅垂线上， 求开挖后小山坡下降的高度AD.解 ： 在 RNABC 中 , zABC=30°,贝 ！J易求AC=6米 ， BC=63米DC 1在 RNBDC 中 , i=—= -.B C 3易得DC=28C = 2百 米3 .-.AD=AC-DC= （ 6-2 73 ） 米 .三、运用新知， 深化理解1 . 已知一坡面的坡度i= l：石, 则坡角a为 （ ）A.15° B.20°C.30° D.45°2 . 彬彬沿坡度为1: V3的坡面向上走50米 ， 则他离地面的高度为（）A.25g 米 B.50 米C.25米 D.50百米3 . 某水库大坝某段的横断面是等腰梯形， 坝顶宽6米 ， 坝底宽126米 ， 斜坡的坡比是1 ： 石 ， 则此处大坝的坡角和高分别是_ _ _ _ _ _ 米 .4 . 如图，一束光线照在坡度为1 : 8的斜坡上，被斜坡上的 y平面镜反射成与地面平行的光线， 则这束光线与坡面的夹角a是 - - - - - -X5 . 如图， 已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45。 ， 沿着坡角为30 的斜坡前进400m到点D处 ， 测得点A 的仰角为60° , 求 AB的高度.【 答案】l.C 2.C 3.30°20y/3 4.30°5, ( 20073+200 ) m 四 、 师 生 互 动 ， 课堂小结1 .本 节 学 习 的 数 学 知 识 ： 利用解直角三角形的知识解决实际问题.2 . 本 节 学 习 的 数 学 方 法 ： 数形结合的思想和数学建模的思想., ' 课 后 作 业1 . 布 置 作 业 ： 从 教 材 相 应 练 习 和 " 习 题24.4"中选取.2 . 完成练习册中本课时练习.教 学 反 思本章复习“ 李, 敦 与 目 标【 知 识 与 技 能 】1. 通 过 复 习 ， 使 学 生 系 统 地 掌 握 本 章 知 识 ， 熟练应用三角函数进行计算. 2. 了解仰角、俯角、坡度等相关概念， 掌握直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系， 能应用这些关系解决相关问题.【 过程与方法】应用锐角三角函数的有关知识解决实际问题， 进一步培养学生应用知识解决问题的能力.【 情感态度】通过解直角三角形的复习， 体会数学在解决实际问题中的作用， 激发学生学习数学的热情.【 教学重点】解直角三角形及其应用.【 教学难点】解直角三角形及其应用.「教孚国土一、知识结构框图， 整体把握直角三角形两个锐角互余L斜边上. 的中线等于斜边的一半30。 角所对的立角_边等于斜边的一半一应 . 解直角三角形勾股定理卜―边仰关系：锐角一角函数二、释疑解惑， 加深理解 1 . 直角三角形的边角关系： 在RfABC中 ,zA+zB=90°,a2+b2=c2,sinA=cosB=-,c. .-bcosA=smB=-zctanA =-,tanB =-.b a2 . 互余两角三角函数间的关系：如NA+NB=90°,sinA=cosB ,cosA=sinB,tanA'tanB=1,3 . 同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=l.4 . 特殊角的三角函数sinacosottana30°172g345°旦2区2160°旦21785 . 解直角三角形的基本类型及其解法如下表： 解直角三角形注意:类型已知条件解法两边两 直 角 边a、bc = + b2, t a n. 4 =:， 乙B = 9 0 一 乙Ab一 直 角 边Q , 斜边Cb = v c2 - a2, s i a 4 =— , A B = 9 0Q - / LAc一边一锐角一 直 角 边Q,锐角4A B = 9 0 ° -乙=a a- - - 7 ， c = ~—7t a n. 4 s i n4斜 边C ,锐角, 4A B = 9 0 ° - Z. . 4 , a = c• s i a 4 , 6 = c , c os 4（ 1） 一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法求解.（ 2 ）解直角三角形的方法可概括为" 有弦（ 斜 边 ） 用 弦 （ 正弦、余 弦 ），无弦有切（ 正 切 ）， 宁 乘 毋 除 ， 取 原 避 中 " . 其 意 指 ： 当已知或求解中有斜边时,可用正弦或余弦； 无 斜 边 时 ， 就 用 正 切 ； 当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法， 不用除法； 既可由已知数据又可用中间数据来求解时， 则取原始数据 ， 忌用中间数据.6. 