2021-2022学年北京私立正则中学高一数学理期末试卷含解析.docx

2021-2022学年北京私立正则中学高一数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有(　　)A．两解          B．一解          C．无解           D．无穷多解参考答案：B略2. “十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D. 参考答案：D分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.3. 在直角坐标系中, 如果两点在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作一组）。

函数关于原点的中心对称点的组数为(   )A．1              B．2               C． 3             D．4参考答案：B略4. 下列函数中，是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（　　）A．y=2|x| B．y=|log2x| C．y=x3 D．y=x﹣2参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的单调性，减函数的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2|x|为偶函数，且x＞0时，y=2|x|=2x为增函数；即该函数在（0，+∞）上递增，∴该选项正确；B．y=|logx|的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，不是偶函数，∴该选项错误；C．y=x3为奇函数，∴该选项错误；D．若x∈（0，+∞），x增大时，x﹣2减小，即y减小；∴y=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误．故选：A．【点评】考查指数函数的单调性，单调性的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义．5. 已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，则?UP=（　　）A．（1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：D【考点】1F：补集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合P，再由补集的运算性质计算得答案．【解答】解：∵全集U=R，集合P={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∴?UP=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：D．6. 已知点M（5，﹣6）和向量=（1，﹣2），若=3，则点N的坐标为（　　）A．（2，0） B．（﹣3，6） C．（6，2） D．（﹣2，0）参考答案：A【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设点N的坐标为（x，y），根据平面向量的坐标表示，利用向量相等列方程组，即可求出x、y的值．【解答】解：设点N的坐标为（x，y），由点M（5，﹣6）得=（5﹣x，﹣6﹣y），又向量=（1，﹣2），且=3，所以，解得；所以点N的坐标为（2，0）．故选：A．7. 已知函数是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则实数a的取值范围是(     )A． B． C． D．参考答案：B考点：函数单调性的性质． 专题：转化思想；定义法；函数的性质及应用．分析：根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．解答：解：若f（x）是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则满足，即，即＜a≤，故选：B点评：本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式关系是解决本题的关键8. 已知函数的定义域是一切实数,则的取值范围是A. B. C. D. 参考答案：C【分析】根据函数的定义域是全体实数，得到mx2+2mx+1≥0恒成立，讨论二次项系数结合判别式即可得到结论．【详解】若函数f（x）的定义域是一切实数，则等价为mx2+2mx+1≥0恒成立，若m＝0，则不等式等价为1≥0，满足条件，若m≠0，则满足，即，解得0＜m≤1，综上0≤m≤1，故选：C．【点睛】本题主要考查函数恒成立，结合一元二次不等式的性质是解决本题的关键．9. 如右上图所示的方格纸中有定点，则  A．      B．     C．       D．参考答案：C10. 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（     ）A．        B.           C.           D.参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则　　　　　　　． 参考答案：512. _______.参考答案：略13. 如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是______度，分针所转成的角度是________度．参考答案：－5　－60　[将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.]14. 若不等式，对任意恒成立，则实数的取值范围是            .参考答案：15. 若 ，则函数的图象一定过点_______________.参考答案：略16. 数列{an}的通项公式，则该数列的前　　项之和等于9．参考答案：99【考点】8E：数列的求和．【分析】将数列通项化简，利用叠加法，即可求得结论．【解答】解：∵，∴∴Sn=a1+a2+…+an=+…+=令，则n=99故答案为：9917. 不等式的解集为__________．参考答案：见解析解：，，∴或，或．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；(2)求所选2人中至少有一名女生的概率． 参考答案：解析 设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)， (a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种．(1)  设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6种，∴P(A)＝＝，故所选2人中恰有一名男生的概率为.(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7种，∴P(B)＝，故所选2人中至少有一名女生的概率为. 略19. 为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖情况，得到如下所示实验数据，若t与y线性相关.天数t（天）34567繁殖个数y（千个）568912（1）求y关于x的回归直线方程；（2）预测t=8时细菌繁殖的个数.（参考公式：，）参考答案：解：（1）由已知，则，所以，所以关于的回归直线方程（2）当时，（千个）20. (12分)将函数f(x)=3sin(－2x+)+1的图象向左平移单位, 再向下平移单位, 得到函数y=g(x)的图象.(1) 写出y=g(x)的解析式;(2) 写出y=g(x)单调区间;(3) 写出y=g(x)的对称轴方程和对称中心的坐标.参考答案：略21. 设a为正实数，记函数f（x）=a﹣﹣的最大值为g（a）． （1）设t=+，试把f（x）表示为t的函数m（t）； （2）求g（a）； （3）问是否存在大于的正实数a满足g（a）=g（）？若存在，求出所有满足条件的a值；若不存在，说明理由． 参考答案：【考点】函数与方程的综合运用；函数最值的应用． 【专题】综合题；函数的性质及应用． 【分析】（1）由t=+平方得=t2﹣1，从而将函数f（x）换元为m（t），而m（t）的定义域即t=+的值域，平方后求其值域即可； （2）由（1）知，通过讨论对称轴的位置可得最大值关于a的函数g（a）； （3）假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），分类讨论，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得，∴﹣1≤x≤1，∴函数f（x）的定义域为[﹣1，1]． t=+，由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，所以t的取值范围是[，2]． 又=t2﹣1，∴m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]； （2）由题意知g（a）即为函数m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]的最大值． 注意到直线t=是抛物线m（t）=at2﹣t﹣a的对称轴，分以下几种情况讨论： ①≤，即a≥知m（t）=at2﹣t﹣a在[，2]上单调递增，∴g（a）=m（2）=a﹣2． ②当＜＜2时，＜a＜，g（a）=m（）=﹣﹣a． ③当≥2，即0＜a≤时，g（a）=m（）=﹣ ∴g（a）=； （3）由（2）可得g（）=． 假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），则 ＜a＜2时，a﹣2=﹣﹣，方程无解； a≥2时，a﹣2=﹣，a=2﹣＜2，不符合． 综上所述，不存在大于的正实数a满足g（a）=g（）． 【点评】本题考查了求函数定义域的方法以及利用换元法求函数值域的方法，解题时要注意换元后函数的定义域的变化． 22. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=3，Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在数列{bn}中，b1=9，bn+1﹣bn=2（an+1﹣an）（n∈N*），若不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（Ⅲ）令Tn=+++…+（n∈N*），证明：对于任意的n∈N*，Tn＜．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）由Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．得当n≥2时，Sn=3（Sn﹣1+1）（n∈N*）．两式相减得an+1=3an，得数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，即可．（Ⅱ）可得，bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn）+…+（b2﹣b1）+b1=2?3n+3，（n∈N+）不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ对一切n∈N*恒成立?λ＞令f（n）=+，利用单调性实数λ的取值范围．（Ⅲ）当n≥2时，（2n﹣1）an﹣1=（2n﹣1）?3n＞2?3n即 =【解答】解：（Ⅰ）∵Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．当n≥2时，Sn=3（Sn﹣1+。