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万有引力定律公式、例题及其应用-------------------------------------------------------------------------- 作者 : _____________-------------------------------------------------------------------------- 日期 : _____________万有引力定律及其应用知识网络 :天体运万有引力定地球卫教学目标：1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题2．掌握宇宙速度的概念3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能教学重点： 万有引力定律的应用教学难点： 宇宙速度、人造卫星的运动教学方法： 讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、万有引力定律 ：（ 1687 年）m1m2F Gr 2适用于两个质点或均匀球体； r 为两质点或球心间的距离； G 为万有引力恒量（ 1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）G 6.67 10 11 N m 2 / kg 2二、万有引力定律的应用1．解题的相关知识：（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是Mmv2天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即Gr 2m r 2 ＝4 22mMm T 2 rmr ；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G R 2＝ mg从而得出GM＝ R 2 g。

2）圆周运动的有关公式：＝ 2， v=r T讨论：①由 GMmmv 2可得： vGMr 越大， v 越小r2r2r②由 G Mmm2r 可得：GMr3r 越大， ω越小r 2③由 G Mm22mr 可得： T2r 3GM r 越大， T 越大r 2T④由 G Mmma向 可得： a向GMr 越大， a 向越小r 2r 2点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动2．常见题型万有引力定律的应用主要涉及几个方面：（1）测天体的质量及密度 ：（万有引力全部提供向心力）Mm222 r34由 Gmr 得 Mr2TGT 2又 M4R 3得3r 33GT2 R3【例 1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大现有一中子星，观测到它的自转周期为 T= 1 s问该中子星的最小密度应是多少才能30维持该星的稳定，不致因自转而瓦解计算时星体可视为均匀球体 (引力常数G=6.67 10 11 m3 /kg.s2 )解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为 ，质量为 M ，半径为 R，自转角速度为 ，位于赤道处的小物块质量为 m，则有 GMmm 2 R2R2TM 4 R33由以上各式得 3 ，代入数据解得： 1.27 1014 kg / m3 GT 2点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题： （重力近似等于万有引力）表面重力加速度：Mmmg0g0GMGR2R2轨道重力加速度：GMmmghg hGMR h 2R h2【例 2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量 M 与卫星的质量 m 之比 M/m=81，行星的半径 R0 与卫星的半径R 之比 R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离 r 与行星的半径 R0 之比 r/R0＝60设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有GMmr 2mg⋯⋯经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果解析：题中所列关于 g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。

正确的解法是GmGM0R02 mg卫星表面R2＝g行星表面R 2=g即 ( R)M=g00即 g =0.16g0 3）人造卫星、宇宙速度：人造卫星分类（略）：其中重点了解同步卫星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别）【例 3】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的一号”是极地圆形轨道卫星其轨道平面与赤道平面垂直，周期是 12h；“二号”是地球同步卫星两颗卫星相比 号离地面较高； 号观察范围较大；号运行速度较大若某天上午 8 点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是 解析：根据周期公式 T= 23GMr 知，高度越大，周期越大，则“风云二号”气象卫星离地面较高；根据运行轨道的特点知，“风云一号” 观察范围较大；根据运行速度公式 V= GMr 知，高度越小，速度越大，则“风云一号” 运行速度较大，由于“风云一号”卫星的周期是12h，每天能对同一地区进行两次观测，在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度的地方时时间保持不变则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午 8 点例 4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（ ）A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆 ,且卫星相对地面是运动的D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆 ,且卫星相对地面是静止的解析：卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供 ,且万有引力始终指向地心，因此卫星的轨道不可能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故 A 是错误的。

由于地球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故 B 是错误的赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动的，故 C、D 是正确的例 5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为 h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为 R，地面处的重力加速度为 g，地球自转的周期为 T解析：如果周期是 12 小时，每天能对同一地区进行两次观测如果周期是6 小时，每天能对同一纬度的地方进行四次观测如果周期是 24n 小时，每天能对同一纬度的地方进行 n 次观测设上星运行周期为1，则有 GMm42 (hR)T(hR) 2mT12物体处在地面上时有 GMm 0m0 g解得： T12(h R) 3R 2Rg在一天内卫星绕地球转过的圈数为 T ，即在日照条件下有 T 次经过赤道上T1 T1空，所以每次摄像机拍摄的赤道弧长为 S2 R2 R T1 ，将 T1 结果代入得TTT14 2( h R) 3SgT【例 6】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ）A ．它们的质量可能不同 B．它们的速度可能不同C．它们的向心加速度可能不同 D．它们离地心的距离可能不同解析：同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引力提供。

设地球的质量为 M，同步卫星的质量为 m，地球半径为R，同步卫星距离地面的高度为h，由 F 引 =F 向， GmM=m 4 2 （ R+h）( R h) 2T 2得： h=3GMT242-R，可见同步卫星离地心的距离是一定的由 GmM=m v2得： v=GM ,所以同步卫星的速度相同Rh) 2RhR h由 GmM=ma 得： a= GM即同步卫。