应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步 ：第 一 步 ， 审清题意， 要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义. 第 二 步 ， 构造出要求解的直角三角形， 对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（ 包括正方形）.第 三 步 ， 选择合适的边角关系式， 使运算尽可能简便， 不易出错.第 四 步 ， 按照题目中已知数的精确度进行近似计算， 并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.三、典例精析， 复习新知例1 （ 内蒙古呼和浩特中考） 如 图，A、B两地之间有一座山， 汽车原来从A地 到B地经过C地沿折线A -C -B行 驶 ， 现开通隧道后， 汽车直接沿直线AB行驶. 已知AC= 10千 米 ，zA=30°,zB=45° ,则隧道开通后， 汽车从A地 到B地比原来少走多少千米?（ 结果保留根号）解 ： 作 解 ，AB,垂足为0.在 RtA4C0 中， ：乙4 =30。 ,CD=^-AC = 5.7ADCDtan30°58=58一3・ ・ • ZB =45°,/. BD = CD=59:. BC=5 区AC + BC-AB = \0+5 2 - ( 5 8 + 5)= 5+5 2 - 5 5答: 汽车从4 地 到 B 地比原来少走(5 +5 2 - 5 B )千米.例2 （湖南娄底中考）2013年3月 ， 某煤矿发生瓦斯 口 上 彳曝 炸 ， 该地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探 c^ A测仪在地面A、B两处探测到C处有生命迹象. 已知A、B两点相距4米 ， 探测 线与地面的夹角分别是30 和 45° （ 如图）， 试确定生命所在点C 的深度. （ 精确到 0.1 米 ， 参考数据： 72 «1,414,73 «1.732 ）解 ： 过点C 作 CDJLAB于点D.设 CD=xm.在 RMCBD 中 ,•.NCBD=45O,ND=90 ，.1.BD=CD=xm.CD x在 RNACD 中 , -. tanzCAD= —=AD x+4••・NCAD=30 , .•. 迫 = 上 .3 x + 4解得 x= 2"+ 2y 5.5.答 ： 生命所在点C 的深度约是5.5m.四、复习训练， 巩固提高1.（ 江苏连云港中考） 在 RMABC中 ,NC=90。 ,若 sinA=513 , 则 cosA的值是 （）A.5/12 B.8/13 C.2/3 D.12/132 .（ 广东深圳中考）如图, 已知Illi 121113 , 相邻两条平行直线间的距离相等 ， 若等腰直角△ ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上， 则 sina的值是（） 第 2题图第 3题图3 . （ 湖北荆门中考） 如图 ， 在 RfABC中 ,NACB=90°,D是 AB的中点, 过D点作AB的垂线交AC于点E , BC=6,sinA=3/5,则 DE=.4 . 如图， 某校一幢教学大楼的顶部竖有一块" 传承文明 ， 启智求真”的宣传牌CD,小明在山坡的坡角A 处测得 / / I f宣传牌底部D 的仰角为60° , 沿山坡向上走到B处测得宣4 E传牌顶点c 的仰角为45° , 已知山坡AB的坡度i=l : g ,AB=10米 ， AE=15米 ， 求这块宣传牌CD的高度.（测角器的高度忽略不计， 结果精确到0.1米，参考数据： V2 «1.414, 6^1.732 ）【 答案】l.D 2.D 3.15/4 4.2.7 米五、师生互动， 课堂小结本节课你学到了哪些知识？ 还有哪些知识没有掌握？. ‘课后作业1 . 布置作业： 从教材本章" 复习题" 中选取.2 . 完成练习册中本课时练习.检教与反思 第 25章随机事件的概率25.1 在重复试验中观察不确定现象「敦与目标【 知识与技能】1 . 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.2 . 会用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小.【 过程与方法】通过本节的学习， 会根据经验判断一个简单事件是属于必然事件、不可能事件还是随机事件. 懂得用试验的方法分析随机事件发生的机会的大小.