八年级数学上册第三章勾股定理与实际问题知识点与同步训练含解析新版苏科版.doc

勾股定理与实际问题知识精讲•勾股定理与实际问题利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1 •认真审题，读懂题目，理解题意；2•根据题意，画出相应的几何图形，并在图中标出相应的数量关系;3•根据几何图形和数量关系，解三角形，求出答案；4.作答.顧三点剖析•考点：勾股定理与实际问题.二•重难点：利用勾股定理解决实际问题.三•易错点：把实际问题转化成几何模型，注意已知条件和图形的对应关系.题模一：勾股定理与实际问题例3.1.1 如图，有两棵树，一棵高 12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 米.【答案】 10【解析】 如图，设大树高为 AB=12m小树高为CD=6m过C点作CEL AB于E,则四边形EBD(是矩形，连接 AC,「. EB=6mEC=8mAE=AB-EB=12-6=(m),在 Rt △ AEC中，AC= 6? 圧=10(m).故小鸟至少飞行10m.故答案为：10.例3.1.2 如图，点A处有一所中学，点 A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时， 周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN±行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18千米/小时，那么学校受到影响的时间 为多少？【答案】 会受到影响，影响时间为 24s .【解析】 会受到影响.因为80 :：: 100 .当拖拉机距离中学 100以外时，不受影响，故 MN上距离A点100m处为受到影响的临界点 B,作AHL MN于 H有HB = . AB2 - AH2 =60 ,这样的点有两个，故影响的距离为 120m,影响时间为120-〉18,3.6i=24s .例3.1.3 如图，一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端 A距离墙根4米,点P为竹篙的中点.（1） 若竹篙顶端 A下滑1米，则底端B向外滑行了多少米？（2） 若竹篙AB沿墙下滑，则在下滑过程中，点P到墙根端点C的距离是否发生变化？试说【答案】 （1 ）竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了 1米；（2）竹篙在下滑过程中,点P到墙根端点C的距离保持2.5m不变.【解析】 （1）设竹篙顶端下滑1米到A点，底端向外滑行到B1点.由题意得 AA =1 m AC =AC — AA =3 m在 Rt△ ACB!中：B1C fAB； _AC 求点C与点A的距离(精确到 1km); 确定点C相对于点A的方向.(参考数据： 2沁1.414 , . 3沁1.732 )【答案】 (1) 173km (2)点C位于点A的南偏东75°方向【解析】(1)如右图，过点 A作 ADL BC于点 D, / ABE=/ BAF=15 , =4m在 Rt△ ACB中 BC = AB2 _AC2 =3mBBi 二BiC - BC 二 1 m即竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了 1米.(2)竹篙在下滑过程中，点 P到墙根点C的距离不变.理由：连接CP在厶ACB中,••• . C =90 , APrPB，二 CP Jab =2.5m2C的距离保持2.5m不变.#例3.1.4 如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点 A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点 B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处.北北由图得，/ ABC=/ EBC- / ABE2 EBC- / BAF=75 -15° =60°, 在 Rt △ ABD 中，•••/ABC=60 , AB=100,••• BD=50 AD=50# ,••• CD=BCBD=200-50=150 ,在Rt△ ACD中，由勾股定理得：AC=. AD2 CD2 =100 .3 〜173 (km).答：点C与点A的距离约为173km.(2 )在厶 ABC 中，T AB2+aC=1002+ ( 100.3 ) 2=40000,BC=2002=40000,• ab2+a6=b6,•••/ BAC=90 ,•••/ CAF2 BAC- / BAF=90 -15° =75°.答：点C位于点A的南偏东75°方向.豳随堂练习随练3.1 如图，受台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处,则这棵树在折断前（不包括树根）长度是【答案】 16【解析】 由题意得BC =8m,AB = 6在直角△ ABC中，根据勾股定理得： A^ 62 82 =10米所以大树的高度是10 6 =16米.