《逻辑代数基础》PPT课件.ppt

逻辑代数基础逻辑代数基础1 1逻辑代数的基本概念与运算逻辑代数的基本概念与运算2 2逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法3 3逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法4 4具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简1 1、、逻辑代数的基本概念和运算规则逻辑代数的基本概念和运算规则 逻辑代数逻辑代数是英国数学家是英国数学家George Boole于于1847年提出年提出的，所以又称为的，所以又称为布尔代数布尔代数或或开关代数开关代数，它是分析和设计，它是分析和设计逻辑电路的重要数学工具逻辑电路的重要数学工具 ◆ ◆ 英国数学家英国数学家George BooleGeorge Boole于于18151815年年1111月月生于英格兰的林肯生于英格兰的林肯 ◆◆ 18471847年，发表了著作年，发表了著作《《The Mathematical Analysis of Logic》》　　 ◆◆ 18491849年，他被任命位于爱尔兰科克的年，他被任命位于爱尔兰科克的皇后学院的数学教授皇后学院的数学教授 ◆◆ 18541854年年, ,他出版了他出版了《《The Laws of Thought》》。

◆◆布尔撰写了布尔撰写了微分方程微分方程和和差分方程差分方程的课的课本 ◆◆ 18641864年，布尔死于肺炎年，布尔死于肺炎 1. 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数 在逻辑代数中的变量称为逻辑变量，通常用字母在逻辑代数中的变量称为逻辑变量，通常用字母A、、B、、C等表示逻辑变量的取值只有两种：等表示逻辑变量的取值只有两种：真（真（“1”））和和假（假（“0”））这里的“1”和和“0”并不表示数量的大并不表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态小，而是表示完全对立的两种状态 若以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么若以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定因当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定因此，输出与输入之间乃是一种函数关系这种函数关系称此，输出与输入之间乃是一种函数关系这种函数关系称为为逻辑函数逻辑函数，写作，写作 Y=F（（A，，B，，C…)图图 举重裁判电路举重裁判电路例：例：一个举重裁判电路一个举重裁判电路2. 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 逻辑代数的基本运算有逻辑代数的基本运算有与与(AND)、或、或(OR)、非、非(NOT)三三种。

它们各自的含义如图中（种它们各自的含义如图中（a）、（）、（b）、（）、（c）所示 若把开关闭合作为条件，把灯亮作为结果，那么图中的若把开关闭合作为条件，把灯亮作为结果，那么图中的三个电路代表了三种不同的因果关系：三个电路代表了三种不同的因果关系：图图 与、或、非说明电路与、或、非说明电路（（a））逻辑与，也叫逻辑相乘逻辑与，也叫逻辑相乘：表示只有决定事物结果的全部：表示只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才会发生记作：条件同时具备时，结果才会发生记作：Y=A AND B或或Y=A·B或或Y=AB其逻辑真值表真值表如表与门与门”的图形符号的图形符号 与逻辑真值表与逻辑真值表（（b））逻辑或，也叫逻辑相加逻辑或，也叫逻辑相加：表示决定事物结果的条件中只：表示决定事物结果的条件中只要有任何一个满足，结果就会发生记作要有任何一个满足，结果就会发生记作:Y=A OR B或或Y=A+B其逻辑真值表真值表如表 或逻辑真值表或逻辑真值表“或门或门”的图形符号的图形符号（（c））逻辑非，也叫逻辑求反逻辑非，也叫逻辑求反：表示只要条件具备了，结果就：表示只要条件具备了，结果就不会发生，否则结果一定发生。