【 情感态度】感受数学与现实生活的联系， 积极参与对数学问题的探讨， 利用数学的思维方式解决现实问题.【 教学重点】1 . 理解随机事件的特点， 会判断现实生活中哪些事件是随机事件；2 . 通过试验的方法来判断随机事件发生机会的大小.【 教学难点】判断现实生活中哪些事件是随机事件. 教 与 国 程一、情境导入， 初步认识1 . 播放一段天气预报， 引出一句古话" 天有不测风云”. 从这句话引申出世界上有很多事情具有偶然性. 人们不能事先判断这些事情是否会发生， 但是随着对事件发生可能性的深入研究， 人们发现许多偶然事件的发生也是有规律可循的. 所以天气预报也只是对未来天气的预测， 但并不是一定会如此.【 教学说明】激发学生的兴趣， 让学生体会数学源于生活， 生活中处处有数学.2. 分析说明下列事件能否一定发生.(1)今天不上课.(2)明天要下雨.(3)煮熟的鸭子飞了.(4)投一枚硬币， 正面向上.【 教学说明】教师提出问题， 引起学生的注意和思考， 让学生感知事件的发生有多种可能.二、思考探究， 获取新知探 究1掷一枚正方体骰子， 请考虑以下问题：(1)掷得的点有几种可能的结果？ (2)掷得的点数会是1吗 ？(3)掷得的点数小于7吗 ？(4)掷得的点数会是0吗 ？【 教学说明】教师提出问题， 请学生动手操作试验， 感知事件发生的多种情 况 ， 经过操作试验思考问题， 让学生分析阐述自己的观点， 初步感知事件发生的情况类别.1 . 从上述探究中可知， 有些事件发生与否是可以事先确定的， 有些事件发生与否是不能事先确定的.【 教学说明】教师引导学生归纳总结事件发生的三种情况， 增强学生对事件发生可能性的认识.【 归纳结论】我们称那些无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件， 称那些在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件， 必然事件和不可能事件统称为确定事件， 无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件称为随机事件.2 . 请同学们举生活中的实例说明必然事件、不可能事件、随机事件.【 教学说明】学生结合定义列举， 并能稍作阐述， 教师讲评、归纳、鼓励.3 . 做一做准备三张大小一样的图片， 把每张图片都对折， 剪成大小一样的两张. 将这六张小图片有图案的一面朝下， 然 后 混 合 ， 让你的同伴随机抽出两张小图片. 问题: (1 )你认为抽出的两张小图片正好能成功拼成原图的机会大吗？(2 )猜 一 猜 ， 大概平均几次里会有一次成功呢？ 并通过试验验证你的猜想.【 教学说明】教师提出问题， 引导学生试验， 学生通过试验， 观 察 结 果 ，思考并得出结论， 体会随机事件发生的可能性大小.探 究2问 题 ： 随机事件是否发生， 没人能够预测， 这 就 叫 “ 随 机 性 " ， 但是在捉摸不透的背后， 是否隐藏着某种规律？阅读教材1 2 8 ~1 2 9页图表.思 考 ：(1 )通过以上图表， 你发现有什么规律？ 发现当试验次数比较多的时候 ， " 出现正面”的频率在0 . 5附近波动.(2 )如果换成其他试验， 是否也能发现类似的规律？ 试 验 ：与你的同伴合作， 做一做抛掷两枚硬币的游戏， 全班同学每人各掷2 0次 ，一位同学抛的时候， 另一位同学协助记录试验结果， 汇集其他同学的记录， 完成教材表2 5 . 1 . 3和 图2 5 . 1 . 2 .思 考 ： 通过试验你发现1 . 在试验中， " 出现两个正面" 的频率稳定在_ _ _ _ _ % 附 近 ， " 出现一正一反" 的频率稳定在_ _ _ _ _ _%附近.2 . 如果将试验中的硬币换成瓶盖. 你觉得频率也会逐渐稳定吗？ 如 果 是 ， 那么稳定的数值会和(1 )中的一致吗？用试验验证你的猜想. 【 归纳结论】通过前面的试验， 我们可以发现， 虽然每次试验的结果是随机、无法预测的， 但随着试验次数的增加， 事件发生的频率会稳定在某一个数值 附 近 ， 所以我们可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小.三、运用新知， 深化理解1. 下列事件中， 属必然事件的是( )A.男生的身高一定超过女生B. 方程4x2=0有实数解C. 明天数学考试小明一定得满分D. 两个无理数相加一定是无理数2. 下列事件中， 哪些是随机事件？ 哪些是必然事件？ 哪些是不可能事件？说说你的理由.(1)掷一枚骰子，6点朝上.(2)367人中至少有2人出生日期相同.