西南大学a姚纯清 黄炼 胡丽娟 汪海洋.doc

20072007 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性. 如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理. 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 黄炼 2. 胡丽娟 3. 汪海洋 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 姚纯清 日期： 2007 年 9 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20072007 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1中国人口增长预测模型摘 要改革开放以来，人口问题一直都是制约我国社会发展的主要因素. 得益于计划生育 基本国策的贯彻实行，在过去的数十年里，我国生育率有所下降，有效缓解了人口增 长对经济社会资源环境的压力. 但是进入新时期以来，我国人口又出现了一些新的情况： 人口素质难以适应日趋激烈的综合国力竞争，人口结构性矛盾对社会稳定与和谐的影 响日益显现，人口调控和管理难度不断加大，低生育水平面临反弹风险. 因此，对人口 进行合理的预测显得尤为重要. 然而，人口问题受多种因素的综合影响，精确的长期预测基本上很难实现. 本模型 通过对所给数据进行分析、综合和利用，分别建立了中短期和长期人口预测模型，以 期对我国人口能进行具有一定科学性的合理预测. 模型一（中短期预测） 该模型旨在建立人口增长的中短期模型，再通过此模型来预测中短期的人口增长 趋势. 考虑到所给数据的特征，我们合理的对其进行分类分析，以居住地经济发展水平 为分类指标分为城、镇、乡三大类，以年龄段为分类次指标分为六个年龄段，对数据 进行相应的组合加权处理得到表 1、表 2、表 3 中的数据. 然后对表中的数据进行线型 拟合，得到各年龄段的男女比例、死亡率、生育率关于时间的拟合函数. 然后我们对x 拟合结果做整体性检验，得到检验指标值是： ，这表明该拟合结果具有较强的稳定性和可R1=0.003211R2=0.009102R3=0.002855，， 行性. 因此我们可以大胆使用拟合数据和拟合函数对中短期各类人口进行预测，预测的 指标包括：男女比例、各年龄段在总人口中的分布、人口总数的变化趋势. 模型二（长期预测） 在模型一中，我们已经较好地解决了中短期人口预测问题，对长期预测提供了基 础. 但是模型一中的线性拟合只适用于中短期，若长期预测也用线性拟合，误差可能会 比较大. 因此，我们建立一个考虑年龄结构的连续模型，该模型根据初始人口密度、出生婴儿密度和死亡率，得到人口密度函数的偏微分方程满足的初边值问ppbprx  题，通过解这个初边值问题，得到人口密度函数的解析式，再通过积分得到人口分布 函数，最后得到总人口数. 在建立该模型的过程中预先省略了一些因素，并且人口在长 期增长的过程中会有很多变数，因此得到的结果不是很尽人意. 但是从分析趋势的方面 来看，该模型具有很强的说服力. 总体而言，模型二是对模型一的进一步补充，模型一以定量分析为主，而模型二 以定性分析为主，两者互为补充，以便共同解决短中长不同时期的人口预测问题. 关键词： 数据分类 数据拟合 插值 统计回归 线性偏微分方程初边值问题2问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一. 根据已有数 据，运用数学建模的方法，认真分析研究我国目前人口发展现状和特点，从而对我国 人口做出分析和预测具有重要的意义. 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口 性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都诱发了社会的不稳定因素，间 接影响着中国人口的增长. 2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》 （见附录 1）还做出了进一步的分析. 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料. 附录 2 就是从 〈〈中国人口统计年鉴〉 〉上收集到的部分数据. 题目要求我们从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录 2 中的相 关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据） ，建立中国人口增长的数学模型，并由 此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，给有关决策部门提供参考. 最后对我 们的模型做出相应的评价和适当的改进. 基本假设1、把所要研究的社会人口作为一个整体来考虑，也就是作为一个系统来考虑，而不去 个别地讨论每一个具体社会成员的状态变化. 2、人口随时间的增减变化是连续的，并且是充分光滑的，即人口总量对时间起码有一 阶导数. 3、人口的增长过程是平稳的，不会出现如下情形：在某一段时间内大量增殖如大规模 迁移，在另一段时间内大量减少如大灾难性的突然死亡. 4、每个人的出生和死亡是独立的，即群体总数大小不影响个人生育模式. 