记做：不会发生，否则结果一定发生记做： 或或NOT A其逻辑真值表真值表如表非门非门”（或反相器）的图形符号（或反相器）的图形符号 非逻辑真值表非逻辑真值表最常见的最常见的复合逻辑复合逻辑运算运算——“与非与非”（（NAND））图图 “与非与非”复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号A B Y0 00 11 01 11110NAND Truth Table最常见的最常见的复合逻辑复合逻辑运算运算——“或非或非”（（NOR））图图 “或非或非”复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号N0R Truth TableA B Y0 00 11 01 11000最常见的最常见的复合逻辑复合逻辑运算运算——“与或非与或非”（（AND-NOR））图图 “与或非与或非”复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号最常见的最常见的复合逻辑复合逻辑运算运算——“异或异或”（（EXCLUSIVE-OR）） 和和“同或同或”（（EXCLUSIVE-NOR））EX-ORA B Y0 00 11 01 10110EX-NORA B Y0 00 11 01 11001图图 “异或异或”“同或同或”复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号 描述逻辑函数的方法有以下六种：描述逻辑函数的方法有以下六种： 一、逻辑表达式（一、逻辑表达式（logic function）） 用与、或、非等逻辑运算表示逻辑关系的代数式叫逻用与、或、非等逻辑运算表示逻辑关系的代数式叫逻辑函数表达式或简称函数式。

辑函数表达式或简称函数式 例：例：Y=AB+ CD3 逻辑函数的描述（即表示方法）逻辑函数的描述（即表示方法） 二、真值表（二、真值表（truth table）） 将输入变量将输入变量所有的取值所有的取值对应的输出值找出来，列成表格，对应的输出值找出来，列成表格，即可得真值表即可得真值表列真值表时，需注意以下几点：列真值表时，需注意以下几点： （（1）所有的输入的组合不可遗漏，也不可重复；输入组合）所有的输入的组合不可遗漏，也不可重复；输入组合最好按二进制数递增的顺序排列（最好按二进制数递增的顺序排列（完整性完整性） （（2）同一逻辑函数的真值表具有）同一逻辑函数的真值表具有唯一性唯一性 例：例：请列出举重裁判电路请列出举重裁判电路Y=A··(B+C)的真值表的真值表例：例：已知某逻辑函数的真值表如下所示，试写出其逻辑函数式已知某逻辑函数的真值表如下所示，试写出其逻辑函数式A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101001从真值表写出从真值表写出逻辑函数逻辑函数的一般方法：的一般方法：1、找出真值表中使逻辑函数、找出真值表中使逻辑函数Y＝＝1的的 那些输入变量取值的组合；那些输入变量取值的组合；2、每组输入变量取值的组合对应一、每组输入变量取值的组合对应一 个乘积项，其中取值为个乘积项，其中取值为1的写入的写入原原 变量变量，取值为，取值为0的写入的写入反变量反变量；；3、将这些乘积项相、将这些乘积项相或（加）或（加），即可，即可 得逻辑函数式。

得逻辑函数式3）真值表还可作为）真值表还可作为判断两函数是否相等判断两函数是否相等的依据三、逻辑电路图三、逻辑电路图(logic diagram) 用代表逻辑运算的逻辑门符号所构成的逻辑关系用代表逻辑运算的逻辑门符号所构成的逻辑关系图形，叫逻辑电路图，简称逻辑图图形，叫逻辑电路图，简称逻辑图 例：例：请画出请画出 的逻辑电路图的逻辑电路图四、卡诺图四、卡诺图(Karnaugh Map) ) 后述 五、波形图（时序图）五、波形图（时序图）( (waveform or timing diagram) ) 指各个逻辑变量的逻辑值随时间变化的规律图指各个逻辑变量的逻辑值随时间变化的规律图 例：例：试画出举重裁判电路的波形图试画出举重裁判电路的波形图ABCY 例：例：试画出举重裁判电路的波形图试画出举重裁判电路的波形图六、文字描述六、文字描述逻辑函数的各种表示方法逻辑函数的各种表示方法可以相互转换可以相互转换。

4 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式一、逻辑代数的公理一、逻辑代数的公理二、逻辑代数的基本公式（定律）二、逻辑代数的基本公式（定律）（（1）交换律：）交换律：A·B=B·A；；A+B=B+A（（2）结合律：）结合律：A·（（B ·C））=（（A ·B））·C；； A+（（B+C））=（（A+B））+C（（3）分配律：）分配律：A ·（（B+C））=A ·B+A ·C；； A+B ·C=（（A+B）） · （（A+C））（（4））01定律：定律：1 ·A=A；；0+A=A 0 ·A=0；； 1+A=1（（5）互补律：）互补律：（（6）重叠律：）重叠律：A·A=A；；A+A=A（（7）反演律（）反演律（De. Morgan定理定理)：： （（8）还原律：）还原律：注：注：1、、若两个逻辑函数具有完全相同的真值表，则若两个逻辑函数具有完全相同的真值表，则这两个逻辑函数相等这两个逻辑函数相等。

