2023年福建省高一数学竞赛试题参考答案.doc

2023年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1.集合的子集有（ ）A．4个 B．8个 C．16个 D．32个【答案】 C 【解答】由，知，结合，得∴ 的子集有个2．若直线与直线：关于直线对称，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A．1 B． C． D．【答案】 D 【解答】在直线：取点，则关于直线的对称点在直线上又直线与直线的交点在直线∴ 过和两点，其方程为∴ 与坐标轴交于和两点，与坐标轴围成的三角形的面积为3．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交2）对平面，和直线，若，，则3）对平面，和直线，若，，则4）对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则其中对的的判断有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】 B 【解答】（3）、（4）对的；（1）、（2）不对的对于（1），设，过和的平面为，则当点在平面内，且不在直线上时，找不到直线同时与，都相交。

4．如图，已知正方体，为中点，则二面角的正切值为（ ）A．1 B． C． D．第4题 图【答案】 D 【解答】如图，作于，作于，连结由为正方体，知，因此，，∴ 为面角的平面角设正方体棱长为，则，第4题答题图图∴ 5．已知为等腰直角三角形，，，为中点，动点满足条件：，则线段长的最小值为（ ）A． B．2 C． D．4【答案】 B 【解答】以所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系设，由，知∴ ，即，化简，得∴ 时，有最小值26．记，，，，则，，，的大小关系为（ ）A． B． C． D．（必要时，可以运用函数在上为增函数，在上为减函数）【答案】 A 【解答】，设，由在上为增函数，在上为减函数，得，于是∴ ，即，于是，又显然，，二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知为奇函数，为偶函数，且，则 答案】 【解答】依题意，有 ………… ①，由为奇函数，为偶函数，得… ②①②，得，8．已知直线：的倾斜角为，若，则的取值范围为 。

答案】 【解答】当时，；当时，，解得；当时，，解得∴ 的取值范围为9．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，则与平面所成角的正弦值为 第9题 图【答案】 【解答】如图，作于，则就是与平面所成的角∵ ，，∴ 第9题答题图∴ ，或求出外接圆半径后，再求解10．函数的最小值为 答案】 【解答】 由，知，或∴ 的定义域为∵ 和在上都是减函数，在上都是增函数∴ 在上是减函数，在上是增函数∴ 的最小值是与中较小者∵ ，∴ 的最小值是11．已知函数（，且）在区间上的最小值为，则在区间上的最大值为 答案】 10【解答】设，则在上为增函数时，，在上为增函数∴ ，时，，在上为增函数∴ ，12．若实数，满足条件：，则的最小值为 答案】 【解答】由条件知，，，因此，，由对称性，不妨设，则设，代入，消并整理，得………… ①由①的判别式，得或由知，，又时，①化为，得，此时，符合∴ 的最小值为因此，的最小值为三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．在中，已知点，，且它的内切圆的方程为，求点的坐标。

答案】易知直线于圆相切，直线、的斜率存在设直线的方程为，即由直线与圆相切，知，解得∴ 直线的方程为 ……………………… 8分设直线的方程为，即由直线与圆相切，知，解得∴ 直线的方程为 …………………… 12分由，解得∴ 点的坐标为 ………………………… 16分14．已知（，，），且对任意实数，恒成立1）求证：；（2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值答案】（1）∵ 对任意实数，恒成立，∴ 对任意实数，，即恒成立∴ ，即 ………………… 4分∴ ， ……………………… 8分（2）由以及（1）知，∴ 恒成立，等价于恒成立………… 12分设，则由，知的取值范围为∴ ，的最小值为 ……………………… 16分15．如图，、分别是的中线和高线，、是外接圆的切线，点是与圆的交点1）求证：；（2）求证：平分答案】（1）由为圆切线，知∵ 、是圆的切线，为中点，∴ 、、三点共线，且。

第15题 图∴ ， ……………… 4分∵ ，为中点，∴ ，又∵ 第15题答题图∴ ……………… 8分（2）延长交圆于点，连结，，由，知.∴ ， ……………… 12分又为中点，∴ ，∴ 平分 ………………… 16分（2）或解：连结、、、由，，知又由切割线定理知，，第15题答题图∴ ∴ 、、、四点共圆 ……………… 12分∴ 又于，因此，∴ 平分 ……………………… 16分16．已知正整数，，（）为的三边长，且，求的最小值其中表达的小数部分，即（表达不超过的最大整数）答案】由，知（即，，，被15除的余数相同 …………………………… 4分∴ ，由2与15互质知，， ……………… 8分经验算，可知满足的最小正整数∴ ，都是4的倍数 ……………………… 12分设，（，为正整数，且）∵ ，，构成三角形三边长，∴ ，经验证，5，，可认为三角形的三边长。

∴ 的最小值为27此时，，， …………… 16分17．已知集合集合是的子集，且在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍求的最大值其中表达集合的元素的个数）答案】一方面集合符合规定 …………………………… 5分设，，满足：在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍取的任意三个相邻元素：，，依题意是的整数倍，或是的整数倍，或是的整数倍∴ ，或，或于是，总有成立 ………………………… 10分因此，，，，，……∴ 若，则与矛盾因此，的最大值为21 …………………………… 14分。