习文教育2013年高考真题理科数学(广东卷)及答案(精校版).doc

君子藏器于身 待时而动绝密★启用前 试卷类型：A2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型（ A）填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：台体的体积公式 12()3VSh，其中 1S， 2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合 2{|0,}MxxR， 2{|0,}NxxR，则 MNA． 0} B． C． ,} D． {2,2. 定义域为 R的四个函数 3y， x， 21y， siny中，奇函数的个数是A．4 B．3 C．2 D．13. 若复数 z满足 24ii，则在复平面内， z对应的点的坐标是A． (,) B． (,) C． (4,)D． (4,2)4. 已知离散型随机变量 X的分布列为1 2 3P3531010则 X的数学期望 ()EX 君子藏器于身 待时而动图 1正视图俯视图侧视图22111 in≤是图 2输出 s结束否输入开始1,s1i()s图 3DABCOEA． 32 B．2 C． 52 D．35. 某四棱台的三视图如图 1 所示，则该四棱台的体积是A．4 B． 43 C． 63 D．66. 设 m， n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若 ⊥ ， ， n，则 m⊥ nB．若 ∥ ， ， ，则 ∥C．若 ⊥ n， ， ，则 ⊥D．若 m⊥ ， ∥ ， ∥ ，则 ⊥7. 已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 32，则 的方程是A．2145xyB．2145xyC．215xyD．25xy8. 设整数 n≥ ，集合 {,3,}Xn . 令集合 {(,)|,,SzX且三条件 xyz，yz， 恰有一个成立 . 若 ()z和 (,)w都在 中，则下列选项正确的是A． (,)wS， (,)xyS B． y， ,xySC． ， D． ,， ()二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（9 ~ 13 题）9. 不等式 20x的解集为 .10. 若曲线 lnykx在点 (1,)k处的切线平行于 x轴，则 k .11. 执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n的值为 4，则输出 s的值为 .12. 在等差数列 na中，已知 3810a，则 573a .13. 给定区域 D：40xy≥≤≥. 令点集 00{(,)|,TxyDZ，0(,)xy是 zxy在 上取得最大值或最小值的点 }，则 T中的点共确定 条不同的直线.（二）选做题（14 ~ 15 题，考生只能从中选做一题） 君子藏器于身 待时而动图 41 7 92 0 1 53 0图 6AABCED图 5O OCDEB14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C的参数方程为 2cosinxty（ t为参数） ， C在点（1,1）处的切线为 l，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l的极坐标方程为 .15.（几何证明选讲选做题）如图 3， AB是圆 O的直径，点 在圆 O上，延长 B到 D使 ，过 作圆 的切线交 D于 E. 若 6AB，2E，则 . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分 12 分）已知函数 ()2cos()1fxx， R.（1）求 6的值；（2）若 3cs5， (,)2，求 (2)3f.17.（本小题满分 12 分）某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图 4 所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率.18.（本小题满分 14 分）如图 5，在等腰直角三角形 AC中， 90， 6C， D， E分别是 AC， B上的点，2BE， 为 B的中点. 将△ DE沿 折起，得到如图 6 所示的四棱椎 DE，其中 3A. 君子藏器于身 待时而动（1）证明： AO平面 BCDE；（2）求二面角 的平面角的余弦值.19.（本小题满分 14 分）设数列 na的前 项和为 nS，已知 1a， 2123nSan， *N.（1）求 2的值；（2）求数列 n的通项公式；（3）证明：对一切正整数 ，有 1274naa .20.（本小题满分 14 分）已知抛物线 C的顶点为原点，其焦点 (0,)Fc到直线 :20lxy的距离为 32，设 P为直线l上的点，过点 P作抛物线 的两条切线 PA， B，其中 ， 为切点.（1）求抛物线 的方程；（2）当点 0(,)xy为直线 l上的定点时，求直线 的方程；（3）当点 在直线 上移动时，求 ||F的最小值.21.（本小题满分 14 分）设函数 2()1xfek()R. 君子藏器于身 待时而动（1）当 k时，求函数 ()fx的单调区间；（2）当 (,1]时，求函数 在 [0,]k上的最大值 M.2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D C C A B D B B二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（9 ~ 13 题）9. (2,1) 10. 1 11. 7 12. 20 13.5（二）选做题（14 ~ 15 题，考生只能从中选做一题）14. cosin20（填 sin()24或 cos()24也得满分） 15. 23三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分 12 分）已知函数 ()cos()12fxx， R.（1）求 6的值；（2）若 3cs5， (,)，求 ()3f.16. 解：（1） 2()2cos2cos16614f（2）因为 3cos5， (,)所以 24in1 君子藏器于身 待时而动图 41 7 92 0 1 53 0图 6AABCED图 5O OCDEB所以 432sin2icos2()52 7con5所以 ()cs()2cos()cos2in3314f72417()5517.（本小题满分 12 分）某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图 4 所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率.17. 解：（1）样本均值为 179053026（2）抽取的 6 名工人中有 2 名为优秀工人，所以 12 名工人中有 4 名优秀工人（3）设“从该车间 12 名工人中，任取 2 人，恰有 1 名优秀工人”为事件 A，所以1842()3CPA，即恰有 1 名优秀工人的概率为 6318.（本小题满分 14 分）如图 5，在等腰直角三角形 A中， 90， C， D， E分别是 C， B上的点，2BE， 为 B的中点. 将△ DE沿 折起，得到如图 6 所示的四棱椎 DE，其中 3A.（1）证明： O平面 BCDE；（2）求二面角 的平面角的余弦值.18. 解：（1）连结 ，因为在等腰直角三角形 A中， 45， 2CDBE， 3COB所以在△ 中， 2cos5O，同理得 5因为 ADE， 3所以 2O， 2EA所以 90 君子藏器于身 待时而动 AOCDEBFAOCDEBHxyz所以 AOD， E， OD所以 平面 BC（2）方法一：过点 作 F的延长线于 F，连接 因为 平面根据三垂线定理，有 所以 AF为二面角 的平面角在 Rt△ CO中， 32cos45在 △ 中， 20AOF所以 1cos5AF所以二面角 CDB的平面角的余弦值为 15方法二： 取 E中点 H，则 以 O为坐标原点， 、 O、 A分别为 x、 y、z轴建立空间直角坐标系则 (0,)(,3),(0,)(1,20)A是平面 BC的一个法向量设平面 D的法向量为 ,xyzn(,)C， (1)所以 30yzxn，令 ，则 1， 3z所以 (1,)是平面 AC的一个法向量设二面角 ADB的平面角为 ，且 (0,)2所以 315cosOn所以二面角 C的平面角的余弦值为19.（本小题满分 14 分）设数列 na的前 项和为 nS，已知 1a， 2123nSan， *N.（1）求 2a的值；（2）求数列 的通项公式；（3）证明：对一切正整数 ，有174n.19. 解：（1）当 1时， 1213Sa，解得 24a（2） 32nSan ① 君子藏器于身 待时而动当 2n≥ 时， 3211()()(1)()nnSan ②① ②得 2a整理得 1()()nn，即 1na， 1na当 时， 21所以数列 na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列所以 ，即 2所以数列 n的通项公式为 2na， *N（3）因为 211()na（ n≥ ）所以 22212 111()()()3434n n  174n20.（本小题满分 1。