5、假设资源在人口发展与经济发展的承载范围之内. 符号说明表示时间即年份，其中表示 2001 年，xLL(1,2,3,, ,....)xnK1x 表示 2002 年，依次类推下去；2x 表示第 类人口的总数 ；NiL Li(1,2,3i 分别表示城市、镇、乡）表示第 类人群中第个年龄段的男性所占城市总人口的比例函数；bjBiL Lij表示第 类人群中第个年龄段的女性所占城市总人口的比例函数；gjBiL Lij表示第 类人群中的男性总体比例与时间的函数；BiL Li表示第 类人群中的女性总体比例与时间的函数；GiL Li表示第 类人群中的总体出生率与时间的函数；SiL Lix表示第 类人群中的总增长率与时间的函数；yiL Lix3还有些符号的意义我们在模型中会给出说明. 模型建立与求解1.中短期人口的预测模型1.1 问题分析该问题的背景是人口问题逐渐成为我国社会经济发展的重要制约因素，影响着社会 的稳定. 但是人口问题一直是一个很难解决的问题，特别是在短期内. 于是我们在联系 实际情况的基础上通过对附件 1 和附件 2 中数据的分析、综合和运用，试图建立一个 能够进行中短期人口预测的数学模型. 人口问题受到各种因素的影响，比如居住地经济发展水平、年龄等. 因此我们要先 把总体人口进行分类. 题中所给给数据是分城市、镇、乡给出的，这给我们分类提供了 直接的依据，由于全国人口由市镇乡人口构成，故只需讨论市镇乡即可以反映全国的 人口趋势问题. 然后通过初步观察，我们发现在某一个年龄段，其死亡率及生育率波动 不大，因此我们有理由把死亡率及生育率波动在一定范围内的人口分在同一年龄段. 综上所述，我们决定以居住地经济发展水平为分类首指标，以年龄段为分类次指标， 对数据进行分类. 依据居住地经济发展水平，我们把数据分为城、镇、乡三大类；依据 年龄段，把数据分为六段：0 岁为第一段，1-14 岁为第二段，15-31 岁为第三段，32-49 岁为第四段，50-65 岁第五段，66 岁以上为第六段. 然后用 MATLAB 来处理数据. 通过编程，求出死亡率、男女性别比例、生育率与 时间（年份）的函数关系，最后对照图形进行直观的比较、按函数计算和分析. 1.2 中短期人口模型的建立与求解 1.2.1 数据的分析与处理 本问题需要对附件 2 中的数据进行处理然后进行分类讨论. 对于年龄段的划分我们 是依据对数据的分析及相关图形得出的. 下面是 2005 年男女年龄的分布图像：在图形中我们可以看出男性年龄分布图像和女性年龄分布图像几乎相同，所以男性与 女性可按相同的年龄段进行划分. 然后我们对数据进行反复的测试，确定出具体的年龄4段的划分（在问题分析中已列出） ，这里我们不再赘述. 然后对每一类人口中每一年龄段的男女比例及死亡率进行计算，我们只推导男性 占总人口的比例及死亡率的计算公式，女性的可类似推倒. 设表示第 类人口的总Nii数（分别表示城市、镇、乡） ，表示第几个年龄段，表示1,2,3i (1,2,3,4,5,6)j j nij第 类人口中的第年龄段的人口总数，表示每个年龄所占总人口的比例，表示ijpijqij 每个年龄的死亡率. 那么每类人口中每个年龄段的男性所占该类人口总数的比例为： 1nijjPijpij每类人口中每个年龄段平均死亡率为： 11****nijj nijjjNipij qijpij qij QijNi PijPij按照上述计算方法，用 EXCEl 对数据进行处理，计算出不同的人群类型从 2001 年到 2005 年在各个年龄段所占总人口的比例及死亡率. 对于个别异常数据，我们利用 其他数据进行线性插值处理. 得到的数据用表格的形式反映出来：（在下面的表格中， 性别比例是指该类人口中每一年龄段不同性别的人占该类人口总数的百分比（％）表 示，而死亡率为该类人口中每年龄段不同性别的死亡人数所占该类人口中该性别人口 总数的千分比（‰） ）表 1 城市中的各种数据年龄段 年份2001 年2002 年2003 年2004 年2005 年男性比例0.470.440.40.470.46女性比例0.420.390.360.410.4男性死亡率5.9210.763.254.276.380 岁段男性死亡率5.212.537.310.66.08男性比例8.037.757.367.37.48女性比例7.416.986.676.456.52男性死亡率0.7440.4410.2010.080.3521-14 岁段男性死亡率0.34350.26690.21430.49750.232男性比例13.8513.5912.8412.4513.44女性比例14.4713.7913.2913.5114男性死亡率0.6170.7060.4630.5440.56615-31 岁段男性死亡率0.40280.29070.23180.31910.2217男性比例16.8117.2517.0816.8416.74女性比例16.216.4916.6216.816.44男性死亡率2.2171.6712.1771.7241.92432-49 岁段男性死亡率0.83261.14361.10210.95410.8315男性比例7.117.368.028.498.16女性比例7.517.88.488.88.36男性死亡率8.7197.9187.9557.6377.04350-65 岁段男性死亡率5.41054.02083.9214.81474.2196男性比例3.713.944.284.113.83女性比例3.984.214.554.314.16男性死亡率4。