第六章金属电子论.pdf

固体物理讲稿611第六章 金属电子论6.0 经典金属自由电子论1900年特鲁特(P.Drude)首先提出了经典金属自由电子论到20年代末索末菲(A.Sommerfeld)把这一理论发展成为量子的金属自由电子论一. 模型 一. 模型金属中的自由电子类比理想气体模型, 不过是在周期性排列的离子点阵中作无规则的热运动通过与离子的碰撞达到热平衡二. 成功之处 二. 成功之处可推证欧姆定律 Ejrrσ=E为外加电场σ为电导率可以估算金属的电导率σ mkTane322 =σn为电子的数密度, a为晶格常数可以推证卫德曼-弗兰兹定率 TCKWF=σk为导热系数三. 遇到的困难 三. 遇到的困难电子比热是经典金属自由电子论遇到的最大困难因为对于金属而言每个原子至少可以贡献一个电子按经典自由电子气模型类比理想气体理论每个电子对热容量的贡献为k23全部自由电子的热容量应和金属离子的热容量即晶格振动的热容量同数量级但实际测量的结果是电子热容量大约只是这个理论值的百分之几另外对霍耳效应及半导体的性质等许多问题也无法解释四. 发展 四. 发展索末菲(Sommerfeld)等人从量子力学的观点对这一经典的理论作了重要的修正和发展认为电子具有波动性电子具有波动性其状态可以用波函数来描述其状态可以用波函数来描述电子的波函数满足电子的波函数满足dingeroSchr & &方程方程在金属中自由电子的势能为常数在金属中自由电子的势能为常数可取为零可取为零电子是电子是Fermi子子服从F服从Fermi-Dirac统计统计即发展成量子的金属自由电子理论固体物理讲稿6126.1 电子热容量 书6.1[ 在波矢空间的状态密度相对能量的状态密度金属自由电子热容量的半定量分析和定量计算结果]一. 自由电子的状态密度一. 自由电子的状态密度1.设在能量E→E+dE之间的状态数dZ则dEdZ即为相对能量的状态密度[ 把金属看成是一个很深的势阱势场为常数取为零其中的自由电子所满足的dingeroSchr & &方程为 02 22222 =ψ+ψ∇ψ=ψ∇−EmEmhh或行波波函数为 )(zkykxkirki kzyxAeAe++⋅==ψrr r]自由电子的能量为 )(22)(222222zyxkkkmmkkE++==hrhr2. 在波矢空间在波矢空间状态空间也可为倒格子空间电子状态密度电子状态密度以kxkykz为坐标轴建立坐标系由Bloch一节的证明知状态kr点均匀分布状态点的密度为38πV考虑电子的自旋电子状态密度为34πVV 为晶体的体积3. 在波矢空间E → E+dE 的体积dV *方法一等能面等能面是一个球面 22222 hmEkkkzyx=++ ,dEEmmEdmEdV213232122)2(2)2(24*hhhπ=⋅π=∴方法二有一般性等能面所包围的体积等能面所包围的体积 233232323)2(4)2(34*EmmEVhhπ=π=dEEmdV21323 )2(2*hπ=∴ [例题方书38题]4. 在E → E+dE 的状态数dECEdEEhmVdVVdZ21 213233)2(4*4=π=⋅π=其中C323 )2(4 hmVπ=5.相对能量的相对能量的状态密度状态密度21 CEdEdZ=dZ/dEE固体物理讲稿613是一条抛物线dEdZ也称为能级密度即不认为有简并二.电子的费米能量(一)二.电子的费米能量(一). Fermi分布函数分布函数 11)(/ )(+=−kTEEFeEf能量为E的一个电子状态被电子占据的几率EF为Fermi能量相当于化学势(二)(二). E → E+dE之间的电子数之间的电子数dN323/ )(2121)2(4,1)()(hmVCedECEdECEEfdZEfdNkTEEFπ=+=⋅=⋅=−由 NdN=∫可求出EF (三). (三). T=0K时时0 FFEE=1. ⎩⎨⎧ >> kT1.数学问题f(E)10 EF0 E固体物理讲稿614. nnnnxxxx∑∞=−−=+>=)(2302 即e VC 可以忽略固体物理讲稿617(2)低温用Debye理论334)(512bTTRCDa V=θπ=其中Dθ 为Debye温度34512DRbθπ=即摩尔金属的总热容量 3bTTCCCa Ve VV+γ=+=当温度足够低时将会有3bTT >γ即a Ve VCC>亦即在很低的温度时电子的热容量是不能忽略的书P.285图6-6对Fe当T 语言回答晶格振动对比热的贡献与温度T的三次方成正比而金属自由电子对比热的贡献与温度T的一次方成正比即在很低的温度时电子对比热的贡献可相当或超过晶格振动对比热的贡献因此不能忽略作业作业P.5845.1 P.585*6.1要查算出电子的数密度补充作业补充作业1.1.已知EF3eV试计算当T2000K时电子分布几率从0.9∼0.1所对应的能量区间并求出这个能量区间的大小与EF 的比值*2.电子在每边长为L的立方匣中运动用驻波边界条件求出它前四个能级的所有波函数给出各能级的能量并指出若考虑自旋各能级的简并度。