《高数空间解析几何》PPT课件.ppt

曲面讨论的两个基本问题：曲面讨论的两个基本问题：（（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；（（2）已知方程）已知方程 F (x, y, z ) =0，研究这方程的图形；，研究这方程的图形；二、旋转曲面二、旋转曲面定直线定直线 L 称为旋转轴称为旋转轴.　一条　一条平面平面曲线曲线 C 绕绕其平面其平面上上一条直线一条直线 L 旋转所形成的曲面，旋转所形成的曲面，称为称为旋转曲面旋转曲面 . 绕绕 z 轴轴旋转所旋转所成的旋转曲面成的旋转曲面 的方程的方程. 建立建立 y oz 面上曲线面上曲线 C : f ( y , z ) = 0 设设 M( x, y, z ) 为旋转曲面上任意一点，为旋转曲面上任意一点，过点过点 M 作平面垂直于作平面垂直于 z 轴轴，，交交 z 轴于点轴于点 P ( 0, 0, z )，，交曲线交曲线 C 于点于点M0( 0, y0, z0 ).显然显然xyzO因为因为 M0 在曲线在曲线 C 上，故上，故 f ( y0 , z0 ) = 0即得即得 C 绕绕 z 轴旋转的轴旋转的旋转曲面方程旋转曲面方程:同理同理, C 绕绕 y 轴旋转的旋转曲面方程轴旋转的旋转曲面方程:C M0.P .ML直线直线 L 绕另一条与绕另一条与 L 相交的直线旋转所成的旋转面叫圆锥面相交的直线旋转所成的旋转面叫圆锥面圆锥面的顶点圆锥面的顶点 ,圆锥面的半顶角圆锥面的半顶角a ( 0< a b,实轴沿实轴沿 z 轴方向轴方向 直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系含两个直母线系含两个直母线系含两个直母线系 例如，储水塔、例如，储水塔、电视塔等建筑都电视塔等建筑都有用这种结构的。

有用这种结构的单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面④④双叶双曲面双叶双曲面xyo 单叶单叶：：双叶双叶：：.. .yx zo 在平面上，双曲线有渐近线在平面上，双曲线有渐近线 相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐近锥面渐近锥面 用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当| |h h| |无限增大时，无限增大时，双曲面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐近锥面渐近锥面 的的截口椭圆任意接近，即：截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近双曲面和锥面任意接近渐近锥面：渐近锥面：双曲面的渐近双曲面的渐近双曲面的渐近双曲面的渐近锥锥面面面面（二）抛物面（二）抛物面⑤⑤椭圆抛物面椭圆抛物面用坐标面用坐标面 xoy (z = 0) 与曲面相截与曲面相截得坐标原点得坐标原点O(0,0,0)原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.xyzo与平面与平面 z=z0 >0 的交线为椭圆的交线为椭圆.与平面与平面 x=x0和和 y=y0相交均相交均截得抛物线截得抛物线线线.特殊地：特殊地：当当 a=b这是由抛物线这是由抛物线 y2=a2z 绕绕 z 轴旋转生成的轴旋转生成的旋转抛物面旋转抛物面时，方程变为时，方程变为oyxz⑥⑥双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）对对 z = z0 ,对应于对应于 z0>0, <0 的的截痕是截痕是双曲线双曲线这些双曲线都以这些双曲线都以 z0=0所对应的直线所对应的直线 为共同渐近线为共同渐近线对对 x = x0 是形状相同开口朝下的抛物线是形状相同开口朝下的抛物线对对 y = y0 则是形状相同开口朝上的抛物线则是形状相同开口朝上的抛物线Ll双曲抛物面是抛物双曲抛物面是抛物线线 l 当其顶点沿抛当其顶点沿抛物线物线L平行移动所平行移动所产生的曲面产生的曲面 双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面当当 x = x0双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）是形状相同开口朝下的抛物线是形状相同开口朝下的抛物线抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标 ( x0 , )顶点坐标满足顶点坐标满足顶点轨迹是顶点轨迹是 xoz 平面上抛物线平面上抛物线马鞍面与马鞍面与xoz 平面相交的平面相交的截痕截痕3 3、空间曲线、空间曲线[1] 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程[2] 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线可视为二曲面的交线空间曲线可视为二曲面的交线P32 例例1 