历届全国大学生数学竞赛真题非数学类.docx

历届全国大学生数学比赛真题及答案非数学类-让每一个人同样地提高自我高数比赛初赛试题（非数学类）（参加高等数学比赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，合适看一些指导书及相关题目，主若是一些各大高校的试题2009年第一届全国大学生数学比赛初赛试卷一、填空题（每题5分，共20分）(xy)ln(1y)1．计算xdxdy____________，此中地域D由直线xy1与两D1xy坐标轴所围成三角形地域.xyu,xvxv,yuv01解:令，则，dddet11(xy)ln(1y)Dxdxdy1xyulnuulnvdudv1u1ulnuuuu(udvlnvdv)du0101u01u2lnuu(ulnuu)01u1udu1u2du（*）01u令t1u，则u1t2du2tdt，u212t2t4，u(1u)t2(1t)(1t)，(*)0(122t4)dt21t12t31t512t4)dt2t2(12t00352．设f(x)是连续函数，且满足f(x)3x22f(x)dx016152,则f(x)____________.令A23x2A2，解:f(x)dx，则f(x)0A2A2)dx82(A2)42A,(3x20解得A4。

所以f(x)3x21033．曲面zx2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是__________.321-让每一个人同样地提高自我解:因平面2x2yz0的法向量为(2,2,1)，而曲面zx2y22在2(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),1)与(2,2,1)平行，所以，由zxx，zy2y知2zx(x0,y0)x0,2zy(x0,y0)2y0，即x02,y01，又z(x0,y0)z(2,1)5，于是曲面2x2yz0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x2)2(y1)(z5)0，即曲面zx2y22平行平面22x2yz0的切平面方程是2x2yz104．设函数yy(x)由方程xef(y)eyln29确立，此中f拥有二阶导数，且f1，则d2y________________.dx2解:方程xef(y)eyln29的两边对x求导，得ef(y)xf(y)yef(y)eyyln29因eyln29xef(y)，故1f(y)yy，即y1(y))，所以xx(1fd2yy1f(y)ydx2x2(1f(y))x[1f(y)]2f(y)1f(y)[1f(y)]2x2[1f(y)]3x2(1f(y))x2[1f(y)]3二、（5分）求极限lim(exe2xenxe)x，此中n是给定的正整数.x0n解:因lim(exe2xenxeexe2xenxe)xlim(1n)xx0nx0n故Alimexe2xenxnex0nxelimexe2xnxenxnx0elimex2e2xnenxe12nn1ex0nn2所以lim(exe2xenxeeAn1e)xe2nx02-让每一个人同样地提高自我三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)1f(xt)dt，且limf(x)A，A为常数，求g(x)0x0x并谈论g(x)在x0处的连续性.解:由limf(x)A和函数f(x)连续知，f(0)limf(x)limxlimf(x)0x0xx0x0x0x因g(x)1f(xt)dt，故g(0)1(0)dtf(0)0，0f0所以，当x01xf(u)du，故时，g(x)x0xf(u)dulimg(x)lim0limf(x)f(0)0x0x0xx01当x0时，1xf(x)g(x)x2f(u)dux，01xf(t)dtxlimg(x)g(0)x0f(t)dtf(x)Ag(0)limxlim0limx0xx0x0x21x02x2AA1xf(x)f(x)xlimg(x)lim[f(u)du]limlimf(u)duA2020x0x0xxx0xx0x22这表示g(x)在x0处连续.四、（15分）已知平面地域D{(x,y)|0x,0y}，L为D的正向界限，试证：（1）xesinydyyesinxdx。