(3)小明想用长度为10cm,20cm,30cm的小木条， 首尾相接， 做一个三角形.(4)小明买福利彩票， 中500万奖金.3.20张卡片分别写着1,2,3,…,20,从中任意抽取一张， 号 码 是2的倍数的机会有多大？ 你能预测吗？ 请用重复试验的方法检验你的猜想. 【 教学说明】上述题目较为简单， 可让学生自主完成， 教师再选派几名学生作出回答即可.【 答案】1.B2.(1)随机事件(2)必然事件(3)不可能事件(4)随机事件3.1/2四、师生互动， 课堂小结本堂课你学到了哪些有关随机事件的知识？ 你有哪些收获和体会？ 说说看.【 教学说明】在学生回顾与反思本堂课的学习过程中， 进一步完善认知，师生共同归纳总结.课后作业1 . 布置作业， 从教材相应练习和" 习题25.1"中选取.2 . 完成练习册中本课时练习.教与反思 第 25章随机事件的概率25.1 在重复试验中观察不确定现象「敦与目标【 知识与技能】1 . 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.2 . 会用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小.【 过程与方法】通过本节的学习， 会根据经验判断一个简单事件是属于必然事件、不可能事件还是随机事件. 懂得用试验的方法分析随机事件发生的机会的大小.【 情感态度】感受数学与现实生活的联系， 积极参与对数学问题的探讨， 利用数学的思维方式解决现实问题.【 教学重点】1 . 理解随机事件的特点， 会判断现实生活中哪些事件是随机事件；2 . 通过试验的方法来判断随机事件发生机会的大小.【 教学难点】判断现实生活中哪些事件是随机事件. 教 与 国 程一、情境导入， 初步认识1 . 播放一段天气预报， 引出一句古话" 天有不测风云”. 从这句话引申出世界上有很多事情具有偶然性. 人们不能事先判断这些事情是否会发生， 但是随着对事件发生可能性的深入研究， 人们发现许多偶然事件的发生也是有规律可循的. 所以天气预报也只是对未来天气的预测， 但并不是一定会如此.【 教学说明】激发学生的兴趣， 让学生体会数学源于生活， 生活中处处有数学.2. 分析说明下列事件能否一定发生.(1)今天不上课.(2)明天要下雨.(3)煮熟的鸭子飞了.(4)投一枚硬币， 正面向上.【 教学说明】教师提出问题， 引起学生的注意和思考， 让学生感知事件的发生有多种可能.二、思考探究， 获取新知探 究1掷一枚正方体骰子， 请考虑以下问题：(1)掷得的点有几种可能的结果？ (2)掷得的点数会是1吗 ？(3)掷得的点数小于7吗 ？(4)掷得的点数会是0吗 ？【 教学说明】教师提出问题， 请学生动手操作试验， 感知事件发生的多种情 况 ， 经过操作试验思考问题， 让学生分析阐述自己的观点， 初步感知事件发生的情况类别.1 . 从上述探究中可知， 有些事件发生与否是可以事先确定的， 有些事件发生与否是不能事先确定的.【 教学说明】教师引导学生归纳总结事件发生的三种情况， 增强学生对事件发生可能性的认识.【 归纳结论】我们称那些无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件， 称那些在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件， 必然事件和不可能事件统称为确定事件， 无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件称为随机事件.2 . 请同学们举生活中的实例说明必然事件、不可能事件、随机事件.【 教学说明】学生结合定义列举， 并能稍作阐述， 教师讲评、归纳、鼓励.3 . 做一做准备三张大小一样的图片， 把每张图片都对折， 剪成大小一样的两张. 将这六张小图片有图案的一面朝下， 然 后 混 合 ， 让你的同伴随机抽出两张小图片. 问题: (1 )你认为抽出的两张小图片正好能成功拼成原图的机会大吗？(2 )猜 一 猜 ， 大概平均几次里会有一次成功呢？ 并通过试验验证你的猜想.【 教学说明】教师提出问题， 引导学生试验， 学生通过试验， 观 察 结 果 ，思考并得出结论， 体会随机事件发生的可能性大小.探 究2问 题 ： 随机事件是否发生， 没人能够预测， 这 就 叫 “ 随 机 性 " ， 但是在捉摸不透的背后， 是否隐藏着某种规律？阅读教材1 2 8 ~1 2 9页图表.思 考 ：(1 )通过以上图表， 你发现有什么规律？ 发现当试验次数比较多的时候 ， " 出现正面”的频率在0 . 5附近波动.(2 )如果换成其他试验， 是否也能发现类似的规律？ 