数值分析第1章绪论教案.ppt

第1章 绪论 《计算方法》32学时；实验16学时，分8次，每次2学时第1章 绪论 《计算方法》第一章第一章 绪绪 论论§1 计算计算方法的任务与特点方法的任务与特点§2 数值数值问题与数值算法问题与数值算法§3 误差误差§4 算法的稳定性算法的稳定性§5 如何如何学习计算方法学习计算方法第1章 绪论 《计算方法》§1 计算方法的任务与特点计算方法的任务与特点 1.1什么叫计算方法 （1）举例 计算人体身高、气温描述、两分法求根f(x)=0 （2）定义：计算方法是对科学技术中的实际问题进行数值求解的方法 1.2计算方法与计算机的关系 （1）计算方法的产生 （2）计算方法与计算机的关系第1章 绪论 《计算方法》§1 计算方法的任务与特点计算方法的任务与特点 1.3 计算方法研究的问题 （1）计算方法的分类 数值代数、数值逼近与微分方程数值解法。

（2）计算方法研究的问题 计算问题：建筑设计、力学结构计算 数值模拟：人口系统、生态系统、弹道轨迹 最优化问题：人口控制、系统最优化设计 第1章 绪论 《计算方法》§2 数值问题与数值算法数值问题与数值算法 （1）数值问题举例 曲线拟合 （2）数值算法举例 S=1+2+3+……+100 ex=1+x+x2/2!+……+xn/n!. ax2+bx+c=0，求根 第1章 绪论 《计算方法》§3 误差误差 1.1误差的来源 用数值计算方法解决科学技术中的实际问题,必须首先建立数学模型而数学模型又只能在感性认识的基础上,抓住主要因素,忽略次要因素的情况下获得,故只能近似地描述所给的实际问题,其与实际问题之间有一定的差异,从而出现误差这种误差称之为“模模型型误误差差” 第1章 绪论 《计算方法》 在数学模型中,常常包含了若干参变量,如比重、加速度、阻力系数等,这些量一般是通过观测得来的,而观测的结果不可能绝对准确,因而就产生了误差。

这种误差通常称为“测量误差” 例 设某金属棒在温度t时的长度为lt(0℃时金属棒的长度为l0),则 lt≈Lt=l0(1+αt+βt2)  这里l0≡1,α、β为参数,可估计为 α=0.001253±10-6 β=0.000068±10-6第1章 绪论 《计算方法》于是知,lt-Lt为模型误差,10-6是观测α、β而产生的误差,因此为“测量误差测量误差”在计算过程中,我们常用收敛无穷级数的前几项代替无穷级数,即抛弃了无穷级数的后段这样得到的误差称为“截断误差截断误差” 第1章 绪论 《计算方法》 1.2 绝对误差和绝对误差限 定义假设某一量的准确值为x,近似值为x*,则x与x*之差 的绝对误差(简称误差),记为ε(x),即 ε(x)=x-x* (1―1) ｜ε(x)｜的大小标志着x*的精确度。

一般地,在同一量的不同近似值中,｜ε(x)｜越小,x*的精确度越高 第1章 绪论 《计算方法》 由于准确值x一般不能得到,于是误差ε(x)的准确值也无法求得,但在实际测量或计算时,可根据具体情况事先估计出它的大小范围也就是指定一个适当小的正数ξ,使得 |ε(x)|=｜x-x*｜≤ξ (1―2) 我们称ξ为近似值x的绝对误差限有时也用  x=x*±ξ (1―3)第1章 绪论 《计算方法》 表示近似值的精度或准确值的所在范围在实际问题中,绝对误差一般是有量纲的例如测得某一物件的长度为5m,其误差限为0.01m,通常将准确长度s记为  s=5±0.01  即准确值在5m左右,但不超过0.01m的误差限第1章 绪论 《计算方法》 1.3 相对误差和相对误差限 绝对误差并不足以表示近似值的好坏。

例如设  x1=100±1 x2=1000±1  近似值x*1=100的绝对误差限与x*2=1000的绝对误差限相同,不过100的误差为1与1000的误差为1比较,后者应比前者精确 第1章 绪论 《计算方法》 定义 我们把绝对误差与准确值之比 称为x*的相对误差由于准确值x往往是不知道的,因此在实际问题中,常取 (1―4)第1章 绪论 《计算方法》 由式(1―4)可知,相对误差可以由绝对误差求出;反之,绝对误差也可由相对误差求出其关系是  ε(x)=xεr(x) (1―5)  在讨论对近似值进行运算结果的误差分析时,相对误差更能反映出误差的特征因此在误差分析中相对误差比绝对误差显得更为重要第1章 绪论 《计算方法》 在实际计算中,由于ε(x)与x都不能准确地求得,因此相对误差εr(x)也不可能准确地得到,于是也像绝对误差那样,只能估计它的大小范围。