随练3.2 如图，河流两岸 a、b互相平行，点 A、B是河岸a上的两座建筑物，点 C、D是 河岸b上的两点，A B的距离约为200米.某人在河岸 b上的点P处测得/ APC=75，/过点P作PEL AB于点E,•••/ APC=75，/ BPD=30 ,•••/ APB=75 ,•••/ BAP=/ APC=75 ,•••/ APB=/ BAP• AB=PB=200m•••/ ABP=30 ,1• PE=’ PB=100m2故答案为：100.随练3.3 如图，OAL 0B与点Q OA =45 cm, OB =15 cm,小猫在点 B处发现有一只老鼠 自点A出发正沿着 AO方向匀速跑向点 Q小猫立即从 B处出发，并以相同的速度匀速直线 前进去拦截老鼠，在点 C处截住小老鼠，求小猫跑过的路程 BC的长度.【答案】 小猫跑过的路程BC的长度为25cm【解析】 由题意知BC =AC ,设 OC 二xcm，贝y BC 二 AC =(45-x) cm,又••• OB =15 cm,且厶OBC为直角三角形，2 2 2• BC2 =OB2 OC2,整理得(45 -x)2 =x2 152，解得 x=20, 则 OC =20 cm, BC =25cm.随练3.4 如图，校园内有两棵树，相距 12米，一棵树 AB高13米，另一棵树 CD高 8 米.(1) 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？(2) 如果两树之间的地面(线段 BC上有一些食物，小鸟要从一棵树的顶端飞到地面找食 吃，再飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？【答案】 (1)小鸟至少要飞13米；(2)小鸟至少要飞3.65米【解析】 (1)如图，作 DEL AB于点E,根据题意得：AE =AB - BE = AB -CD =13-8=5 米，DE =BC =12 米，故由勾股定理得： AD二AE2 DE2 =13米，故小鸟至少要飞 13米；(2)延长DC至 F点，作FG// BC交AB的延长线于点 G,连接AF,在 Rt△ AGF中，AF = . AG2 FG2 八212 122 =3 65米，随练3.5 超速行驶是引发交通事故的主要原因. 上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图， 观测点设在到万丰路的距离为 100米的点P处•这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 A处行驶到 B处所用的时间为y=m秒且.APO=60 ,xBPO =45(1 )求A B之间的路程；(2)请判断此车是否超过了万丰路每小时 70千米的限制速度？(参考数据：-.2 >1.41 , 3 1.73 ) •AB【答案】 (1) AB=100(..3_1) (2)没有【解析】 该题考察的是解三角形(1 )在 Rt△ BOP中 , . BOP =90 ,■/ NBPO=45°, OP =100 ,OB =OP =100 . 1 分在 Rt△ AOF中，.AOP =90，.APO =60 ，.AO =OP tan ZAPO ..AO =100 3. -2 分.AB =100( 3 -1)(米).-3 分 厂(2) T 此车速度 v=100( 3 一1)=25( 3 _1) ： 25 0.73=18.25(米 / 秒).……4 分418.25米/秒=65.7千米/小时.765.7 ::: 70 ,.此车没有超过限制速度.……5 分随练3.6 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底 6m(1) 若梯子的底端水平向外滑动 1m,梯子的顶端下滑多少米？(2) 如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米?【答案】 (1)它的顶端下滑动 8-•、丽 米；(2)滑动的距离为2米.【解析】 (1 )在厶ABC中, . ACB =90 , AB =10米，BC =6米，由勾股定理得米，△ ABG中，• C =90 , AB/10米，BQ=7米，由勾股定理得 AC =$51米，二 AB1 =AC — BQ =[8 — • 51 米.x米,(2)设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为根据题意，得10 =：：：［x 6 \亠［8 _x ，解得x=2随练3.7 如图所示，在一次夏令营活动中， 小明坐车从营地 A点出发，沿北偏东60°方向走了 100.3km到达B点，然后再沿北偏西 30。

方向走了 100km到达目的地 C点，求出A C【答案】 A C两点之间的距离为 200km【解析】 I AD// BE••• £ ABE £ DAB =60••• £CBE =30，•乙ABC =180 乙ABE ECBE =180 -60 -30 ^90 , 在 Rt △ ABC中, AB =100 一 3 , BC =100• AC 二 AB2 BC2=.100/ 1002= 200。