中考数学压轴题专项汇编专题轴对称之最短路径.pdf

1 / 8 专题 6 轴对称之最短路径破解策略用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题常见的题型有：1已知：在直线l同恻有 AB两点，在l上找一点P，使得APPB最小作法：如图作点A关于直线l的对称点A，连结AB，与直线，的交点就是点P2已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得 |APPB| 最小作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线与直线l的交点就是点P3已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P使得 |APPB| 最大作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点PA B l B A P l AA B l A B l P A B l l A B P2 / 8 4已知：在直线l同侧有A，B两点在l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于所给线段d） ，使得ACCDDB最小，作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A ，作A 关于直线l的对称点A，连结AB，与直线l的交点就是点D连结AD，过点A作ACAD，交直线l于点 C则此时AC CDDB最小5已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PRRP最小作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P ，P ，连结PP ，与射线ON，OM的交点就是点Q，R6已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q使得PRQR最小A B l a AA l B AC D O N M P PP P O N M R Q O N M P 3 / 8 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P ，作PQON，垂足为Q，PQ与射线ON的交点就是R7已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S使得PRRSSQ最小作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P ，作点Q关于射线ON的对称点Q ，连纳PQ 与射线OM，ON的交点就是R，S例题讲解例 1 （1）如图 1，等边ABC中，AB2，E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P，使BPEP的值最小，并求BPPE的最小值（ 2）如图 2，已知O的直径CD为 2，?AC 的度数为60，点B是?AC 的中点，在直径CD上作出点P，使BPAP的值最小，并求BPAP的最小值（3）如图 3，点P是四边形ABCD内一点，BPm，ABC，分别在边AB，BC上作出点M，N，使PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，的代数式表示） BDCABDCAPOEDCBA图 1 图 2 图 3 P P Q O N M R P O N M Q P P Q O N M Q S R 4 / 8 解HNMFEPACDBEPOACDBABCDE（1）3 （作法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P） ；（ 2）2 （作法是：作点B关于CD的对称点E，连 接AE交CD于一点，这点就是所求的点P） ；（ 3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M，N，线段EF的长度即为PMN的周长的最小值如图，连 结BE，BF，EBF 2ABC2，BEBFBPm过点B作BHEF于点H，所以EBH12EBF，EHFH在 RtBEH中， sinEHBE，所以EHBEsinm sin，所以EF 2msin，即PMPNMNEF2m sin例 2 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别以点A（2，3） ，B（3，4）为圆心，以1，3为半径作A，B，M，N分别是A，B上的动点，点P为x轴上的动点，求PMPN的最小值xyPMNBAOMAOABNMPyx解如图， 作A关于x轴的对称图形A，连结AB，与x轴交于点P，与A交点为M，5 / 8 与B交点为N，连结PA，PA与A交点为M，则此时PAPB值最小，从而PMPN值也最小，最小值为线段MN的长如图，易得A（ 2， 3） ，由两电间距离公式得AB52 故MN 52 4，即PMPN52 4例 3 如图 1，等边ABC的边长为6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点P，N分别是BE，BC上的动点QONEPBDCAACDBPENO图 1 图 2 （1）当PNPD的长度取得最小值时，求BP的长度；（2）如图 2，若点Q段BO上，BQ1，求QNNPPD的最小值QDACDBPENOQDONEPBDCA图 3 图 4 解（1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D关于BE的对称点D在AB上，且为AB的中点如图 3，过点D作BC的垂线，垂足为N，DN交BE于点P，连结PD，则PDPD此时DN的长度即为PNPD长度的最小值显然DNAD，即点N为BD的中点所以BN14BC32，从而BPcosBNPBN3 （2）如图 4，作点Q关于BC的对称点Q，则BQ 1，CBQ 30点D是点D关于BE的对称点，连接DQ，交BE于点P，交BC于点N此时DQ即为QNNPPD的最小值显然DBQ 90，所以DQ22BDBQ10 ，6 / 8 即QNNPPD的最小值为10 进阶训练1两平面镜OM，ON相交于点O，且OMON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点 B除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由AOBMNDCABNMBOA答案 ：作点A关于OM的对称点A，作点B关于ON的对称点B，连接AB，与OM，ON分别交于点D，C光线行进路线如图2 （1）在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（2）如图 2，在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ，桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）解： （1）如图，过点B作BB垂直于河岸，且使BB长度等于这条河宽，连接AB交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D，则CD即为架桥最合适的位置（ 2）如图，过点A作AA垂直于距点A较近的河岸，且使AA长等于该河宽，同样，过点B作BB垂直于距点B较近的河岸，且使BB长等于河宽，连接AB分别交两条河相邻的河岸于点N，P， 过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M， 过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q， 则MN，PQ即为架桥最合适的位置7 / 8 ABBA图 1 图 2 DCBABMQPNABBA3 如图，直线334yx分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线yx22x1 与y轴交于点C 若点E在抛物线yx22x1 的对称轴上移动，点F在直线AB上移动， 求CEEF的最小值xyCBAO提示：作点C关于对称轴x1 的对称点C， 则C（2，1） 过点C作CFAB于点F， 且于对称轴交于点E， 此时FC的长为CEEF的最小值连接CB，CA， 作CKx轴于点K， 则SABCS ABDS梯形 C KOBSC KAAB FC，解得FC145， 则CEEF的最小值是1458 / 8 xyx=1EFKCCBAO。