证明以上定律的基本方法均证明以上定律的基本方法均采用真值表法采用真值表法 2、、逻辑代数逻辑代数与与普通代数普通代数是不同的是不同的 例：例：三、逻辑代数的常用公式（吸收律）三、逻辑代数的常用公式（吸收律）四、异或运算四、异或运算 1、异或定义：、异或定义：A⊙ ⊙B=可见：可见：A⊙ ⊙B= 2、异或运算的性质：、异或运算的性质： （（1）交换律：）交换律： （（2）结合律：）结合律： （（3）分配律：）分配律：思考：思考： A⊙ ⊙B ⊙ ⊙ C ? 在多变量异或运算中，若变量为在多变量异或运算中，若变量为1的个数为的个数为奇数奇数，，异或运算异或运算结果为结果为1，若变量为，若变量为1的个数为的个数为偶数偶数，异或运算，异或运算结果为结果为0，，与变量为与变量为0 的个数无关的个数无关即: ( (一一) ) 代入规则代入规则 A A A A均用均用 代替代替A均用均用 代替代替B均用均用C代替代替利用代入规则能扩展基本定律的应用利用代入规则能扩展基本定律的应用。

将逻辑等式两边的某一变量均用同一将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立个逻辑函数替代，等式仍然成立5 逻辑代数的三个基本定律逻辑代数的三个基本定律变换时注意：变换时注意：( (1) ) 不能改变原来的运算顺序不能改变原来的运算顺序 (2) ) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变号保持不变 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律或摩根定律 原运算次序为原运算次序为 ( (二二) ) 反演规则反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将““·””换成换成““+ +””，，““+””换成换成““·””，，““0””换成换成““1””，，““1””换成换成““0””，原变量换成反变量，反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数　换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数　例：例：已知已知 ，求，求 。

 ( (三三) ) 对偶规则对偶规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将““·””换成换成““+ +””，，““+ +””换成换成““·””，，““0””换成换成““1””，，““1””换成换成““0””，则得到原逻，则得到原逻辑函数式的对偶式辑函数式的对偶式 Y   对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展应用对偶规则可将基本公式和定律扩展 变换时注意：变换时注意：( (1) ) 变量不改变变量不改变 ( (2) ) 不能改变原来的运算顺序不能改变原来的运算顺序A + AB = A A · (A + B) = A 例例4：：证明该基本公式成立：证明该基本公式成立： 例例5 5：： 证明两个逻辑式相等，有时可通过证明它们的对偶证明两个逻辑式相等，有时可通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有些情况下证明其对偶式相等更加式相等来完成，因为有些情况下证明其对偶式相等更加容易3个规则 1.代入规则：对任何一个含有原变量A的逻辑等式，如果在所有出现原变量A的位置处都代入一个逻辑函数F，则原逻辑等式仍然成立。

2.反演规则：在一个逻辑函数中，若将函数中所有原来的“与”运算变成“或”运算，所有原来的“或”运算变成“与”运算，原变量变成反变量，反变量变成原变量，同时函数中的所有“1”变成“0”，且“0”变成“1”，这样所得到的一个新函数就称为原函数的反函数 3.对偶规则：在一个逻辑函数中，若将函数中所有原来的“与”运算变成“或”运算，所有原来的“或”运算变成“与”运算，函数中的所有“1”变成“0”，且“0”变成“1”，但逻辑变量保持不变，这样所得到的一个新函数就称为原函数的对偶函数，用F’表示 逻辑代数基本定律总结表逻辑代数基本定律总结表定律名称定律名称公公 式式0 0－－1 1律律自等律自等律重叠律重叠律互补律互补律交换律交换律结合律结合律分配律分配律还原律还原律反演律反演律吸收律（一）吸收律（一）吸收率（二）吸收率（二）吸收率（三）吸收率（三）吸收率（四）吸收率（四）逻辑函数式化简的意义与标准逻辑函数式化简的意义与标准 化化简简意意义义　　使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，　　使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。