试 验 ：与你的同伴合作， 做一做抛掷两枚硬币的游戏， 全班同学每人各掷2 0次 ，一位同学抛的时候， 另一位同学协助记录试验结果， 汇集其他同学的记录， 完成教材表2 5 . 1 . 3和 图2 5 . 1 . 2 .思 考 ： 通过试验你发现1 . 在试验中， "出现两个正面"的频率稳定在_ _ _ _ _ % 附 近 ， "出现一正一反"的频率稳定在_ _ _ _ _ _%附近.2 . 如果将试验中的硬币换成瓶盖. 你觉得频率也会逐渐稳定吗？ 如 果 是 ， 那么稳定的数值会和(1 )中的一致吗？用试验验证你的猜想. 【 归纳结论】通过前面的试验， 我们可以发现， 虽然每次试验的结果是随机、无法预测的， 但随着试验次数的增加， 事件发生的频率会稳定在某一个数值 附 近 ， 所以我们可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小.三、运用新知， 深化理解1. 下列事件中， 属必然事件的是( )A.男生的身高一定超过女生B. 方程4x2=0有实数解C. 明天数学考试小明一定得满分D. 两个无理数相加一定是无理数2. 下列事件中， 哪些是随机事件？ 哪些是必然事件？ 哪些是不可能事件？说说你的理由.(1)掷一枚骰子，6点朝上.(2)367人中至少有2人出生日期相同.(3)小明想用长度为10cm,20cm,30cm的小木条， 首尾相接， 做一个三角形.(4)小明买福利彩票， 中500万奖金.3.20张卡片分别写着1,2,3,…,20,从中任意抽取一张， 号 码 是2的倍数的机会有多大？ 你能预测吗？ 请用重复试验的方法检验你的猜想. 【 教学说明】上述题目较为简单， 可让学生自主完成， 教师再选派几名学生作出回答即可.【 答案】1.B2.(1)随机事件(2)必然事件(3)不可能事件(4)随机事件3.1/2四、师生互动， 课堂小结本堂课你学到了哪些有关随机事件的知识？ 你有哪些收获和体会？ 说说看.【 教学说明】在学生回顾与反思本堂课的学习过程中， 进一步完善认知，师生共同归纳总结.课后作业1 . 布置作业， 从教材相应练习和"习题25.1"中选取.2 . 完成练习册中本课时练习.教与反思 2 ,频率与概率: 」 教与目标【 知识与技能】1 . 了解运用列表法和树状图法理论分析随机事件的概率.2 . 理解每次试验可能的结果不是有限个， 或各种可能结果发生的可能性不相等时， 利用统计频率的方法估计概率.【 过程与方法】经历利用频率估计概率的学习， 使学生明白在同样条件下， 大量重复试验时 ， 根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数， 可以估计这个事件发生的概率.【 情感态度】通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题， 培养使用数学的良好意识， 激发学习兴趣， 体验数学的应用价值.【 教学重点】频率与概率的理解和应用.【 教学难点】利用频率估计概率的理解.教与国程 一、情境导入， 初步认识问题: 要想知道一个鱼缸里有12条 鱼 ， 只要数一数就可以了， 但要估计一个鱼塘里有多少条鱼， 该怎么办？【 教学说明】先前我们学习了用分析的方法求随机事件的概率， 那么这里的问题情境中， 很容易让学生想到这个事件的结果不能分析出来， 而且每种结果出现的可能性也不一定是相同的， 从而引发学生的求知： 对这类事件的概率该怎样求解呢？引入课题.二、思考探究， 获取新知问 题1 ： 怎样运用理论分析的方法求抛掷两枚硬币时出现两个正面的概率呢 ？【 分析】列表法树状图法/ \硬币］大 只便币2正反止反思 考 ： 理论分析与重复试验得到的结果是否是一致的？问 题2 : 见 课 本P142问 题3学生用自制的转盘做试验， 并完成课本P143表25.2.4和 图25.2.3. 拓展延伸： 课本P143 " 思考"【 教学说明】让学生通过试验的方法来预测随机事件的概率.问 ： 你能用理论分析的方法来预测两个转盘指针停在蓝色区域的概率吗？归纳： P（ 小转盘指针停在蓝色区域） =，P（ 大转盘指针停在蓝色区域） =y4思考1 ： 从重复试验结果中你得出了哪些结论？对以上这些问题， 既可以通过分析用计算的方法预测概率， 也可以通过重复试验用频率来估计概率.思考2 : 是不是所有的问题都可以这样呢？问题3 : 将一枚图钉随意向上抛起， 求图钉落定后钉尖触地的概率.【 分析】由于图钉的形状比较特殊， 我们无法用分析的方法预测P（ 钉尖朝上） 与 P（ 钉尖触地） 的值， 因此只能靠重复试验来帮忙.