2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版).docx

2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：x5a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)A．2sin 40° B．2cos 40° C.1son50° D.1cos50°答案　D解析　由题意可得－ba＝tan 130°，所以e＝ 1+b2a2＝1+tan2130°＝ 1+sin2130°cos2130°＝1cos130°＝1cos50°.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1答案　B解析　由题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝ca＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝2m2+3m2-3m22×2m∙3m＝13，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以13＝1－21a2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1，故选B.3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p等于(　　)A．2 B．3 C．4 D．8答案　D解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为p2,0，椭圆的焦点坐标为(±2p，0)，所以p2＝2p，解得p＝8，故选D.4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)A.2 B.3 C．2 D.5答案　A解析　如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为x-c222＋y2＝c24①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝a2c，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝a2c，所以|PQ|＝2a2-a2c2.由|PQ|＝|OF|，得2a2-a2c2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝2，故选A.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：x24－y25＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)A.32 B.52 C.72 D.92答案　B解析　由F是双曲线x24－y25＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则x02+y02=3,x024-y025=1,解得x02=569,y02=259,所以P2143,53，所以S△OPF＝12|OF|·y0＝12×3×53＝52.6．(2019·北京文，5已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的离心率是5，则a等于(　　)A.3 B．4 C．2 D.12答案　D解析　由双曲线方程x2a2－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝c2a2＝a2+1a2＝1＋1a2.结合a>0，解得a＝12.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)A.2 B.3 C．2 D.5答案　D解析　由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±bax.将x＝－1代入y＝±bax，得y＝±ba，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|＝4|OF|可得2ba＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ca＝a2+b2a2＝5.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)A.22 B．1C.2 D．2答案　C解析　因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1答案　B解析　由题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝ca＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝2m2+3m2-3m22×2m∙3m＝13，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以13＝1－21a22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1，故选B.10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p等于(　　)A．2 B．3 C．4 D．8答案　D解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为p2,0，椭圆的焦点坐标为(±2p，0)，所以p2＝2p，解得p＝8，故选D.11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)A.2 B.3 C．2 D.5答案　A解析　如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为x-c22＋y2＝c24①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝a2c，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝a2c，所以|PQ|＝2a2-a2c2.由|PQ|＝|OF|，得2a2-a2c2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝2，故选A.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)A.324 B.322 C．22 D．32答案　A解析　不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝6.又tan∠POF＝ba＝22，所以等腰△POF的高h＝62×22＝32，所以S△PFO＝12×6×32＝324.13．(2019·北京理，4)已知椭圆的离心率为，则　　A． B． C． D．【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件得答案．【解析】：由题意，，得，则，，即．故选：．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是　　A．① B．② C．①② D．①②③【思路分析】将换成方程不变，所以图形关于轴对称，根据对称性讨论轴右边的图形可得．【解析】：将换成方程不变，所以图形关于轴对称，当时，代入得，，即曲线经过，；当时，方程变为，所以△，解得，，所以只能取整数1，当时，，解得或，即曲线经过，，根据对称性可得曲线还经过，，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当时，由得，（当时取等），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过；故②正确．在轴上图形面积大于矩形面积，轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积，因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故③错误．故选：．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)A.2 B.3 C．2 D.5答案　D解析　由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±bax.将x＝－1代入y＝±bax，得y＝±ba，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|＝4|OF|可得2ba＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ca＝a2+b2a2＝5.二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案　(3，15)解析　不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36-20＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则x236+y220=1,|F1M|2=(x+4)2+y2=64,x>0,y>0,得x=3,y=15,所以M的坐标为(3，15)．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案　(x－1)2＋y2＝4解析　∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案　－2　5解析　方法一　设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝(-2-0)2+(-1+2)2＝5.方法二　因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m+10-(-2)×2＝－1，所以m＝－2，r＝(-2-0)2+(-1+2)2＝5.4．(2019·浙江，15)已知椭圆x29＋y25＝1的左焦。