高系统可靠性 　　不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取　　不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简最简与与 - - 或或式，然后通过变换得到所需最简式式，然后通过变换得到所需最简式 6 6逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法最简最简与与 - - 或或式标准式标准 ( (1) )乘积项乘积项( (即与项即与项) )的个数最少的个数最少( (2) )每个乘积项中的变量数最少每个乘积项中的变量数最少 用与门个数最少用与门个数最少与门的输入端数最少与门的输入端数最少 最简最简与非与非式标准式标准( (1) )非号个数最少非号个数最少( (2) )每个非号中的变量数最少每个非号中的变量数最少 用与非门个数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少与非门的输入端数最少  逻辑式有多种形式，采用何种形式视逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定各种形式间可以相互变换需要而定各种形式间可以相互变换 逻辑函数式的几种常见形式和变换逻辑函数式的几种常见形式和变换 例如例如 与或表达式与或表达式 或与表达式或与表达式 与非与非 - - 与非表达式与非表达式 或非或非 - - 或非表达式或非表达式 与或非表达式与或非表达式 转换方法举例转换方法举例 与或式与或式 与非式与非式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 或与式或与式 或非式或非式 与或非式与或非式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 用摩根定律用摩根定律 　　运用逻辑代数的基本定律和常用公式对逻辑式进行化　　运用逻辑代数的基本定律和常用公式对逻辑式进行化简，消去函数中多余的乘积项和乘积项中的多余变量，使简，消去函数中多余的乘积项和乘积项中的多余变量，使逻辑函数成为最简逻辑函数成为最简与与-或或式。

式 并项法并项法 运用运用 ，，将两项合并为一项，并消去一个互补的变量将两项合并为一项，并消去一个互补的变量 二、常用的公式化简方法二、常用的公式化简方法吸收法吸收法 运用运用A+AB =A 和和 ，，消去多余的与项消去多余的与项  A + AB = A A + AB = A (1 + B) = A 消去法消去法 运用吸收律运用吸收律 ，消去多余因子消去多余因子配项法配项法 通过乘通过乘 或加入零项或加入零项 进行配项，然后再化简进行配项，然后再化简综合灵活运用上述方法综合灵活运用上述方法 [ [例例] ] 化简逻辑式化简逻辑式解：解： 应用应用[ [例例] ] 化简逻辑式化简逻辑式解：解： [ [例例] ] 化简逻辑式化简逻辑式解：解： 应用应用用摩根定律用摩根定律 用门电路实现逻辑函数时，需要使用与门、或门、非门、用门电路实现逻辑函数时，需要使用与门、或门、非门、与或非门等器件，究竟将函数式变换成什么形式，要视所用门与或非门等器件，究竟将函数式变换成什么形式，要视所用门电路的功能而定。

电路的功能而定 例例1：：将逻辑函数将逻辑函数 化为与非－与非化为与非－与非形式 例例2：：试用或非门画出函数试用或非门画出函数 的逻辑图的逻辑图三、指定器件的逻辑函数化简（三、指定器件的逻辑函数化简（*）） 注：注：将最简与－或式直接变换为其他类型的逻辑式时，将最简与－或式直接变换为其他类型的逻辑式时，得到的结果不一定也是最简的得到的结果不一定也是最简的　　　　 n 个变量有个变量有 2n 种组合，可对应写出种组合，可对应写出 2n 个乘积项，这些个乘积项，这些乘积项均具有下列乘积项均具有下列特点：特点：包含全部变量，且每个变量在该包含全部变量，且每个变量在该乘积项中乘积项中 ( (以原变量或反变量以原变量或反变量) )只只出现一次出现一次这样的乘积项这样的乘积项称为这称为这 n 个变量的最小项，也称为个变量的最小项，也称为 n 变量逻辑函数的最小变量逻辑函数的最小项1. 最小项的定义和编号最小项的定义和编号 最小项的概念与性质最小项的概念与性质7 7逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式•最小项定义 逻辑函数中，如果一个与项（乘积项）包含该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该与项称为最小项。