【 教学说明】让学生分成几个小组， 每小组10人 ， 每人试验50次 ， 每个小组数据累加起来， 并作好每个小组的实验记录.归纳： 通过试验发现， 当试验进行到720次后， 所得的频率值就在46%上下浮动， 我们可以取46%作为这个事件发生概率的估计值， 即 P（ 钉尖触地） 。 46%.三、运用新知， 深化理解 1 . 含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下， 每次抽出一张记下花色后再原样放回， 洗匀牌后再抽.不断重复上述过程， 记录抽到红心的频率为25% ,那么其中扑克牌花色是红心的大约有_ _ _ _ _ _ 张.2 .一个口袋中有12个白球和若干个黑球， 在不允许将球倒出来数的前提下,小亮为估计口袋中黑球的个数， 采用了如下的方法： 每次先从口袋中摸出10个球 ， 求出其中白球数与10的 比 值 ， 再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程5次 ， 得到的白球数与10的比值分别为：0.4, 0.1 , 0.2 , 0.1 , 0.2.根据上述数据 ， 小亮可估计口袋中大约有_ _ _ _ _ _ 个黑球.3 .在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只 ，某学习小组做摸球实验， 将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色， 再把它放回 袋 中 ， 不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：硬币"\正反正正正反正反正反反反(1)请 估 计 ， 当n很 大 时 ， 摸到白球的频率将会接近_ _ _ _ _ _；(2)假如你去摸一次， 你摸到白球的概率是， 摸到黑球的概率是(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只.【 答案】1.9 2.483.(1)0.6 (2)0.6 0.4 (3)8,12【 教学说明】可让学生自主完成， 分小组展示， 教师点评. 四 、 师 生 互 动 ， 课堂小结1 .你 知 道 什 么 时 候 用 频 率 来 估 计 概 率 吗 ？2 .你 会 用 频 率 估 计 概 率 来 解 决 实 际 问 题 吗 ？【 教 学 说 明 】教 师 先 提 出 上 述 问 题 ， 让 学 生 相 互 交 流 ， 再选派几名同学进行 回 顾 总 结 ， 师生再共同完善.. ” 课 后 作 业1 .布 置 作 业 ： 从 教 材 相 应 练 习 和 " 习 题25.2"中选取.2 .完成练习册中本课时练习.印教 与 反 思3 , 列举所有机会均等的结果「敦 与 目 标【 知 识 与 技 能 】 理解并掌握列表法和树状图法求随机事件的概率， 并利用它们解决问题，正确认识在什么条件下使用列表法， 什么条件下使用树状图法.【 过程与方法】经历用列表法或树状图法求概率的学习， 使学生明白在不同情境中分析事件发生的多种可能性， 计算其发生的概率， 解决实际问题， 培养学生分析问题和解决问题的能力.【 情感态度】通过求概率的数学活动， 体验不同的数学问题采用不同的数学方法， 但各种方法之间存在一定的内在联系， 体会数学在现实生活中的应用价值， 培养缜密的思维习惯和良好的学习习惯.【 教学重点】会用列表法和树状图法求随机事件的概率.区分什么时候用列表法， 什么时候用树状图法求概率.【 教学难点】列表法是如何列表， 树状图的画法.列表法和树状图的选取方法.: ＞教学亘程一、情境导入， 初步认识 播 放 视 频 《 田忌赛马》 ， 提 出 问 题 ， 引入新课.齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹， 每场比赛三匹马各出场一次 ， 共赛三次， 以胜的次数多者为赢. 已知田忌的马比齐王的马略逊色， 即 ： 田忌的上马不敌齐王的上马， 但胜过齐王的中马; 田忌的中马不敌齐王的中马， 但胜过齐王的下马; 田忌的下马不及齐王的下马. 田忌屡败后， 接受了孙膑的建议，结果两胜一负， 赢了比赛.(1)你知道孙膑给的是怎样的建议吗?(2)假如在不知道齐王出马顺序的情况下， 田忌能赢的概率是多少呢？【 教学说明】情境激趣， 在最短时间内激起学生的求知欲和探索欲.二、思考探究， 获取新知1 . 树形图求概率课 本149页 例4【 分析】对 于 第1次 抛 掷 ， 可能出现的结果是正面或反面; 对于第2、3次抛掷来说也是这样. 