非线性方程数值解法.ppt

第三章非线性方程的数值解法根的概念 n给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点.n设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根.n本章只讨论实根的求法.求根步骤 n（1）确定所给方程存在多少个根.n（2）进行根的隔离，找出每个有根区间 ，有根区间内的任一点都可看成是该根 的一个近似值.n（3）逐步把近似根精确化，直到足够精 确为止.根的隔离根的隔离n确定出若干个小区间，使每个小区间有 且仅有方程f(x)=0的一个根，这个步骤称 为根的隔离.其中每个有根小区间都称为 隔根区间.根的隔离方法n试值法计算f(x)在若干个点上的函数值，通过函 数值符号的变化情况确定隔根区间.n作图法画出函数y=f(x)的图象，观察曲线y=f(x) 与x轴交点的大致位置，从而确定隔根区 间.例 讨论方程f(x)=2x3-4x2+4x- 7=0的根的位置.n解 f '(x)=6x2-8x+4=2x2+4(x-1)2>0y=f(x)是单调递增函数.计算函数f(x)在下列各点上的函数值，符 号如下表：x 0 1 2f(x) -7 -5 1 由表可见f(x)=0仅有一个根α(1,2).对分区间法对分法的基本思想n对分法的基本思想是在平分有根区间的 过程中，逐步缩小有根区间.n设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) f(b)0， f(1)=e-1-11,则迭代过程xk+1=(xk)发散.n证 由于' (α) 1时，称为超线性收敛，当p=2时，称为 平方收敛. p越大，收敛越快.例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式. n方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)0， 故 方程f(x)=0在区间(1, 2)内有根.题中(x)=4-2x，当时 x(1,2)时, ‘(x)=-2xln2>2ln2>1 ，由定理2不能用来迭代求根.n把原方程改写为x=ln(4-x)/ln2，此时(x)=ln(4-x)/ln2 ， 则有1°当x[1,2]时， (x)[1,ln3/ln2] [1,2]2°x(1,2) ，有 '(x)= n由定理知可用迭代公式xk+1=ln(4-xk)/ln2来求解(1,2)区间 内的唯一根. 例 设F(x)=x+c(x2-3)，应如何选取c才 能使迭xk+1=F(xk)代具有局部收敛性？ n 方程x=F(x)的根为 ，函数 F(x)在根附近具有连续一阶导数，又 F' (x)=1+2cx, ，解 得；解 得从而使迭代xk+1=F(xk) 具有局部收敛性，则 ，且c0.Newton迭代法 n设有方程f(x)=0，在f(x)=0的根α附近任取 一点x0作为初始近似根，由迭代公式逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法 称为Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.nNewton法的迭代函数是从而 由此知若α是f(x)=0的一个单根，则在根α 附近Newton法是局部收敛的，并且收敛速 度是平方收敛的.但如果α是f(x)=0的重根， 则Newton法仅有线性收敛速度. 例 研究求 的Newton公式,证明：对一切， Newton公式产生的序列 {xk}是单调递减的，从而迭代过程收敛 .n其Newton公式为n证 因a>0，x0>0，故xk >0 (k=1,2,)因此对一切k1,均有 .利用这一结果，得故xk+1xk，即{xk}单调递减.根据单调有界原理知 {xk}收敛. 例 设a为正实数，试建立求 的Newton迭代公 式，要求在迭代函数中不用除法运算，并要求当取初值x0满足 时，此算法是收敛的.n解 考虑方程 则 为此方程的根， ，用Newton法求 此方程根的迭代公式为迭代函数不含除法运算.递推可得解得当 时， ，从而n故 ，此算法收敛.弦截法 n在方程f(x)=0的根α附近任取两初始近似 根x0 ,x1 ，由迭代公式(4-4)逐次逼近f(x)=0的根α ，这种求根算法称 为弦截法. 。