对于n个变量的逻辑函数共有2n个最小项•最小项的表示 最小项用m表示，通常用十进制数作最小项编号把最小项中的原变量当作1，反变量当作0，所得的二进制数所对应的十进制数即为最小项的编号•若干最小项之和构成最小项表达式（也叫标准与-或表达式）：如何编号如何编号？？如何根据输入变量如何根据输入变量组组合写出相应最小项合写出相应最小项？？例如例如 3 变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个个 将输入变量取值为 1 的代以原变量，取值为 0 的代以反变量，则得相应最小项 简记符号简记符号例如例如 1015m5m44100ABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项最小项A B Cm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210试分别写出它试分别写出它们的最大项们的最大项2. 最小项的基本性质最小项的基本性质 ( (1) ) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1，， 而其余各种变量取值均使其值为而其余各种变量取值均使其值为 0。

三三变变量量最最小小项项表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C( (2) ) 不同的最小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同的那组变量取值也不同 (3) ) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0 (4) ) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1 •最大项定义 逻辑函数中，如果一个或项（和项）包含该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该或项称为最大项对于n个变量的逻辑函数共有2n个最大项•最大项的表示 最大项用M表示，通常用十进制数作最大项编号把最大项中的原变量当作0，反变量当作1，所得的二进制数所对应的十进制数即为最大项的编号。

•若干最大项之和构成最大项表达式（也叫标准或-与表达式）：•变量数相同时，下标编号相同的最大项和最小项应为互补 三变量最大项编号表三变量最大项编号表思考：思考：最大项与最小项之间存在什么关系？最大项与最小项之间存在什么关系？ 从最大项的定义出发可以证明它具有如下的重要从最大项的定义出发可以证明它具有如下的重要性质：性质： （（1）在输入变量的任何取值下）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一必有一个且仅有一个个最大项的值为最大项的值为0；； （（2））全体最大项之积为全体最大项之积为0；； （（3））某一最大项若不包含在某一最大项若不包含在F中，则必在中，则必在 中中；； （（4））任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1；； （（5）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和各相同变量之和二、逻辑函数的二、逻辑函数的“最小项之和最小项之和”形式形式——标准标准“与或与或”表表达式达式 利用基本公式利用基本公式 ，可将任何一个逻辑函，可将任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。

这种标准形式在逻辑函数数化为最小项之和的标准形式这种标准形式在逻辑函数的化简以及计算机辅助分析和设计中得到了广泛的应用的化简以及计算机辅助分析和设计中得到了广泛的应用 例：例：试将逻辑函数试将逻辑函数 展为展为最小项之和最小项之和的形式三、逻辑函数的三、逻辑函数的“最大项之积最大项之积”形式形式——标准标准“或与或与”表表达式达式 证明：证明：任何一个逻辑函数都可以化成最大项之积的标任何一个逻辑函数都可以化成最大项之积的标准形式 例：例：试将逻辑函数试将逻辑函数 化为最大项之积的标准形式化为最大项之积的标准形式一、逻辑函数的卡诺图表示法一、逻辑函数的卡诺图表示法 （一）卡诺图（（一）卡诺图（Karnaugh Diagram) 卡诺图是由美国工程师卡诺首先提出的一种用来卡诺图是由美国工程师卡诺首先提出的一种用来描述逻辑函数的特殊方格图。

在这个方格图中，每个描述逻辑函数的特殊方格图在这个方格图中，每个小方格代表逻辑函数的一个小方格代表逻辑函数的一个最小项最小项，而且，而且几何相邻的几何相邻的小方格具有小方格具有逻辑相邻性逻辑相邻性，，即两相邻小方格所代表的最即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同小项只有一个变量取值不同二、三、四、五变量卡诺图为：二、三、四、五变量卡诺图为：8 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简二变量卡诺图二变量卡诺图三变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图四变量卡诺图五变量卡诺图五变量卡诺图 （二）卡诺图的特点：（二）卡诺图的特点： 1、卡诺图中的、卡诺图中的小方格数等于最小项总数小方格数等于最小项总数，若逻辑，若逻辑函数的变量数为函数的变量数为 n，则小方格数为，则小方格数为 个 2、卡诺图行列两侧标注的、卡诺图行列两侧标注的0和和1表示使对应方格内最表示使对应方格内最小项为小项为1的变量取值同时，这些的变量取值同时，这些0和和1组成的二进制数组成的二进制数大小就是对应大小就是对应最小项的编号最小项的编号此外，在卡诺图中，此外，在卡诺图中，几何几何相邻相邻的最小项具有的最小项具有逻辑相邻性逻辑相邻性，因此，变量的取值不能，因此，变量的取值不能按照二进制数的顺序排列，必须按照二进制数的顺序排列，必须按按循环码循环码排列排列。