而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等， 由 此 ， 我们可以画出树状图.【 教学说明】教师引导学生画树状图， 使学生动手体会如何画树状图， 指导学生规范地应用树状图法解决概率问题.由例4总 结 得 ： 树状图从上到下， 列举了所有机会均等的结果， 可以帮助我们分析问题， 而且可以避免重复和遗漏， 既直观又条理分明. 思 考 ： 有的同学认为： 抛掷三枚普通硬币， 硬币落地后只可能出现四种结果 ：（ 1 ）全 是 正 面（ 2 ）两 正 一 反（ 3 ）两 反 一 正（ 4 ）全是反面因此这四个事件出现的概率相等， 你同意这种说法吗？ 为什么？答 ： 不同意. 因为由树状图可知在8种等可能结果中， 全是正面的只有一种,两正一反的有3种 ， 两反一正的有3种 ， 全是反面的只有1种.应 用 ： 课 本1 5 0页问题5【 分析】把两个白球分别记为白1和 白2 ,画出树状图， 从中可以看出，一共有9种等可能结果， 在 “ 摸 出 两 红 " 、 " 摸出两白" 、 " 摸出一红一白"这三个事件中， “ 摸出两红”的概率最小， 为1 / 9 摸 出 两 白 " 和 " 摸 出 一红 一 白 " 的 概 率 相 等 ， 都 是4 / 9 .【 教学说明】教师引导学生画出树状图， 注意第一次摸出1个 球 ， 放回搅匀这一条件； 注 意 分 析 " 放 回 " 与 " 不 放 回 " 的 区 别 .2. 列表法求概率课 本1 5 1页问题6【 分析】这一问题可用树状图法， 但不如列表的结果简明.【 教学说明】引导学生如何列表， 指导学生体会列君去对列举所有可能的结果所起的作用 ， 并比较它与树状图法的优劣. 应 用 ： 课 本152页问题7.分 析 ： 如 图 ， 画出树状图：乙一、,\J/-\，一次布偿版果结汇肥厘加m羽血石w7WT头布石在头刀布丁石剪，”：布剪布布<头刀剪布石剪A头刀石道刀甲头石m布剪试 一 试 ：请用列表法分析问题7.思 考 ： 两种方法结论是否一致？答 ： 一致.【 教学说明】教师引导学生应用树状图法求概率， 详细讲解树状图各点的操作方法， 学生结合列表法， 理解 分 析 ， 体会树状图的用法， 体验树状图的优势.三、运用新知， 深化理解1. 在一个不透明的盒子里装有用" 贝贝(B )"、 " 晶晶。 ) " 、 " 欢欢(H )"、" 迎迎(Y)"和 " 妮 妮(N )"五个福娃的图片制成的五张外形完全相同的卡片. 小华设计了四种卡片获奖的方案( 每个方案都是前后共抽两次， 每次从盒子里抽取一张卡片) .①第一次抽取后放黑盒子并混合均匀， 先 抽 到" B ", 后 抽 到"J "; ②第二次抽取后放黑盒子并混合均匀， 抽 到 " B " 和" 丁’( 不分先后) ;③第一次抽取后不再放回盒子， 先 抽 到 "B", 后 抽 到 “ 丁 ’;④第一次抽取后不再放回盒子， 抽 到 " B " 和" 丁’( 不分先后) ；问 ： (1 ) 上述四种方案， 抽中卡片的概率依次是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2 ) 如果让你选择其中的一种方案， 你会选择哪种方案? 为什么?【 教学说明】这是只涉及两个步骤的试验， 一般情况下用列表法求解， 但第③、④种方案 中 涉 及 到 “ 不 放 回 " 的 问 题 ， 我们选择树状图更好， 学生交流合作， 教师指导分析列表或画树状图.【 答案】1 . (1 ) 1 / 2 5 2 / 2 5 1 / 2 0 1 / 1 0 ;(2 ) 选择方案④， 因为方案④获奖的可能性比其他几种方案获奖的可能性大.四、师生互动， 课堂小结1 . 一次试验中可能出现的结果是有限多个， 各种结果发生的可能性是相等的. 通常可用列表法和树状图法求得各种可能结果.2 . 注意第二次放回与不放回的区别.3 . 一次实验中涉及3个或更多个因素时， 不重不漏地求出所有可能的结果,通常采用树状图法. 课后作业1 . 布置作业： 从教材相应练习和" 习题25.2"中选取.2 . 完成练习册中本课时练习.? 教与反思本章复习丁 敦 与 目 标【 知识与技能】掌握本章重要知识点， 会求事件的概率， 能用概率的知识解决实际问题.【 过程与方法】通过梳理本章知识， 回顾解决生活中的概率问题， 培养学生的分析问题和解决问题的能力.【 情感态度】在用本章知识解决具体问题的过程中， 进一步增强数学的应用意识， 感受数学的应用价值， 激发学习兴趣. 【 教学重点】本章知识结构梳理及应用.【 教学难点】利用概率知识解决实际问题.;敦与亘程一、知识框图， 整体把握二、释疑解感， 加深理解1 . 