人教版九年级数学上册 22-3 第1课时 几何图形的最大面积 教案教学设计优秀公开课.docx

22．3 实际问题与二次函数第 1 课时 几何图形的最大面积1. 经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32 米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD.设 AB边的长为 x米， 矩形 ABCD的面积为 S平方米．当 x为何值时，S有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积 小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S(单位：平方米)随矩形一边长 x(单位：米)的变化而变化．(1) 求 S与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(2) 当 x是多少时，矩形场地面积 S最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为 x，则另一60－2x边长为2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得 S＝60－2x 2 x＝－x＋30x.自变量 x的取值范围是 02＜x＜30.(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，即当 x＝15(米)时，S最大值＝225 平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件 用长为 32 米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为 x米，面积为 y平方米．(1) 求 y关于 x的函数关系式；(2) 当 x为何值时，围成的养鸡场面积为 60 平方米？(3) 能否围成面积为 70 平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能， 请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出 y的最大值，与 70 比较大小，即可作出判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当 y＝60 时，－x2＋16x＝60，解得 x＝10，x＝6.所以当 x＝10 或 6 时，1 2围成的养鸡场的面积为 60 平方米；(3)方法一：当 y＝70 时，－x2＋16x＝70，整理得：x2－16x＋70＝0，由于 Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为 70 平方米的养鸡场．方法二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当 x＝8 时，y有最大值 64， 即能围成的养鸡场的最大面积为 64 平方米，所以不能围成 70 平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6 米，宽度OM为 12 米．现以 O点为原点，OM所在直线为 x轴建立直角坐标系(如图所示)． (1)直接写出点 M及抛物线顶点 P的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数关系式；(3) 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使 A、D点在抛物线上，B、C点在地面 OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M(12，0)，P(6，6)．(2) 设这条抛物线的函数关系式为 y＝a(x－6)2＋6，因为抛物线过 O(0，0)，2 1 1所以 a(0－6) ＋6＝0，解得，a＝－ ，所以这条抛物线的函数关系式为：y＝－ (x6 62 1 2－6) ＋6，即 y＝－ x＋2x.61 2 1 2(3) 设 OB＝m米，则点 A的坐标为(m，－ m＋2m)，所以 AB＝DC＝－ m＋2m.6 6根据抛物线的轴对称，可得 OB＝CM＝m，所以 BC＝12－2m，即 AD＝12－2m，所以 l＝AB＋AD＋DC＝－1 2m＋2m＋12－2m－ 61 2m＋2m＝－ 61 2 1m＋2m＋12＝－ 3 3(m－3)2＋15.所以当 m＝3，即 OB＝3 米时，三根木杆长度之和 l的最大值为 15 米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格， 经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.。