3、卡诺图是一个、卡诺图是一个上下上下、、左右闭合左右闭合的图形，即不但的图形，即不但紧挨着的方格是相邻的，而且上下、左右相对应的方紧挨着的方格是相邻的，而且上下、左右相对应的方格也是相邻的格也是相邻的1、已知函数式、已知函数式 化成最小项之和形式化成最小项之和形式 卡诺图中对应最小项格填入卡诺图中对应最小项格填入“1” 得到卡诺图得到卡诺图 （三）用卡诺图表示逻辑函数（三）用卡诺图表示逻辑函数例：例：试用卡诺图表示逻辑函数试用卡诺图表示逻辑函数111111112、已知真值表、已知真值表 每组变量（即最小项）所对应每组变量（即最小项）所对应 的函数值的函数值 填入卡诺图中相应方格填入卡诺图中相应方格 化简得到函数式化简得到函数式3、、已知逻辑函数的卡诺图已知逻辑函数的卡诺图 该函数的真值表该函数的真值表 写出该函数的逻辑函数式写出该函数的逻辑函数式。

二、用卡诺图化简逻辑函数二、用卡诺图化简逻辑函数（一）用卡诺图化简逻辑函数的依据（基本性质）（一）用卡诺图化简逻辑函数的依据（基本性质） 基本原理：各基本原理：各几何相邻方格的逻辑相邻性几何相邻方格的逻辑相邻性 例：例： 性质性质1：卡诺图中：卡诺图中两个相邻两个相邻“1”格格的最小项可以合的最小项可以合并成一个与项，并消去并成一个与项，并消去一个一个变量 性质性质2：卡诺图中：卡诺图中四个相邻四个相邻“1”格格的最小项可以的最小项可以合并成一个与项，并消去合并成一个与项，并消去两个两个变量 例：例： 性质性质3：卡诺图中：卡诺图中八个相邻八个相邻“1”格格的最小项可以的最小项可以合并成一个与项，并消去合并成一个与项，并消去三个三个变量 例：例： 推论：推论：在在n个变量的卡诺图中，若有个变量的卡诺图中，若有 个个“1”格格相邻（相邻（k=0，，1，，2，，3，，…，，n），它们可以圈在一起），它们可以圈在一起加以合并，合并时可以消去加以合并，合并时可以消去k个个不同的变量，简化为一不同的变量，简化为一个具有个具有（（n-k）个变量）个变量的与项。

的与项若若k=n，则合并时可消，则合并时可消去全部变量，去全部变量，结果为结果为1（二）用卡诺图求最简与或表达式（二）用卡诺图求最简与或表达式步骤：步骤： 1、得到函数的、得到函数的真值表真值表或将函数化为或将函数化为最小项之和最小项之和的标的标准形式；准形式； 2、画出函数的卡诺图；、画出函数的卡诺图； 例例1 1：：用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数3、合并最小项（即、合并最小项（即“画圈画圈”）；）； “画圈画圈”时应注意的问题时应注意的问题：： ①①“1”格一个也不能漏，否则表达式与函数不等格一个也不能漏，否则表达式与函数不等；； ②② “1”格允许被一个以上的圈包围，因为格允许被一个以上的圈包围，因为A+A=A；；③③圈的个数应尽可能少，因为一个圈对应一个与圈的个数应尽可能少，因为一个圈对应一个与 项，即与项最少；项，即与项最少； 例：例：④④ 圈的面积越大越好，但必须为圈的面积越大越好，但必须为 个方格这是个方格这是因为圈越大，消去的变量就越多，与项中的变因为圈越大，消去的变量就越多，与项中的变量数就越少。