通过实例， 体会随机事件与确定事件的意义， 并能估计随机事件发生可能性的大小.2 . 结合具体情境了解概率的意义， 会用列举法（ 列表和树状图法） 求一些随机事件发生的概率.P（ A） =m/n（ n 是事件发生的所有的结果， m 是满足条件的结果） .3 . 对于事件发生的结果不是有限个， 或每种可能的结果发生的可能性不同的 事 件 ， 我们可以通过大量重复试验时的频率估计事件发生的概率.三、典例精析， 复习新知 例 1一张圆桌旁有四个座位， A 先坐在如图的座位上， B、C、D三人随机坐在其他三个座位上， 求 A 和 B不相邻的概率.分析: 按题意， 可列举出各种可能的结果， 再依此计算A 与 B O（2 ）O不相邻的概率. °解: 按顺时针方向依次对B、C、D进行排位， 如 下 ：三个座位被B、C、D三人随机坐的可能性共有6种 ， 由图可知：P（ A 与 B 不相邻） =2/6= 1/3.例 2 有两个可以自由转动的均匀转盘A、B , 分别被分成4 等份、3等份,并且每份内均标有数字, 如图所示：王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏， 游戏规则如下：①分别转动转盘A 与 B;②两个转盘停止后， 将两个指针所指的数字相加（ 如果指针恰好停在等分线上 ， 那么重转一次， 直到指针指向某一份为止） . 若和为0 , 则王扬获胜; 若和不为 0 , 则刘菲获胜.问 ：（1） 用树形图法求王扬获胜的概率. (2 )你认为这个游戏公平吗？ 说明理由.解： (1 )由题意可画树形图为:这个游戏有1 2种等可能性的结果， 其中和为0的有三种.王扬获胜的概率为： 3 / 1 2 = 1 / 4 .(2 )这个游戏不公平.••・王扬获胜的概率为1 / 4 ,刘菲获胜的概率为3 / 4， ， 游戏对双方不公平.例3 一个口袋中放有2 0个球， 其中红球6个 ， 白球和黑球各若干个， 每个球除了颜色外没有任何区别.(1 )小王通过大量反复试验( 每次取一个球， 放回搅匀后再取第二个) 发现,取出黑球的频率稳定在1 / 4左右， 请你估计袋中黑球的个数.(2 )若小王取出的第一个球是白球， 将它放在桌上， 闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取一个球， 取出红球的概率是多少？解 ：(1 )设黑球的个数为X个 , 则x / 2 0 = l/ 4廨 得 :x = 5 .所以袋中黑球的个数为5个.(2 )小王取出的第一个球是白球， 剩下1 9个球中有6个红球.•••P （红球）= 6 / 1 9 . 【 教学说明】师生共同回顾本章主要知识点， 教师适时给予评讲， 加深学生理解. 对于例题既可学生自主完成， 也可合作交流获得答案. 教师适当点拨， 达到巩固所学知识的目的.四、复习训练， 巩固提高L " 赵爽弦图" 是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形， 如 图 ， 是 一 " 赵 爽 弦 图 " 飞 镖 板 ， 其直角三角形两直角边分别是2和4 ,小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（ 假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上） ， 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（ 含边线） 的概 率 是 （ ）A.l/2 B.1/4C.l/5 D.1/102. 一个不透明的布袋里装有3个 球 ， 其 中2个 红 球 ，1个 白 球 ， 它们除颜色外其余都相同.（ 1）求 摸 出1个球是白球的概率.（ 2）摸 出1个 球 ， 记下颜色后放回， 并 搅 匀 ， 再 摸 出1个球. 求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（ 要求画树状图或列表） .（ 3）现再将n个白球放入布袋， 搅 匀 后 ， 使 摸 出1个球是白球的概率为57.求n的值.【 答案】1. C解析：小正方形的边长为4 - 2 = 2. 大正方形的边长为v4- +2: =2 5 .则 小 正 方 形 的 面 积 与 大 正 方 形 面 积 之 比 为二所以投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线) 的概率是千2. ( 1 ) 1/3( 2) 画树状图如下：12——2——2，—红幺—幺"红<<