方程组方程组xyz表示的曲线表示的曲线表示的空间曲线表示的空间曲线P32例例2 方程方程球心在原点球心在原点,半径半径为为 a 的上半球面的上半球面圆柱面圆柱面: 母线平行于母线平行于z轴轴, 底面是直径为底面是直径为 a ,圆心圆心 ( )的圆的圆) )q qxyz圆柱底面参数化圆柱底面参数化 :参数参数q q 的几何意义的几何意义: 圆心角圆心角 ,0≤q q ≤2p p代入球面方程得代入球面方程得抛物柱面抛物柱面 x2=1-z 和平面和平面 y=0, z=0 及及 x+y=1 所围立体所围立体xyz[2] 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线可视为二曲面的交线空间曲线可视为二曲面的交线空间动点空间动点M 在圆柱面在圆柱面 x 2 +y 2 =a 2上以角速率上以角速率w w 绕绕 z 轴旋转轴旋转,同时同时又以线速率又以线速率 v 沿平行于沿平行于z 轴的正向上升轴的正向上升( 其中其中w w 、、v 都是常数都是常数), 这时动点这时动点M的轨迹称为螺旋线的轨迹称为螺旋线. 试建立它的参数方程试建立它的参数方程 解解 取时间取时间 t 为参数为参数, t =0时动点位于时动点位于 A (a,0,0)设时刻设时刻 t 时动点时动点 M 位于位于 (x, y, z)设设 M 在在 xoy 平面上的投影平面上的投影M′(x, y, 0)A xa螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程螺距螺距逃逸实验:0-0试验逃逸塔塔高8米,位于飞船顶部,它装有10台发动机P P LCxyzO设设 L 为已知空间曲线为已知空间曲线, P P 为已知平面为已知平面三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影则则以以 L 为准线，为准线，垂直于垂直于 P P 的直线的直线为母线的柱面称为为母线的柱面称为L 关关于于 P P 的投影的投影柱面柱面投影柱面与平面投影柱面与平面P P 的交线的交线 C 称称为曲线为曲线 L 在在平面平面P P 上的上的投影曲线投影曲线.特别是以特别是以 L 为准线，为准线，母线平行于母线平行于 z 轴轴的柱面称为的柱面称为L 关关于于 xoy面的面的投影柱面投影柱面, 曲线曲线 C 称为称为 L 在在xoy上的上的投影曲线投影曲线.中消去变量中消去变量 z ,得：得：在空间曲线的一般方程：在空间曲线的一般方程：曲线曲线 L 在在 xoy 面面上的上的投影柱面投影柱面 H(x,y) = 0曲线曲线中消去变量中消去变量 z ,得：得：在空间曲线的一般方程：在空间曲线的一般方程：类似地：空间曲线类似地：空间曲线 在在面上的面上的投影曲线投影曲线面上的面上的投影曲线投影曲线,问题问题: :各个投影柱面方程是什么各个投影柱面方程是什么? ?理由是什么理由是什么? ?曲线必在柱面上曲线必在柱面上; ;柱面必包含曲线柱面必包含曲线例例求二球面的交线求二球面的交线在在 xo y 坐标面上的投影曲线方程坐标面上的投影曲线方程.解解这就是消去这就是消去z后所得在后所得在 xoy 坐标面的投影柱面方程，坐标面的投影柱面方程，因而曲线因而曲线 C 在在 xo y 坐标面上的坐标面上的投影曲线是椭圆投影曲线是椭圆.把把 x2+ y 2+z2 =1 代入代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得得 y+z=1把把 y+z=1 代入代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得得 x2 +2y 2 -2y =0zxy例例 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为圆圆例例 求求曲线曲线在在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程坐标面上的投影曲线的方程.解解  关于关于xo y 坐标面的投影坐标面的投影柱面方程柱面方程因而曲线因而曲线   在在 xo y 坐标坐标面上的投影曲线是圆面上的投影曲线是圆.消消x得到曲线得到曲线   关于关于 yoz 坐标面的坐标面的投影柱面的方程投影柱面的方程  在在 y oz 坐标面的投影曲线是一段抛物线坐标面的投影曲线是一段抛物线得得 x2 + y2  3x  5y = 0 ，， 在在 xo y 坐标面坐标面上的投影上的投影曲线曲线的方程的方程.例例求求曲线曲线解解从从曲线曲线   的方程中消去的方程中消去 z ，， 即即它是曲线它是曲线   关于关于x oy 坐标面的坐标面的投影柱面投影柱面 －－ 圆柱面的方程，圆柱面的方程，   在在 xo y 坐标面上投影曲线是圆坐标面上投影曲线是圆.投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面消元消元[4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空空间间立立体体曲曲面面思考题思考题解答解答交线方程为交线方程为在在 面上的投影为面上的投影为。