量数就越少 例：例：⑤⑤ 每个圈至少应包含一个新的每个圈至少应包含一个新的“1”格，否则这个格，否则这个圈是多余的，即增加了冗余项；圈是多余的，即增加了冗余项； 例：例： 总之，即总之，即“可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每个圈必有一个新要大，每个圈必有一个新‘1 1’”4、写出最简、写出最简“与与-或或”表达式例例2 2：：试用图形化简法求逻辑函数试用图形化简法求逻辑函数F F（（A A，，B B，，C C，，D D））=∑m (1=∑m (1，，2 2，，4 4，，9 9，，1010，，1111，，1313，，1515）的最简与）的最简与或表达式或表达式11111111例例3 3：：用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数 Y= ∑m (1Y= ∑m (1，，3 3，，6 6，，7 7，，1414））注：卡诺图化简得到的最简与或式不一定唯一注：卡诺图化简得到的最简与或式不一定唯一11111一、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项一、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 约束项约束项——在某些情况下，输入变量的取值不是任意在某些情况下，输入变量的取值不是任意的。

当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们的当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最小项恒等于对应的最小项恒等于0来表示这些来表示这些恒等于恒等于0的最小项叫约的最小项叫约束项束项 任意项任意项——有时输入变量的某些取值是有时输入变量的某些取值是1还是还是0皆可，皆可，并不影响电路的功能并不影响电路的功能在这些变量取值下，其值等于在这些变量取值下，其值等于1的的那些最小项称为任意项那些最小项称为任意项 无关项无关项——约束项和任意项统称为逻辑函数中的无关约束项和任意项统称为逻辑函数中的无关项无关无关”指是否将这些最小项写入逻辑函数式无关紧指是否将这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，在卡诺图中用要，在卡诺图中用“×”表示无关项表示无关项在化简逻辑函数时，在化简逻辑函数时，可认为它是可认为它是1，也可认为它是，也可认为它是09 9具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简二、无关项在化简逻辑函数中的应用二、无关项在化简逻辑函数中的应用 化简具有无关项的逻辑函数时，如果能合理利用化简具有无关项的逻辑函数时，如果能合理利用这些无关项，一般都可以得到更加简单的化简结果。

这些无关项，一般都可以得到更加简单的化简结果 合并最小项时，究竟把卡诺图上的合并最小项时，究竟把卡诺图上的“×”作为作为1还是还是0，应以得到的，应以得到的相邻最小项矩形组合最大相邻最小项矩形组合最大，，而且而且矩形组合数目最小矩形组合数目最小为原则 例：例：试化简逻辑函数试化简逻辑函数已知约束条件为：已知约束条件为：1111xxxxxx例：例：试用卡诺图化简逻辑函数试用卡诺图化简逻辑函数 解答：解答：此例有两种解法，从原理而言，两此例有两种解法，从原理而言，两种解法均正确，但就种解法均正确，但就“最简最简”原则而言，只有一原则而言，只有一种解法最简单、最可取因此，种解法最简单、最可取因此，在考虑卡诺图化在考虑卡诺图化简不唯一性的同时，还应考虑简不唯一性的同时，还应考虑“最简最简”原则原则思考：思考：由上例可得出什么结论和启示？由上例可得出什么结论和启示？思考思考1：：公式化简和卡诺图化简各有何优缺？公式化简和卡诺图化简各有何优缺？化简法化简法优点优点缺点缺点公式法公式法化简不受输入变量化简不受输入变量数目的影响数目的影响化简过程没有固定的、通用化简过程没有固定的、通用的步骤可循，不适用于计算的步骤可循，不适用于计算机辅助化简。

机辅助化简卡诺图法卡诺图法 直观、简单直观、简单输入变量数目较多时（例如输入变量数目较多时（例如>5>5），不再直观，且化简需），不再直观，且化简需凭设计者的经验，不便于利凭设计者的经验，不便于利用计算机完成化简工作用计算机完成化简工作。