即指定一个适当小的正数η,使 称η为近似值x*的相对误差限 (1―6) 第1章 绪论 《计算方法》 例1 给定 g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)的近似值 甲 用下列步骤解题:由于 cos2°≈0.9994,故  g(2°)=107(1-cos2°) ≈ 107(1-0.9994) =6000第1章 绪论 《计算方法》 乙 用另法计算:由于  g(x)=107(1-cosx)≡2×107sin2 查表sin1°≈0.0175,故 g(2°)=2×107sin21°≈2×107(0.0175)2 ≈6125第1章 绪论 《计算方法》 甲、乙都用一本数学手册,表的每一个数都准确到小数后第四位,答案为什么不一致?谁的答案较正确呢?下面我们来分析甲、乙算题时各自的相对误差:记 t1=(1-A)107,其中A=cosx, t2=2×107B2,其中B=sin(x/2), 三角函数表给出了四位数字,它准确到小数后第三位,而第四位是经过“四舍五入”得到的,即有第1章 绪论 《计算方法》 1.4 有效数字 对于一个近似值,我们还希望知道它的准确程度,为此,再引进有效数字的概念。

定义将近似数x写成 x=±10m+1(α1×10-1+α2×10-2+ α3×10-3+…+αn×10-n) (1―7)第1章 绪论 《计算方法》§4 算法的数值稳定性算法的数值稳定性 4.1 算法稳定的若干原则 例1一元二次方程  x2+2px-q=0 的两个根分别为 第1章 绪论 《计算方法》 当p=-0.5×105,q=-1时,方程的两个根取11位有效数字为  x1=99999.999990 x2=0.000010000000001  而在字长为8,基底为10的计算机上直接用上述公式计算的结果为  x1=100000.00 x2=0第1章 绪论 《计算方法》 结果x1很好,而x2很不理想。

这说明直接用上述公式计算第二个根是不稳定的但是若用根与系数的关系,因为  x1x2=-q=1  则  x2=1/x1 (1―23)  因此,如果仍用前述方法算出x1,然后用公式 (1―23) 计算x2便得到  x1=100000.00 x2=0.000010000000  该结果是非常好的这就说明后一种算法有较好的数值稳定性 第1章 绪论 《计算方法》 例2 计算积分 (1―24) 利用分部积分法可得从而有递推公式 第1章 绪论 《计算方法》 表 1―1 第1章 绪论 《计算方法》 这样,计算E9时所产生的误差约为  9!ε=9!×4.412×10-7≈0.1601 如果采用新的算法,把上述递推关系改写成(1―25) 从后向前计算,则En中的误差下降为原来的1/n。

所以, 若取n足够大,误差逐步减小,其影响愈来愈小为了 得到出发值,可考虑关系 第1章 绪论 《计算方法》 表 1―2 第1章 绪论 《计算方法》 4.2 改善算法的例子 例1 对于充分大的x计算 由于当x很大时, 与 很接近,直接计算会造成有效数字的严重损失,可将原式化为一个等价的公式来计算,也即第1章 绪论 《计算方法》 例2 当x接近于0时 例3 对于小的正数ε,可化 例4对于充分大的N 第1章 绪论 《计算方法》 例5 对于绝对值小的x,可化 这里将ex在x=0附近展成幂级数 第1章 绪论 《计算方法》§5 如何学习计算方法如何学习计算方法 5.1 计算方法课程特点 ① 数学基础 高等数学、线性代数、微分方程、计算机语言。

② 内容抽象 公式推导复杂、计算繁琐 ③ 理论与实际具有一定偏差，计算时需灵活掌握第1章 绪论 《计算方法》§5 如何学习计算方法如何学习计算方法 5.2 学习计算方法课程要求 ① 掌握算法的计算公式和计算方法 ② 掌握算法的计算原理和近似计算公式的推导 ③ 掌握计算的误差估计方法 ④ 注意培养编程和动手计算的能力第1章 绪论 《计算方法》§5 如何学习计算方法如何学习计算方法 5.3 如何学习计算方法课程 ① 及时预习和复习 ② 重点掌握算法的计算原理，通过原理和公式推导掌握公式和算法 ③ 重视上机实验 。