实二次型及其标准形.ppt

作业讲评作业讲评一一. 2.若若 是是A的特征值的特征值, 则则是是A*的特征值的特征值.二二.1.六六. 设设A2 – 3A + 2E = 0, 证明证明A的特征值只能取的特征值只能取1或或2证明证明: 若若 是是A的特征值的特征值, 则则 2 - 3  + 2是是A2 -3A +2E的特征值的特征值, 即即 2 - 3  + 2是零矩阵是零矩阵O的特的特征值征值,从而从而 2 - 3  + 2 = 0, 故故 只能取只能取1或者或者2.七七. 已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1, 2, -3, 求求解解:实二次型及其标准形实二次型及其标准形 一一. 实二次型及其矩阵表示实二次型及其矩阵表示1. 实二次型实二次型定定义义1. 设设x1, x2, …, xn 是是n个个变变量，称关于量，称关于x1, x2, …, xn的二次多的二次多项项式式 :为这为这n个变量的一个实二次型个变量的一个实二次型 其中其中ai,j皆是皆是实实数数, 并并约约定当定当i   j时时ai,j = aj,i2. 实二次型的矩阵表示实二次型的矩阵表示例例1. 把下列二次型表示成矩阵的形式把下列二次型表示成矩阵的形式解：解： 二二.矩阵的合同变换与二次型矩阵的合同变换与二次型1. 线性变换与二次型线性变换与二次型设设f(x1, x2, …, xn) = XTAX是一个实二次型是一个实二次型, 其其中中A是一个是一个n阶实对称方阵阶实对称方阵, XT = (x1, x2, …, xn) 设设P是一个是一个n阶实可逆方阵，性变换阶实可逆方阵，性变换X = PY之下，之下，核心问题核心问题: 如何选择可逆方阵如何选择可逆方阵P, 使得使得:即即, 如何选择可逆方阵如何选择可逆方阵P, 使得使得:2. 矩阵的合同变换矩阵的合同变换定义定义2. 设设A和和B是两个是两个n阶实对称方阵，若存在阶实对称方阵，若存在一个一个n阶的实可逆方阵阶的实可逆方阵P，使得，使得B=PTAP则则称矩阵称矩阵B与与A合同，或称合同，或称B与与A相和。

相和合同关系合同关系:自反性自反性; 对对称性称性; 传递性传递性.等价关系等价关系三三. 实二次型在正交变换下的标准形实二次型在正交变换下的标准形定理：若定理：若A是一个是一个n阶实对称方阵，则存在阶实对称方阵，则存在n阶阶正交矩阵正交矩阵P，使得，使得PTAP成为一个对角矩阵成为一个对角矩阵  = diag( 1,  2, …,  n)其中对角线上的数字恰好是矩阵其中对角线上的数字恰好是矩阵A的特征值，的特征值，称该对角矩阵为矩阵称该对角矩阵为矩阵A在正交变换下的标准形在正交变换下的标准形; 而把关于变量而把关于变量Y的二次型的二次型 1y12 +  2y22 + … +  nyn2称为二次型称为二次型XTAX在正交变换之下的标准形，在正交变换之下的标准形，其中其中X=PY证明：（归纳法）证明：（归纳法） 显然，当显然，当n = 1时定理成立时定理成立设设n = k时定理成立时定理成立;下面证明下面证明n = k + 1定理依定理依然成立设设 1是实对称方阵是实对称方阵A的一个特征值，的一个特征值，p1是是A的的与之对应的一个单位特征向量与之对应的一个单位特征向量。

选选取另外取另外k个个k + 1维维向量向量q1, q2, …, qk，使得，使得p1, q1, q2, …, qk构成构成Rk+1空空间间的一的一组标组标准正交基准正交基 记记P1 = (p1, q1, q2, …, qk),显然显然P1是一个是一个k + 1阶的正交方阵阶的正交方阵注意：注意： AP1 = ( 1p1, Aq1, Aq2, …, Aqk) 记：记： 由于由于P1TAP1 = 仍是一个实对称方阵仍是一个实对称方阵,所以所以*必然一个必然一个k维维0行向量，行向量，A1是一个是一个k阶实对阶实对称称方方阵阵 依据依据归纳归纳假假设设，存在，存在k阶阶正交方正交方阵阵Q, 使得使得QTA1Q = diag( 2,  2, …,  k+1) 构造构造k + 1阶正交方阵阶正交方阵 显然有：显然有： = diag( 1,  2, …, k+1)记记P = P1P2，， 显然显然P依然是一个依然是一个k+1阶正交方阵阶正交方阵满满足足PTAP = diag( 1,  2, …, k+1) 证毕证毕 推论推论: 设设A为为n阶实对称方阵阶实对称方阵,  是是A的特征方程的特征方程的的k重根重根, 则与则与 对应的、线性无关的特征向对应的、线性无关的特征向量恰有量恰有k个。

也就是说方阵个也就是说方阵A -  E的秩恰好的秩恰好等于等于n – k.例例2.在正交变换之下求下列二次型的标准型在正交变换之下求下列二次型的标准型 . 解：解： 首先把二次型写成矩阵的形式首先把二次型写成矩阵的形式然后求该对称矩阵的特征值然后求该对称矩阵的特征值 该方阵的特征值为该方阵的特征值为3，，3，，6，，6; 在正交变换在正交变换X = PY之下该方阵的标准形为之下该方阵的标准形为diag(3, 3, 6, 6); 该二该二次型的标准形为次型的标准形为:3y12 + 3y22 + 6y32 + 6y42.为了确定正交方阵为了确定正交方阵P,我们需要再求方阵我们需要再求方阵A的的特征向量特征向量.解方程组：解方程组： 得方阵得方阵A关于特征值关于特征值3的特征向量的特征向量: 解方程组：解方程组： 得方阵得方阵A关于特征值关于特征值6的特征向量的特征向量:最后利用最后利用Schmidt正交化过程，把所得到的正交化过程，把所得到的特征向量正交化特征向量正交化:取取 取取 令令: 例例3. 由方程由方程-7x2 – y2 – z2 + 8xy + 8xz + 16yz = 1确定的曲面是一个什么样的二次曲面？试确定的曲面是一个什么样的二次曲面？试在正交变换之下把它转化为标准形在正交变换之下把它转化为标准形.解：解： 首先把方程写成矩阵的形式：首先把方程写成矩阵的形式：然后计算该方阵的特征值然后计算该方阵的特征值.,该方阵的特征值为：该方阵的特征值为： 9 -9 -9 计算方阵与特征值计算方阵与特征值9对应的特征向量对应的特征向量 计算方阵与特征值计算方阵与特征值-9对应的特征向量对应的特征向量 最后把所得到的特征向量正交化最后把所得到的特征向量正交化: 选取选取:令令:即即:令令 ,则原方程在正交变换之下转化为则原方程在正交变换之下转化为: 即即 ,也就是：也就是： 由于正交变换不改变几何图形的形状和大小由于正交变换不改变几何图形的形状和大小,故原方程所表示的二次曲面是一个旋转双曲面。

故原方程所表示的二次曲面是一个旋转双曲面。